电动力学2教案.doc
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第二章静电场
本章主要研究静电场的一些求解方法。
由于静电场的基本方程是矢量方程，求解很难，因此一般都是采用引入电势来求解。
因此，本章首先引进静电场的标量势函数—电势并讨论电势的一些基本特性。
然后讨论静电势方程的几种求解方法—分离变量法、镜象法、格林函数法以及电荷在小区域分布时的近似求解方法。
静电场的基本特点
静电场：
静止电荷产生的磁场；
特点：
①，，静电场可单独存在。
②等均与t无关③不考虑永久磁体（）基本方程：
；
边值关系：
。
求介质分界面上的束缚电荷用：
[则]
电磁性质方程：
①均匀各向同性线性介质：
②静电平衡时的导体：
导体内部：
。
外部表面：
电荷分布在表面上，电场处处垂直于导体表面。
§2.1静电势及其微分方程
一．静电场的标势
1．静电势的引入：
因为静电场为无旋场,即，所以可以引入标量函数，引入后
——静电场标势（简称电势）。
①的选择不唯一，相差一个常数，只要知道即可确定
②取负号是为了与电磁学讨论一致
③满足迭加原理
二．静电势的微分方程和边值关系
1．满足的方程
泊松方程：
其中仅为自由电荷分布，适用于均匀各向同性线性介质。
导出过程：
拉普拉斯方程：
（适用于的区域）。
2．边值关系
（S为分界面）
（由1→2）
（1）两介质交接面上边值关系
证明：
（a）
P→Q积分为零，所以即。
（b）（为自由面电荷分布）
由
∵∴
（1）导体表面上的边值关系
由于导体表面为等势面，因此在导体表面上电势为一常数。
将介质情况下的边值关系用到介质与导体的分界面上，并考虑导体内部电场为零，则可以得到第二个边值关系：
三．静电场的能量
1．一般方程：
能量密度（均匀各向同性线性介质）总能量
2．若已知总能量为，但不代表能量密度。
导出过程：
∵∽∽
∴，
该公式只适合于静电场情况，能量不仅分布在电荷区，而且存在于整个场中。
§2.2唯一性定理
一．泊松方程和边界条件
V
S
假定所研究的区域为V，在一般情况下V内可以有多种介质或导体，对于每一种介质自身是均匀线性各向同性。
设V内所求电势为，它们满足泊松方程
泊松方程或拉普拉斯方程（区域）的解有多种形式，要确定且唯一确定V内电场，必须给出边界条件。
在数学上这称为给定边值条件的求解问题：
一般边界条件有两类：
①边界S上，为已知，若为导体=常数为已知。
②边界S上，为已知，若是导体要给定总电荷Q。
它相当于给定（）。
内边界条件由
边值关系给出：
法线方向，
在实际问题中，因为导体内场强为零，可以不包含在所求区域V内。
导体上下边界条件为外边界条件。
对于V内两介质分界面上。
二．唯一性定理
1．均匀单一介质
当区域内分布已知，满足，若V边界上已知，或V边界上已知，则V内场（静电场）唯一确定。
1．介质分区均匀（不包含导体）
V内已知，成立，给定区域或
Q1
Q2
在分界面上，或
则V内场唯一确定。
（证明见书P．60）
2．均匀单一介质中有导体（证明见书P．62）
导体中，要求的是内的场。
Q
S
S
当和，已知或，（，）为已知，则内场唯一。
确定，
或。
三．唯一性定理的意义
（1）唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求指明了方向。
（2）更重要的是它具有十分重要的实用价值。
无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。
因此对于许多具有对称性的问题，我们可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是提出尝试解，只要满足方程和边界条件即为所求的解，若不满足，可以加以修改。
四．应用举例
1．两种均匀介质（和）充满空间，一半径a的带电Q导体球放在介质分界面上（球心在界面上），求空间电势分布。
解：
外边界为无穷远，电荷分布在有限远
导体上Q给定，所以球外场唯一确定
对称性分析：
若，则（回到上例结果）。
若，从直观看似乎不再具有球对称性，而是具有轴对称。
但是实际情况并非如此。
由于无论在介质1还是介质2，导体外表面电场均与表面垂直，因此在P点必然与重合，所以介质分界面上，而。
在介质分界面上：
所以没有束缚电荷分布，束缚电荷只分布在导体与介质分界面上。
对于上半个空间，介质均匀极化，场具有对称性，同样下半空间也具有对称性。
而在介质分界面上，所以可考虑球外电场仍具有球对称性。
设试探解：
确定常数：
在介质分界面上∴
∵
∴
下半空间
上半空间
导体球面上面电荷分布：
下半球面上均匀分布
上半球面上均匀分布
束缚电荷分布：
从这里可以看出，电荷在整个球面上是不均匀分布的。
这种非均匀分布造成场的均匀分布。
从物理机制看：
当导体放入介质时，一开始均匀分布，产生的场是非球对称场，它在介质中产生束缚电荷，束缚电荷也产生一个场，但总场不满足静电场唯一性定理，因此导体表面电荷要重新分布。
达到静电平衡时，球外场均匀分布，满足唯一性定理，这时电荷分布不再是均匀的。
§2.3拉普拉斯方程的解——分离变量法
一拉普拉斯方程的适用条件
1．空间处处，自由电荷只分布在某些介质（如导体）表面上，将这些表面视为区域边界，可以用拉普拉斯方程。
2．在所求区域介质中有自由电荷分布，若这个自由电荷分布在真空中，产生的势为已知。
①若所求区域为单一均匀介质，则介质中电势为真空中电势。
②若所求区域为分区均匀介质，则不同介质交界面上有束缚面电荷。
则区域V中电势可表示为两部分的和
不满足，但使满足，仍可用拉普拉斯方程求解。
但注意，边值关系还要用而不能用。
二解题步骤
1．选择坐标系和电势参考点
坐标系选择主要根据区域中分界面形状
参考点主要根据电荷分布是有限还是无限
2．分析对称性，分区写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解
3．根据具体条件确定常数
（1）外边界条件：
电荷分布有限
边界条件和边值关系是相对的。
导体边界可视为外边界，给定，或给定总电荷Q，或给定
（接地）
电荷分布无限，一般在均匀场中，
（直角坐标或柱坐标）
x
y
O
V
（2）内部边值关系：
介质分界面上
表面无自由电荷。
应用实例（习题课）
1．两无限大平行导体板，相距为，两板间电势差为V
（与无关），一板接地，求两板间的电势和
解：
（1）边界为平面，故应选直角坐标系
下板接地，为参考点
（2）定性分析：
由于在处，常数，可考虑与无关。
（3）列出方程并给出解：
在区域，
（4）方程的解：
（5）定常数：
（6）结果：
显然满足和边界条件
常数，均匀场
2．半径a，带有均匀电荷分布的无限长圆柱导体，求导体柱外空间的电势和电场。
x
y
z
o
r
θ
解：
电荷分布在无限远，电势零点应选在有限区域，为简单可选在导体面r=a处（即）。
选柱坐标系：
对称性分析：
①导体为圆柱，柱上电荷均匀分布，一定与无关。
②柱外无电荷，电力线从面上发出后，不会终止到面上，只能终止到无穷远，且在导体面上电场只沿方向，可认为与z无关，
当r=a时，则不选择零点也不影响求场。
常数C的确定：
∵
∴
若选则
（）]
电场：
x
y
z
O
在表面上
3．一半径为a，介电常数为的无限长电介质圆柱，柱轴沿方向，沿方向上有一外加均匀电场，求空间电势分布和柱面上的束缚电荷分布。
解：
（1）边界为柱面选柱坐标系
均匀场电势在无穷远处不为零，故参考点选在
有限区域，例如可选在坐标原点
常数（或0）
（2）考虑对称性电势与z无关，设柱内电势为，柱外为
它们分别满足。
解为：
（3）确定常数
①因为有外加均匀场，它们对x轴对称，可考虑、也相对x轴对称（为偶函数），所以、中不应包含项，故：
均为零。
②常数（或零），有限，故中不应有项，，（均匀场电势），因此中不应有方项（）（即得）
③时，
两边为任意值，前系数应相等（）
（4）解为
（5）求柱内电场：
∴仍沿x方向
∵∴
这是因为介质极化，束缚电荷主生的场与反向
（6）柱面上束缚面电荷分布
由
∴
两边为任意值，前系数应相等（）
（4）解为
（5）求柱内电场：
∴仍沿x方向
∵∴
这是因为介质极化，束缚电荷主生的场与反向
（6）柱面上束缚面电荷分布
由
∴
（或常数）
（7）若圆柱为导体，可采用上述方法重新求解，或令
4．如图所示的导体球（带电Q）和不带电荷的导体球壳，
求空间各点的电势及球壳内外面上的感应电荷。
解：
（1）边界为球形，选球坐标系
电荷分布在有限区，选
（2）设壳外为2区，球壳内为1区，球外
（若将Q移到壳上，球接地为书中P67例题）
，球壳内
电荷在球上均匀分布，场具有球对称性，
与无关，
（3）确定常数
①
②
③导体壳为等势体
④在导体壳上
即
设内壳
外壳
∴
（4）解
（5）球壳上的感应电荷
壳外面
壳内面
以一结果均与高斯定理求解一致。
§2.4电象法
Q
Q
一．电象法的概念和适用条件
1．求解泊松方程的难度
区域无分布，适用。
对直角坐标无对称性，用球坐标具有轴对称，但边界为平面
区域有自由电荷，适用，但求解很困难。
导体球导体板
（导体表示电荷分布是不均匀的）
在许多特殊情况下可采用迭加法求解（如上节例6），对于空间存在点电荷的情况，原则上也能够求解（习题2）。
还有一些例子也可
采用该方法来求，
但求解不是难度极大，就是解不出来（如导体板情况）。
因为前面讲的实例大多是分界面电荷均匀分布，而许多情况分界面上电荷是非均匀分布的，造成场对称性很差。
2．唯一性定理保证下的不择手段
从物理上考虑，在唯一性定理保证下，可以采用试探解的方法。
特别是对于自由电荷仅为点电荷时，导体面上感应电荷分布可以等效地看作一个或几个点电荷。
3．电象法概念、条件
（1）电象法：
用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。
（2）条件：
a）所求区域内只能有少许几个点电荷。
（只有点电荷产生的感应电荷才能用点电荷代替。
）
b）导体边界面形状规则，具有一定对称性。
c）给定边界条件。
要求：
a）做替代时，不能改变原有电荷分布（即自由点电荷位置、Q大小不能变）。
泊松方程不能改变。
所以假想电荷必须放在所求区域之外。
b）不能改变原有边界条件，通过边界条件确定假想电荷的大小和位置。
c）一旦用了假想等效电荷，不能再考虑边界面上的电荷分布。
d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。
二．应用举例
1．接地无限大平面导体板附近有一点电荷，求空间电势。
Q
Q/
P
z
解：
二．应用举例
（1）分析：
左半空间
显然满足这个解。
由唯一性定理保证
右半空间，Q处在（0，0，a）点，其余点
边界
从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间z轴上。
设电量为，位置为（0，0，）
∴
（2）由边界条件确定和，。
（要在左半空间）
唯一解是
（3）讨论：
（a）导体面上感应电荷分布
∴
（b）可见电荷Q产生的电场电力线全部终止在导体面上，它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在右半部宝剑相同。
（c）与Q位置对于导体板镜象对称，故这种方法称为电象法（又称镜象法）
（d）作用力
选球坐标系
P
QP
R
O
2．真空中有一半径为R0的接地导体球，距球心a（a>R0）处有一点电荷Q，求空间各点电势。
解：
（1）分析：
球内电势（导体接地）
求球外电势，假想电荷应在球内，两个点电荷产生的场应具有轴对称，故假想电荷应在线上，即极轴上。
（2）由边界条件确定和
设
即
因为是任意的∴
即①②
解得①，②
象电荷不能在所求区，故舍去第二组解，而代入不满足（增根）∴唯一解是
（3）讨论：
①因此Q发出的电力线一部分会聚到导体球面上，剩余传到无穷远。
②球面感应电荷分布
因此导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为有的电荷移到地中去了。
（4）若导体不接地
导体不接地，可视为分布在导体面上。
无，接地导体已为等势体，加上还要使导体为等势体，必须均匀分布在球面上。
这时导体球上总电量。
（∵均匀分布球面上可使导体产生的电势等效于在球心的点电荷）
接地
∴
（5）若导体球不接地，且带上自由电荷，导体上总电荷为。
此时要保持导体为等势体，也应均匀分布在球面上。
接地
（从这里可以看出等效电荷一般是一个点电荷组或一个带电体系，而不一定就是一个点电荷）
（6）导体球不接地而带自由电荷时所受力
受到的力可以看作和位于球心处的等效电荷和对的作用力之和。
Q
x
y
Q
Q/
Q/
O
设，，第一项为排斥力，第二项为吸引力（与无关，与正负无关）。
当时，F<0，即正电荷与带正电导体球在靠的很近时会出现相互吸引。
3．有一点电荷位于两个互相垂直的接地导体面所围成的直角空间内，它到两个平面的距离为a和b，求空间的电势。
解：
（1）分析：
板、板电势为0，
假想电荷应在第I象限之外。
（a）为保证板上，要在（a，-b，0）处放电荷，但不保证板为；为保证板上，要在（-a，b，0）处放电荷，但不保证板为。
这样不能保证两极板上电势为零。
实际上这是由于对于平板问题总点电荷数不能为奇数。
（b）在（-a，-b，0）处放象电荷，对面，面和O点均可使。
（2）电势分布
S1
S2
Q
（3）若两平面夹角时，放在处，用电象法求解的条件是什么？
象电荷应入在所求区域之外。
右图：
，有8个点电荷，
7个象电荷（4个正电荷）。
设正电荷数为n（=4），象电
荷数为m–1（=7），角度为
可以证明：
这一结果对于均成立，即，象电荷为
2n–1个，它们的位置为，，，，…
由，而
§2.5格林函数方法
格林函数方法是求解数学物理方程的较为普遍的方法。
（利用格林公式和已知点电荷在给定条件下的解求解给定边界条件的空间电势。
）
本节仅研究泊松方程解的格林函数方法。
它与点电荷解的边值相关，但可以解静电学的许多边值问题。
设V内电荷分布已知，
①给定V边界S上的各点电势——第一边值问题
②或给定边界上法向分量——第二边值问题
求V内各点电势值。
上两节讨论了分离变量法和电象法，只在一定条件下适用。
（电象法实际上是解格林函数的一种方法。
）
一．点电荷密度的函数表示
1．处于点上的单位点电荷的密度[一般]
2．常用公式：
二．格林函数
1．点电荷的泊松方程：
设电势为
单位点电荷产生的电势
空间区域V上的边界条件或常数
2．格林函数
对于静电场的点电荷问题称为静电场的析林函数
（或常数）
只对微商。
格林函数的对称性（偶函数）
3．
（1）无界空间中的格林函数
上单位点电荷在无穷空间中激发的电势
到的距离
球坐标中（偶函数）
∵显然满足点电荷泊松方程。
（2）上半空间的格林函数
（偶函数）
（3）球外空间的格林函数
设点电荷Q=1坐标为，
观察点为
球半径为
（相当于题中的a）
设假想点电荷在，它的坐标为（它在连线上，题中b对
应这里的）
∵
偶函数。
三．用格林函数求解一般的边值问题
1．第一类边值问题求解的格林方法（要求掌握这个公式）。
V内有电荷分布，给定
只要知道相应问题的和即可得到。
2．第二类边值问题解的格林函数方法
V内有电荷分布，S上给定，求V内
相应格林函数问题常数（在S上）
只要知道和，即可马上得到
3．格林函数方法求解讨论
（1）的求解本身也不是一件很容易的事情。
一般只有区域几何形状规则、简单才容易求解。
电象法是求解格林函数的有效方法之一。
（1）格林函数方法也可用来解拉普拉斯方程的边值问题。
由
——第一类边值问题
——第二类边值问题
P
§2.6电多极矩
一．电势的多极展开
1．小区域电荷分布：
O
若已知，则可通过
求电势。
一般若体电荷分布不均匀或区域不规则，积分有困难，只有用计算机求解。
但是在许多实际情况中，电荷分布区域的线度相对该区域到场点的距离很小，则可以最近似处理，解析求解。
条件是线度与r满足。
最粗略的近似为，则。
2．的麦克劳林展开
（1）一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开）
（2）三元函数的麦克劳林展开
（3）将在点展开
3．展开后小区域电荷分布产生的电势
令
分量为
二．电多极矩
1．展开式前三项的物理意义
l
等效于坐标原点点电荷产生的电势。
因此，小电荷体系产生的电势在零级近似下可视为将电荷集中于原点处产生的电势。
l
为等效电偶极矩产生的电势。
最简单的体系为两个点电荷产生的电势。
l
它等效于坐标原点附近四个点电荷（+，-，+，-）产生的电势。
称为电四极矩，因此，为电四极矩产生的电势。
2．电四极矩张量
定义：
有9个分量，记作
可见因此一般只有6个不同分量
（）
可证明：
，故只有5个独立分量。
l电四极矩最简单体系举例：
z
O
R
r+
r-
P
上
其中
下
x
四个点电荷在一直线上对称排列（一正、一负），实际上是由一对正负电偶极子构成。
正电荷在，负电荷在，体系总电荷为零，总电偶极矩。
由的定义，它只有分量，。
由于电荷离散分布，积分改为取和（用）
它产生的电势：
（）
它与直接计算结果完全一致（）
三．电荷体系在外电场中的能量（相互作用能）
1．设外场电势为，场中电荷分布为，体系具有的总能量为：
z
y
x
可以证明：
因此：
+
称为体系的相互作用能，或带电体系在外场中的能量。
2．带电体系为小区域
将对原点展开为麦克劳林级数（原点选在小区域内）
代入：
3．意义：
：
体系电荷集中在原点时，在外场中的能量；
体系等效电偶极子在外场中的能量；
体系等效电四极子在外场中的能量。
若为均匀场，则：
。
4．带电体系在外场中受力和力矩
设W为带电体系在外场中的静电势能，则带电体系在外场中受到的力：
（假定Q不变）以下仅讨论和
力：
，相当于带电体系集中在一点上点电荷在外场中受到的作用力
若为均匀场，即电偶极子只在非均匀场中受力。
力矩：
，
假定在外场作用下不变，设为与之间的夹角，则
，
∴可见即使均匀场，但。
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