考研数学一笔记.docx

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知识无涯须勤学，青春有限贵惜阴。

高等数学

常用公式

⒈等比数列

⒉等差数列

⒊

⒋

极限

一、对于和式进行适当放缩有两种典型的方法

①当n为无穷大时，则n∙umin≤u1+u2+⋯+un≤n∙umax

②当n为有限项，且ui≥0时，则umax≤u1+u2+⋯+un≤n∙umax

二、常用极限：

三、常见等价无穷小代换总结

常见等价无穷小代换总结

x⟶0时

⒈

sinx~x

x-sinx~16x3

⒉arcsinx=x+16x3+

arcsinx~x

arcsinx-x~16x3

⒊tanx=x+13x3+

tanx~x

tanx-x~13x3

⒋arctanx=x-13x3+

arctanx~x

x-arctanx~13x3

⒌

ln1+x~x

x-ln1+x~12x2

⒍

ln1-x~-x

⒎

ex-1~x

⒏

1-cosx~12x2

9.1+xα=1+αx+αα-12!

+

1+βxα-1~αβx

10.ax-1=exlna-1

四、7种未定型（注意正真的0和1与极限为0和1的区别）

设limfx=A，limgx=B

ABA,B均为数且A>0

0A为0，B为+∞

+∞A为0，B为-∞

∞0A为∞，B为0

1∞A为1，B为∞

00A为0，B为0

ABA,B均为数

0A为数，B为∞∞A为∞，B为数00A为0，B为0∞∞A为∞，B为∞

limfxg（x）=

limfxg（x）=

A∙BA为数B为数

∞A，B中一个为数，另一个为∞

0∙∞A，B中一个为0，另一个为∞

limfxgx=

A-BA，B均为数

∞A，B一个为数，另一个为∞

∞A，B为异号∞

　∞-∞Ａ，Ｂ为同号∞

limfx-gx=

五、求渐近线的步骤

⒈先求垂直渐近线：

⒉求水平渐近线：

⒊求斜渐近线：

（时才需求斜渐近线，因为水平渐近线和斜渐近线不同时存在）

六、极值点的来源：

①不可导点：

②驻点

七、需要考虑左右极限的情况

⒈式子中含有

⒉式子中含有

①

②不存在

⒊式子中含偶次方根

⒋式子中含有取整符号

⒌含有

⒍分段函数

导数

①判定fx在ｘ０处是否可导

②利用导数的定义求极限（罗比达法则的替补）

导数的应用

⑴分段函数的分段点；

⑵抽象函数：

⑶不满足求导法则；

⑷求导函数太复杂。

③求导数

①分子一动一静

②分母有左有右

③上下同阶或低阶

可导条件

1.公式法

2.归纳法

3.莱布尼兹公式

求高阶导数

①写出Taylor展开式

②将f（x）间接展开

③利用对应系数相等

步骤

4.利用Taylor公式

中值定理

涉及的中值定理，即连续函数在闭区域[a,b]上的性质

⒈设在[a,b]上连续，则

定理一（有界性）：

定理二（最值定理）：

，其中m，M分别是在[a，b]上的最小值与最大值。

定理三（介值定理）：

当时，其中m，M分别是在[a，b]上的最小值与最大值，使得

定理四（零点定理）：

当时，使得

⒉涉及导数的中值定理

定理五（费马引理）：

设在x0的某领域U（x0）内有定义，且在x0处可导如果对任意的x∈U（x0）有（或），那么。

补充一（导数零点定理）设在[a,b]内可导，且，则,使得

定理六（罗尔定理）：

如果函数

⑴在闭区间上连续,

⑵在开区间内可导,

⑶且在区间端点的函数值相等，即,

那末在内至少有一点,使得函数在该点的导数等于零，即。

该定理的逆否命题：

若在（a,b）内没有实根，即，则fx=0在[a,b]上至多只有一个实根。

推广：

若在（a,b）上没有实根，即，则fx=0在[a,b]上至多只有n个实根。

定理七（拉格朗日中值定理）：

如果函数

⑴在闭区间上连续,

⑵在开区间内可导

那么在内至少有一点，使等式成立。

定理八（柯西中值定理）：

如果函数及在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点处均不为零，那末在内至少有一点,使等式成立。

定理九（Taylor公式）：

如果函数在含有的某个开区间内具有直到n+1阶的导数，则对任意，有

这里的ξ是介于x0与之间的某个值。

注：

Taylor公式常用于处理含二阶及二阶以上导函数代数式的问题，证明的一般思路如下：

①将在x0处展开成比高阶导数低一阶的Taylor展开式

②关键在于如何确定与，一般把题目中已知某点的函数及各阶导数值设为区间端点为，闭区间的中点有时也会用到

③对②得到的式子进行适当运算。

⒊涉及积分的中值定理

定理十（积分中值定理）设在[a,b]上连续则在[a,b]上至少存在一点使得

推广一：

设在[a,b]上连续则使得

推广二（第二积分中值定理）：

设与在[a,b]上连续，且在[a,b]不变号，则，使得

①逐项还原

②组合还原

③同乘因子

④求解微分方程

1）f'ξ+λfξ=0

eλxf'x+λeλxfx=[eλxf（x）]'

2）λfξ+ξf'ξ=0

λxλ-1fx+xλf'x=[xλf（x）]'

同乘以eλx

1.构造辅助函数

两个模型

同乘以xλ-1

罗尔定

理考点

2.找端点值使得fa=f（b）

经典不等式总结

⒈三角不等式：

设为实数则

⑴

⑵

⑶

推广：

⑴离散情况：

设为实数，则

⑵连续情况：

设在可积，则

⒉均值不等式

⑴，

，

推广：

设是正整数，则

⒊杨氏不等式：

设，则

⒋柯西不等式：

⒌施瓦茨不等式：

若在可积，且平方可积，则

⒍其他不等式

⑴若，则

⑵

⑶

积分

1.有理函数积分

设有真分式Rx=P（x）Q（x），Q（x）已被因式分解，若分母中有一个一因子（x-a）n，则分解式对应项为：

A1x-a+A2x-a2+⋯+Anx-an

若分母中有一个因子x2+px+qn，（p2-4q<0），则分解式对应项为：

A1x+B1x2+px+q+A2x+B2（x2+px+q）2+⋯+Anx+Bn（x2+px+q）n

ex:

ax2+bx+cx3（x-1）2=A1x+A2x2+A3x3+B1x-1+B2（x-1）2

求积分的方法

①公式法

②分项积分法

③第一类换元

④第二类换元

⑤分部积分法

⑥万能代换

⑦区间再现

万能代换：

令tanx2=t，则

sinx=2sinx2cosx2=2tanx2sec2x2=2t1+t2

cosx=cos2x2-sin2x2=1-tan2x2sec2x2=1-t1+t

区间再现：

在计算很多定积分和某些定积分证明时，有时需要互换积分限。

常见互换积分限为：

①t=-x，x∈[-a,a]

②t=π-x，x∈[0,π]

③t=π2-x，x∈[0,π2]

2.比较广义积分的敛散性

比较判别法的极限形式

⑴设函数fx及g（x）都是在区间[a,+∞）非负连续函数，若，则

当0

当l=0时，a∞gxdx若收敛，则a∞fxdx也收敛；

当l=∞时，若a∞gxdx发散，则a∞fxdx也发散。

⑵设函数fx及g（x）都是在区（a,b]非负连续函数，

，则

0

多元函数

①求具体点的偏导数

②几何意义

③求偏导数∂z∂x

④高阶偏导数

⑤偏积分

偏导数

考点

微分

⒈∆z=fxdx+fydy+oρ，ρ=∆x2+∆y2⟹∆z-fxdx-fydy∆x2+∆y2=0

⟹fx,y在0,0点可微

⒉

⟹fx,y在可微

①偏导个数=自变量个数

②项数=中间变量个数

③分线相加，连线相减

④∂z∂x，∂z∂y仍然是x,y的函数

⑤抽象复合函数可以用1,23⋯表示

偏导数的结构

微分方程

⒈二阶线性微分方程特解的求法

令，则；，则

于是

令，则

有如下重要性质（注：

表示微分，表示积分）

①

当时，

当时，

②

当时，

③

④

其中为1除以按升幂排列所得商式，其的最高次数为右边多项式的最高次数。

1除以的运算如下

1

其中

一阶线性微分方程组的解法

①

⒈齐次微分方程组

解题程序：

②

⑴引入微分算子则①⟹

⑵令，则满足

求解（或）；

⑶将求出的代入方程①中的第一个方程，求出（或第二个方程求出）

注：

求出其中一个解，再求另一个解时，宜用代数法，不要用积分法。

③

⑵非齐次微分方程组的解法

方程③的通解=对应的齐次方程①的通解+非齐次方程③的一个特解。

y

一个重要关系

o

x

其中表示极径与点切线间的夹角。

概率论

常用知识

分组

⒈有序分组

个元素分成共组，其个数分别为，则分组方法的总数为

⒉无序分组

个元素分成个组，其中各组的元素为，各组的元素为个，…，各组的元素为个，则分组方法的总数为

函数

⒈定义

⒉性质

①，

②为正整数时：

③

参数的置信区间

⒈已知

，置信区间为

⒉未知

，置信区间为

参数的置信区间（未知）

，置信区间为

微积分常用公式

a3-b3=a-b（a2+ab+b2）

an-bn=a-ban-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1,n∈Z+

sin+sin=2sincossin-sin=2cossin

cos+cos=2coscos

cos-cos=2sinsin

16

导数部分

⒈C'=0

⒉xα'=xα-1

⒊sinx'=cosx

⒋cosx'=-sinx

⒌tanx'=sec2x

⒍（cotx）'=-csc2x

⒎secx'=secxtanx

⒏cscx'=-cscxcotx

⒐ax'=axlna

⒑ex'=ex

⒒（logax）'=1xlogae

⒓lnx'=1x

⒔arcsinx'=11-x2

⒕arccosx'=-11-x2

⒖arctanx'=11+x2

⒗arccotx'=-11+x2

积分部分

⒈kdx=kx+C

⒉1xdx=lnx+C

⒊xμdx=xμ+1μ+1+C

⒋11+x2dx=arctanx+C

⒌11-x2dx=arcsinx+C

⒍sinxdx=-cosx+C

⒎cosxdx=sinx+C

⒏1cos2xdx=sec2xdx=tanx+C

91sin2xdx=csc2dx=-cotx+C⒑axdx=axlna+C

⒒secxtanxdx=secx+C

⒓cscxcotxdx=-cscx+C

⒔exdx=ex+C

⒕tanxdx=-ln|cosx|+C

⒖cotxdx=lnsinx+C

⒗secxdx=lnsecx+tanx+C

⒘cscxdx=lncscx-cotx+C

⒙dxa2+x2=1aarctanxa+C

⒚1x2-a2dx=12aln|x-ax+a|+C

⒛1a2-x2dx=arcsinxa+C

21.1x2±a2dx=ln|x+x2±a2|+C

22.a2-x2dx=a22arcsinxa+x2a2-x2+C

23.Ax+Bx2+px+qdx=A2lnx2+px+q+2B-Ap4q-p2arctan2x+p4q-p2+C

n-1‼n‼，n为奇数

24.0π2sinndx=0π2cosndx=

n-1‼n‼∙π2，n为偶数

25.a2+x2dx=x2a2+x2+a22ln（x+a2+x2）+C

26.x2-a2dx=x2x2-a2-a22ln（x+x2-a2）+C