第十一讲托勒密定理和西姆松定理.docx
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第十一讲:
托勒密定理和西姆松定理
一、托勒密定理
圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和).即:
设四边形ABCD内接于圆,则有AB∙CD+AD∙BC=AC∙BD;
定理:
在四边形ABCD中,有AB∙CD+AD∙BC≥AC∙BD,并且当且仅当四边形ABCD内接于圆时,等式成立。
E
D
C
B
A
【解析】在四边形ABCD内取点E,使∠BAE=∠CAD,∠ABE=∠ACD,则:
∆ABE和∆ACD相似,所以ABAC=BECD⟹AB∙CD=AC∙BE,又因为ABAC=AEAD且∠BAC=∠EAD,所以∆ABC和∆AED相似,所以AB∙CD+AD∙BC=AC∙(BE+ED),所以AB∙CD+AD∙BC≥AC∙BD,且等号当且仅当E在BD上时成立,即当且仅当A、B、C、D四点共圆时成立。
1.1直接应用托勒密定理
例1如图所示,P是正△ABC外接圆的劣弧BC上任一点(不与B、C重合),求证:
PA=PB+PC.
【解析】:
此题证法甚多,一般是截长、补短,构造全等三角形,均为繁冗.
若借助托勒密定理论证,则有PA·BC=PB·AC+PC·AB,∵AB=BC=AC. ∴PA=PB+PC.
1.2完善图形借助托勒密定理
例2证明“勾股定理”:
在Rt△ABC中,∠B=90°,求证:
AC2=AB2+BC2
【解析】:
如图,作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD,显然ABCD是圆内接四边形.由托勒密定理,有AC·BD=AB·CD+AD·BC.①,又∵ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC,AC=BD.②
把②代人①,得AC2=AB2+BC2.
例3如图,在△ABC中,∠A的平分线交外接圆于D,连结BD,求证:
AD·BC=BD(AB+AC).
【解析】:
连结CD,依托勒密定理,有AD·BC=AB·CD+AC·BD.∵∠1=∠2,∴BD=CD.故AD·BC=AB·BD+AC·BD=BD(AB+AC).
1.3构造图形借助托勒密定理
例4若a、b、x、y是实数,且a2+b2=1,x2+y2=1.求证:
ax+by≤1.
【解析】:
如图作直径AB=1的圆,在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB,使AC=a,BC=b,BD=x,AD=y.由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的. 据托勒密定理,有AC·BD+BC·AD=AB·CD. ∵CD≤AB=1,∴ax+by≤1.
1.4巧变原式妙构图形,借助托勒密定理
例5已知a、b、c是△ABC的三边,且a2=b(b+c),求证:
∠A=2∠B.
分析:
将a2=b(b+c)变形为a·a=b·b+bc,从而联想到托勒密定理,进而构造一个等腰梯形,使两腰为b,两对角线为a,一底边为c.
【解析】:
如图,作△ABC的外接圆,以A为圆心,BC为半径作弧交圆于D,连结BD、DC、DA.∵AD=BC,∴ACD=BDC∴∠ABD=∠BAC.又∵∠BDA=∠ACB(对同弧),∴∠1=∠2.于是BD=AC,则BD=AC=b依托勒密定理,有BC·AD=AB·CD+BD·AC.①,而已知a2=b(b+c),即a·a=b·c+b2.②,比较得CD=b=BD,CD=BD,∠3=∠1=∠2,∴∠BAC=2∠ABC.
1.5巧变形妙引线借肋托勒密定理
例6在△ABC中,已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4,求证:
1AB+1AC=1BC。
【解析】:
将结论变形为AC·BC+AB·BC=AB·AC,把三角形和圆联系起来,可联想到托勒密定理,进而构造圆内接四边形.如图,作△ABC的外接圆,作弦BD=BC,边结AD、CD.在圆内接四边形ADBC中,由托勒密定理,有AC·BD+BC·AD=AB·CD,易证AB=AD,CD=AC,∴AC·BC+BC·AB=AB·AC,两端同除以AB∙BC∙AC,得1AB+1AC=1BC。
二、西姆松定理
西姆松定理:
若从∆ABC外接圆上一点P作BC、AB、AC的垂线,垂足分别为D、E、F,则D、E、F三点共线。
证明:
连接DE、DF,显然,只需证明∠BDE=∠FDC,即可;因为∠BDP=∠BEP=90°,所以B、E、P、D四点共圆,所以∠BDE=∠BPE,同理可得:
∠FDC=∠PFC,又因为∠BEP=∠PFC=90°,且∠PFC=180°-∠PBA=∠PBE,所以∠BPE=∠FPC,所以∠BDE=∠FDC,所以D、E、F三点共线。
西姆松逆定理:
从一点P向∆ABC的三边(或它们的延长线)作垂线,若垂足L、M、N在同一直线上,则P在∆ABC的外接圆上。
例7设∆ABC的三条垂线AD、BE、CF的垂足分别为D、E、F;从点D作AB、BE、CF、AC的垂线,其垂足分别为P、Q、R、S,求证P、Q、R、S在同一直线上。
【解析】设∆ABC的垂心为O,则O、E、C、D四点共圆,因为由西姆松定理有:
Q、R、S三点共线,又因为O、F、B、D四点共圆,且由西姆松定理有:
P、Q、R三点共线,所以P、Q、R、S四点共圆
例8四边形ABCD是圆内接四边形,且∠D是直角,若从B作直线AC、AD的垂线,垂足分别为E、F,则直线EF平分线段BD。
【解析】作BG⊥DC,由西姆松定理有:
F、E、G共线,又因为∠BFD=∠FDG=∠DGB=90°,所以四边形BFDG为矩形,所以对角线FG平分另一条对角线BD。
例9求证:
四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点,且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上。
【解析】如图,设四条直线AB、BC、CD、AD中,AB交CD于点E,BC交AD于点F,圆BCE与圆CDF的另一个交点为G,所以∠BGF=∠BGC+∠CGF=∠BEC+∠CDA,所以∠BGF+∠A=180°,即圆ABF过点G,同理圆AED也过点G,所以元BCE、元CDF、元ABF,元AED交于同一点G,若点G向AB、BC、CD、DA所作垂线的垂足分别为E、L、M、N、P,有西姆松定理可知,L、M、N在一条直线上,M、N、P在一条直线上,故L、M、N、P在同一条直线上。
例10四边形ABCD是圆内接四边形,且∠CDA是直角,若从B点作直线AC、AD的垂线,垂足分别为E,F,求证:
EF或其延长线平分BD;
【解析】由B作DC的垂线BG,由西姆松定理可知E、F、G共线,所以∠BFD=∠FDG=90°,四边形BGDF是矩形,BD被另一对角线FG所平分。