非线性规在经济学中的应用.doc

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非线性规划的经济学应用

摘要：

本文旨在对非线性规划的算法和应用进行研究。

非线性规划是20世纪50年代才开始形成的一门新兴学科。

1951年库恩和塔克发表的关于最优性条件的论文是非线性规划正式诞生的一个重要标志。

非线性规划在管理、经济等方面都有广泛的应用，并且为最优设计提供了有力的工具。

非线性规划的基础知包括非线性规划的数学模型，凸函数和凹函数，极值问题以及下降迭代算法等。

大量数学方法的运用甚有超越数学专业学生的趋势，经济学论文的质量要看其数学方法应用的程度，经济学硕士博士的录取要看其数学背景的深厚，数学几乎有一统经济学天下之势。

半个多世纪以来经济学领域中数理形式的运用是—个重要的发展趋势，对经济理论和实践也有重要的影响。

西方经济学知识的普及也已将数学知识渗透到了经济学的方方面面。

关键词：

非线性规划；经济学；最优

一、

（1）经济学的定义

　　资源的有限性和人类欲望的无穷性是经济学诞生的根基，这是一个常人皆知浅之又浅但又非常深刻的道理。

经济学要解决的其实就是一个如何选择的问题，也就是说，经济学就是要解决选择以什么样的方式把有限的资源合理有效的配置进而达到满足人类无穷之欲望的目的。

所以西方经济学里经济学被定义为研究稀缺资源配置的学科，它以理性的假设为逻辑起点，研究人类行为，这些基于现实基础研究的问题与现实经济生活中存在的问题紧密相连，研究的结论能有助于解释或理解现实经济问题。

但是，经济关注人类行为本身的目的最终就是为了追求资源配置的效率（efficiency）。

　　经济学作为一门研究人类社会的事实的学科，有着它独特的味道。

它可以联系到政治，社会等各种学科。

对于经济学家，当他试图解释这个世界的时候，他就是经济学家，当他试图改变这个世界的时候，他就是政客。

特殊的双重身份也说明经济学的多元性。

甚至有人提出这样一种见解，认为经济学在本质上和史学没有什么差别，只是史学研究的大多是过去的事情，而经济学关注的历史长度就没那么长了，而且经济学更多的借用了数学和统计的工具来阐释问题。

（2）数学在经济学中的应用

　　西方经济学者大量的把数学引入经济学，就是试图以一种精确的方式阚释世界，进而试图把现代西经济学发展成为一门精确的科学。

以高鸿业主编的《西方经济学（微观部分）第四版）>为例，在说明边际效用时应用的极限和求导；在分析蛛网模型时应用的拉格朗日乘数法；在论证边际技术替代率时应用的多元函数微分法；在阐述寡头厂商之间的博弈策略时应用的博弈论与均衡的概念；以及无处不在的各种函数曲线的应用和函数表达式的推导。

而这些只是经济学学习的入门课本上的一些例子。

而在整个经济学领域里，边际分析、瓦尔拉斯一般均衡论、线性规划、投入产出分析、博弈论以及随机数学、模糊数学和非线性科学在经济中也有着广泛的应用。

这些本来属于数学范畴的工具现在充满了经济学研究的方方面面。

同时诺贝尔经济学奖的设立似乎也是一个强有力的明证。

二.

（1）非线性规划问题的数学模型

非线性规划是具有非线性目标函数或约束条件的数学规划。

它的数学模型常表示成以下形式：

（1.1）

其中自变量是维欧氏空间中的向量；是目标函数和是约束条件。

也可以将非线性规划的数学模型写成以下形式

（1.2）

对于求目标函数的最大值问题，我们可以转换成求其负函数的最小值问题，从而转换成非线性规划的标准形式。

（2）经济学中的非线性规划方法应用

1.消费者选择：

消费者效用最大

收入>=支出

2.成本最小化：

成本最小

目标<=生产能力

3.计划模型:

价值最大

投入<=资源存量

三．举例：

工程造价最小化问题

假定要建造容积为1500m的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为4元，6元，12元，基于美学考虑，要求宽度应为高度的2倍。

试建立使造价最省的数学模型。

1.模型建立

1）决策变量

设仓库的宽、髙、长分别为想X1X2X3（米）

2）目标函数。

墙壁面积为造价为

屋顶与地面面积为造价为

标函数为

3）约束条件此得到数学模型为

容积限制

比例限制

非负限制

模型求解

用软件求解，得到仓库的设计方案为：

最小造价为：

Z=1003.1

例二：

计划收益最大化

设用甲、乙、丙三种有限资源生产A,B,C,D四种产品、产品的资源消耗定额及资源的有限供应量如表所示。

产品的消耗定额与资源供应量

假定A、B、C、D四种产品价格随产量的扩大而递减，其需求函数分别为

试确定四种产品的产量，以便使总受益最大。

设A,B,C,D四种产品的产量分别为

求解：

则问题的目标函数（总收益函数）

注意到资源约束，上述问题可表为

Model:

max=11*x1+12*x2+13*x3+14*x4-x5;

x5=0.01*（x1*x1+2*x2*x2+3*x3*x3+4*x4*x4）;

x1+2*x2+3*x3+2*x4<200;

7*x1+9*x2+8*x3+x4<300;

3*x1+x3+7*x4<400;

end

用软件求解，打开执行文件，编程如下，为了编制程序的方便，引入了中间变量

求解，得到输出,最优解为：

X1=0;X2=6.9;

X3=23;X4=53.86;

在实际经济活动中，产量规模对价格的影响常常是一个不可忽略的重要因素：

上述模型由于适当地考虑了价格的可变部分对总收益的影响，而相应的线性规划模型，总收益函数只能在假定某不变价格的情况下由产量线性确定，故较之线性模型更能真实地反映问题的实质。

非线性规划在经营管理、工程设计、科学研究、军事指挥等方面普遍地存在着最优化问题。

例如：

如何在现有人力、物力、财力条件下合理安排产品生产，以取得最高的利润；如何设计某种产品，在满足规格、性能要求的前提下，达到最低的成本；如何确定一个自动控制系统的某些参数，使系统的工作状态最佳；如何分配一个动力系统中各电站的负荷，在保证一定指标要求的前提下，使总耗费最小；如何安排库存储量，既能保证供应，又使储存费用最低；如何组织货源，既能满足顾客需要，又使资金周转最快等。

对于静态的最优化问题，当目标函数或约束条件出现未知量的非线性函数，且不便于线性化，或勉强线性化后会招致较大误差时，就可应用非线性规划的方法去处理。

总结：

对于一个实际经济问题，在把它归结成非线性规划问题时，一般要注意如下几点：

（1）确定供选方案：

首先要收集同问题有关的资料和数据，在全面熟悉问题的基础上，确认什么是问题的可供选择的方案，并用一组变量来表示它们。

（2）提出追求目标：

经过资料分析，根据实际需要和可能，提出要追求极小化或极大化的目标。

并且，运用各种科学和技术原理，把它表示成数学关系式。

（3）给出价值标准：

在提出要追求的目标之后，要确立所考虑目标的“好”或“坏”的价值标准，并用某种数量形式来描述它。

（4）寻求限制条件：

由于所追求的目标一般都要在一定的条件下取得极小化或极大化效果，因此还需要寻找出问题的所有限制条件，这些条件通常用变量之间的一些不等式或等式来表示。