大学全册高等数学知识点(全).doc
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大学高等数学知识点整理
公式,用法合集
极限与连续
一.数列函数:
1.类型:
(1)数列:
*;*
(2)初等函数:
(3)分段函数:
*;*;*
(4)复合(含)函数:
(5)隐式(方程):
(6)参式(数一,二):
(7)变限积分函数:
(8)级数和函数(数一,三):
2.特征(几何):
(1)单调性与有界性(判别);(单调定号)
(2)奇偶性与周期性(应用).
3.反函数与直接函数:
二.极限性质:
1.类型:
*;*(含);*(含)
2.无穷小与无穷大(注:
无穷量):
3.未定型:
4.性质:
*有界性,*保号性,*归并性
三.常用结论:
,,
,,,
四.必备公式:
1.等价无穷小:
当时,
;;;
;;;
;
2.泰勒公式:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5).
五.常规方法:
前提:
(1)准确判断(其它如:
);
(2)变量代换(如:
)
1.抓大弃小,
2.无穷小与有界量乘积()(注:
)
3.处理(其它如:
)
4.左右极限(包括):
(1);
(2);;(3)分段函数:
,
5.无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注:
非零因子)
6.洛必达法则
(1)先”处理”,后法则(最后方法);(注意对比:
与)
(2)幂指型处理:
(如:
)
(3)含变限积分;
(4)不能用与不便用
7.泰勒公式(皮亚诺余项):
处理和式中的无穷小
8.极限函数:
(分段函数)
六.非常手段
1.收敛准则:
(1)
(2)双边夹:
*,*
(3)单边挤:
***
2.导数定义(洛必达?
):
3.积分和:
4.中值定理:
5.级数和(数一三):
(1)收敛,(如)
(2),
(3)与同敛散
七.常见应用:
1.无穷小比较(等价,阶):
*
(1)
(2)
2.渐近线(含斜):
(1)
(2),()
3.连续性:
(1)间断点判别(个数);
(2)分段函数连续性(附:
极限函数,连续性)
八.上连续函数性质
1.连通性:
(注:
“平均”值:
)
2.介值定理:
(附:
达布定理)
(1)零点存在定理:
(根的个数);
(2).
第二讲:
导数及应用(一元)(含中值定理)
一.基本概念:
1.差商与导数:
;
(1)(注:
连续))
(2)左右导:
;
(3)可导与连续;(在处,连续不可导;可导)
2.微分与导数:
(1)可微可导;
(2)比较与的大小比较(图示);
二.求导准备:
1.基本初等函数求导公式;(注:
)
2.法则:
(1)四则运算;
(2)复合法则;(3)反函数
三.各类求导(方法步骤):
1.定义导:
(1)与;
(2)分段函数左右导;(3)
(注:
求:
及的连续性)
2.初等导(公式加法则):
(1),求:
(图形题);
(2),求:
(注:
)
(3),求及(待定系数)
3.隐式()导:
(1)存在定理;
(2)微分法(一阶微分的形式不变性).
(3)对数求导法.
4.参式导(数一,二):
求:
5.高阶导公式:
;;
;
注:
与泰勒展式:
四.各类应用:
1.斜率与切线(法线);(区别:
上点和过点的切线)
2.物理:
(相对)变化率速度;
3.曲率(数一二):
(曲率半径,曲率中心,曲率圆)
4.边际与弹性(数三):
(附:
需求,收益,成本,利润)
五.单调性与极值(必求导)
1.判别(驻点):
(1);;
(2)分段函数的单调性
(3)零点唯一;驻点唯一(必为极值,最值).
2.极值点:
(1)表格(变号);(由的特点)
(2)二阶导()
注
(1)与的匹配(图形中包含的信息);
(2)实例:
由确定点“”的特点.
(3)闭域上最值(应用例:
与定积分几何应用相结合,求最优)
3.不等式证明()
(1)区别:
*单变量与双变量?
*与?
(2)类型:
*;*
*;*
(3)注意:
单调性端点值极值凹凸性.(如:
)
4.函数的零点个数:
单调介值
六.凹凸与拐点(必求导!
):
1.表格;()
2.应用:
(1)泰勒估计;
(2)单调;(3)凹凸.
七.罗尔定理与辅助函数:
(注:
最值点必为驻点)
1.结论:
2.辅助函数构造实例:
(1)
(2)
(3)
(4);
3.有个零点有个零点
4.特例:
证明的常规方法:
令有个零点(待定)
5.注:
含时,分家!
(柯西定理)
6.附(达布定理):
在可导,,,使:
八.拉格朗日中值定理
1.结论:
;()
2.估计:
九.泰勒公式(连接之间的桥梁)
1.结论:
;
2.应用:
在已知或值时进行积分估计
十.积分中值定理(附:
广义):
[注:
有定积分(不含变限)条件时使用]
第三讲:
一元积分学
一.基本概念:
1.原函数:
(1);
(2);(3)
注
(1)(连续不一定可导);
(2)(连续)
2.不定积分性质:
(1);
(2);
二.不定积分常规方法
1.熟悉基本积分公式
2.基本方法:
拆(线性性)
3.凑微法(基础):
要求巧,简,活()
如:
4.变量代换:
(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换):
(2)作用与引伸(化简):
5.分部积分(巧用):
(1)含需求导的被积函数(如);
(2)“反对幂三指”:
(3)特别:
(*已知的原函数为;*已知)
6.特例:
(1);
(2)快速法;(3)
三.定积分:
1.概念性质:
(1)积分和式(可积的必要条件:
有界,充分条件:
连续)
(2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)
*;*
(3)附:
)
(4)定积分与变限积分,反常积分的区别联系与侧重
2:
变限积分的处理(重点)
(1)可积连续,连续可导
(2);;
(3)由函数参与的求导,极限,极值,积分(方程)问题
3.公式:
(在上必须连续!
)
注:
(1)分段积分,对称性(奇偶),周期性
(2)有理式,三角式,根式
(3)含的方程.
4.变量代换:
(1),
(2)(如:
)
(3),
(4);,
(5),
5.分部积分
(1)准备时“凑常数”
(2)已知或时,求
6.附:
三角函数系的正交性:
四.反常积分:
1.类型:
(1)(连续)
(2):
(在处为无穷间断)
2.敛散;
3.计算:
积分法公式极限(可换元与分部)
4.特例:
(1);
(2)
五.应用:
(柱体侧面积除外)
1.面积,
(1)
(2);
(3);(4)侧面积:
2.体积:
(1);
(2)
(3)与
3.弧长:
(1)
(2)
(3):
4.物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,
5.平均值(中值定理):
(1);
(2),(以为周期:
)
第四讲:
微分方程
一.基本概念
1.常识:
通解,初值问题与特解(注:
应用题中的隐含条件)
2.变换方程:
(1)令(如欧拉方程)
(2)令(如伯努利方程)
3.建立方程(应用题)的能力
二.一阶方程:
1.形式:
(1);
(2);(3)
2.变量分离型:
(1)解法:
(2)“偏”微分方程:
;
3.一阶线性(重点):
(1)解法(积分因子法):
(2)变化:
;
(3)推广:
伯努利(数一)
4.齐次方程:
(1)解法:
(2)特例:
5.全微分方程(数一):
且
6.一阶差分方程(数三):
三.二阶降阶方程
1.:
2.:
令
3.:
令
四.高阶线性方程:
1.通解结构:
(1)齐次解:
(2)非齐次特解:
2.常系数方程:
(1)特征方程与特征根:
(2)非齐次特解形式确定:
待定系数;(附:
的算子法)
(3)由已知解反求方程.
3.欧拉方程(数一):
令
五.应用(注意初始条件):
1.几何应用(斜率,弧长,曲率,面积,体积);
注:
切线和法线的截距
2.积分等式变方程(含变限积分);
可设
3.导数定义立方程:
含双变量条件的方程
4.变化率(速度)
5.
6.路径无关得方程(数一):
7.级数与方程:
(1)幂级数求和;
(2)方程的幂级数解法:
8.弹性问题(数三)
第五讲:
多元微分与二重积分
一.二元微分学概念
1.极限,连续,单变量连续,偏导,全微分,偏导连续(必要条件与充分条件),
(1)
(2)
(3)(判别可微性)
注:
点处的偏导数与全微分的极限定义:
2.特例:
(1):
点处可导不连续;
(2):
点处连续可导不可微;
二.偏导数与全微分的计算:
1.显函数一,二阶偏导:
注:
(1)型;
(2);(3)含变限积分
2.复合函数的一,二阶偏导(重点):
熟练掌握记号的准确使用
3.隐函数(由方程或方程组确定):
(1)形式:
*;*(存在定理)
(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性):
(要求:
二阶导)
(3)注:
与的及时代入
(4)会变换方程.
三.二元极值(定义?
);
1.二元极值(显式或隐式):
(1)必要条件(驻点);
(2)充分条件(判别)
2.条件极值(拉格朗日乘数法)(注:
应用)
(1)目标函数与约束条件:
(或:
多条件)
(2)求解步骤:
求驻点即可.
3.有界闭域上最值(重点).
(1)
(2)实例:
距离问题
四.二重积分计算:
1.概念与性质(“积”前工作):
(1),
(2)对称性(熟练掌握):
*域轴对称;*奇偶对称;*字母轮换对称;*重心坐标;
(3)“分块”积分:
*;*分片定义;*奇偶
2.计算(化二次积分):
(1)直角坐标与极坐标选择(转换):
以“”为主;
(2)交换积分次序(熟练掌握).
3.极坐标使用(转换):
附:
;;
双纽线
4.特例:
(1)单变量:
或
(2)利用重心求积分:
要求:
题型,且已知的面积与重心
5.无界域上的反常二重积分(数三)
五:
一类积分的应用():
1.“尺寸”:
(1);
(2)曲面面积(除柱体侧面);
2.质量,重心(形心),转动惯量;
3.为三重积分,格林公式,曲面投影作准备.
第六讲:
无穷级数(数一,三)
一.级数概念
1.定义:
(1),
(2);(3)(如)
注:
(1);
(2)(或);(3)“伸缩”级数:
收敛收敛.
2.性质:
(1)收敛的必要条件:
;
(2)加括号后发散,则原级数必发散(交错级数的讨论);
(3);
二.正项级数
1.正项级数:
(1)定义:
;
(2)特征:
;(3)收敛(有界)
2.标准级数:
(1),
(2),(3)
3.审敛方法:
(注:
)
(1)比较法(原理):
(估计),如;
(2)比值与根值:
**(应用:
幂级数收敛半径计算)
三.交错级数(含一般项):
()
1.“审”前考察:
(1)
(2);(3)绝对(条件)收敛?
注:
若,则发散
2.标准级数:
(1);
(2);(3)
3.莱布尼兹审敛法(收敛?
)
(1)前提:
发散;
(2)条件:
;(3)结论:
条件收敛.
4.补充方法:
(1)加括号后发散,则原级数必发散;
(2).
5.注意事项:
对比;;;之间的敛散关系
四.幂级数:
1.常见形式:
(1),
(2),(3)
2.阿贝尔定理:
(1)结论:
敛;散
(2)注:
当条件收敛时
3.收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备)
注
(1)与同收敛半径
(2)与之间的转换
4.幂级数展开法:
(1)前提:
熟记公式(双向,标明敛域)
;
;
(2)分解:
(注:
中心移动)(特别:
)
(3)考察导函数:
(4)考察原函数:
5.幂级数求和法(注:
*先求收敛域,*变量替换):
(1)
(2),(注意首项变化)
(3),
(4)的微分方程
(5)应用:
.
6.方程的幂级数解法
7.经济应用(数三):
(1)复利:
;
(2)现值:
五.傅里叶级数(数一):
()
1.傅氏级数(三角级数):
2.充分条件(收敛定理):
(1)由(和函数)
(2)
3.系数公式:
4.题型:
(注:
)
(1)且(分段表示)
(2)或
(3)正弦或余弦
*(4)()
*5.
6.附产品:
第七讲:
向量,偏导应用与方向导(数一)
一.向量基本运算
1.;(平行)
2.;(单位向量(方向余弦))
3.;(投影:
;垂直:
;夹角:
)
4.;(法向:
;面积:
)
二.平面与直线
1.平面
(1)特征(基本量):
(2)方程(点法式):
(3)其它:
*截距式;*三点式
2.直线
(1)特征(基本量):
(2)方程(点向式):
(3)一般方程(交面式):
(4)其它:
*二点式;*参数式;(附:
线段的参数表示:
)
3.实用方法:
(1)平面束方程:
(2)距离公式:
如点到平面的距离
(3)对称问题;
(4)投影问题.
三.曲面与空间曲线(准备)
1.曲面
(1)形式:
或;(注:
柱面)
(2)法向(或)
2.曲线
(1)形式,或;
(2)切向:
(或)
3.应用
(1)交线,投影柱面与投影曲线;
(2)旋转面计算:
参式曲线绕坐标轴旋转;
(3)锥面计算.
四.常用二次曲面
1.圆柱面:
2.球面:
变形:
,
3.锥面:
变形:
4.抛物面:
变形:
5.双曲面:
6.马鞍面:
或
五.偏导几何应用
1.曲面
(1)法向:
注:
(2)切平面与法线:
2.曲线
(1)切向:
(2)切线与法平面
3.综合:
六.方向导与梯度(重点)
1.方向导(方向斜率):
(1)定义(条件):
(2)计算(充分条件:
可微):
附:
(3)附:
2.梯度(取得最大斜率值的方向):
(1)计算:
;
(2)结论
;
取为最大变化率方向;
为最大方向导数值.
第八讲:
三重积分与线面积分(数一)
一.三重积分()
1.域的特征(不涉及复杂空间域):
(1)对称性(重点):
含:
关于坐标面;关于变量;关于重心
(2)投影法:
(3)截面法:
(4)其它:
长方体,四面体,椭球
2.的特征:
(1)单变量,
(2),(3),(4)
3.选择最适合方法:
(1)“积”前:
*;*利用对称性(重点)
(2)截面法(旋转体):
(细腰或中空,,)
(3)投影法(直柱体):
(4)球坐标(球或锥体):
(5)重心法():
4.应用问题:
(1)同第一类积分:
质量,质心,转动惯量,引力
(2)公式
二.第一类线积分()
1.“积”前准备:
(1);
(2)对称性;(3)代入“”表达式
2.计算公式:
3.补充说明:
(1)重心法:
;
(2)与第二类互换:
4.应用范围
(1)第一类积分
(2)柱体侧面积
三.第一类面积分()
1.“积”前工作(重点):
(1);(代入)
(2)对称性(如:
字母轮换,重心)
(3)分片
2.计算公式:
(1)
(2)与第二类互换:
四:
第二类曲线积分
(1):
(其中有向)
1.直接计算:
常见
(1)水平线与垂直线;
(2)
2.Green公式:
(1);
(2):
*换路径;*围路径
(3)(但内有奇点)(变形)
3.推广(路径无关性):
(1)(微分方程)(道路变形原理)
(2)与路径无关(待定):
微分方程.
4.应用
功(环流量):
(有向,,)
五.第二类曲面积分:
1.定义:
或(其中含侧)
2.计算:
(1)定向投影(单项):
其中(特别:
水平面);
注:
垂直侧面,双层分隔
(2)合一投影(多项,单层):
(3)化第一类(不投影):
3.公式及其应用:
(1)散度计算:
(2)公式:
封闭外侧,内无奇点
(3)注:
*补充“盖”平面:
;*封闭曲面变形(含奇点)
4.通量与积分:
(有向,,)
六:
第二类曲线积分
(2):
1.参数式曲线:
直接计算(代入)
注
(1)当时,可任选路径;
(2)功(环流量):
2.Stokes公式:
(要求:
为交面式(有向),所张曲面含侧)
(1)旋度计算:
(2)交面式(一般含平面)封闭曲线:
同侧法向或;
(3)Stokes公式(选择):
()化为;()化为;()化为
高数重点知识总结
1、基本初等函数:
反函数(y=arctanx),对数函数(y=lnx),幂函数(y=x),指数函数(),三角函数(y=sinx),常数函数(y=c)
2、分段函数不是初等函数。
3、无穷小:
高阶+低阶=低阶例如:
4、两个重要极限:
经验公式:
当,
例如:
5、可导必定连续,连续未必可导。
例如:
连续但不可导。
6、导数的定义:
7、复合函数求导:
例如:
8、隐函数求导:
(1)直接求导法;
(2)方程两边同时微分,再求出dy/dx
例如:
9、由参数方程所确定的函数求导:
若,则,其二阶导数:
10、微