考研数学三：公式大全.docx

考研数学三：公式大全.docx

《考研数学三：公式大全.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研数学三：公式大全.docx（10页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

专题八：

公式大全

（一）

最近几天做题的过程中，越来越觉得有些公式在不同的题目之间反复使用，可谓上镜率颇大。

终于又下定决心，要好好整理一下咯！

下面将收录，我认为比较重要的部分公式。

有些考的少，或者太简单的就不列出来了。

相信下面的公式应该会比较有代表性。

（二）

1.当x→0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln1+x~ex-1

当x→0时，ax-1~xlna（用e的等价变形来记）

1-cosx~12x21-cos2x~2x2

n1+x-1~1nx1+βxα-1~αβx（用1∞未定式来记）

loga（1+x）~1lnax（用换底公式来记）

2.1∞未定式通用公式：

limf（x）g（x）=elim⁡g（x）∙fx-1

3.泰勒公式：

fx=fx0+f'x0x-x0+f’’（x0）2!

x-x02+⋯+f（n）x0n!

x-x0n+f（n+1）ξ（n+1）!

（x-x0）n+1（ξ在x与x0之间）

麦克劳林公式：

fx=f0+f'0x+f’’（0）2!

x2+⋯+fn（0）n!

xn+fn+1θx（n+1）!

xn+1

（0<θ<1）

4.五个基本初等函数泰勒公式：

（1）ex=1+x+12!

x2+⋯+1n!

xn+eθx（n+1）!

xn+1

（2）sinx=x-13!

x3+15!

x5-⋯+-1n-1∙12n-1!

∙x2n-1+-1n∙cosθx2n+1!

∙x2n+1

（3）cosx=1-12!

x2+14!

x4-⋯+（-1）n∙12n!

∙x2n+-1n+1∙cosθx2n+2!

∙x2n+2

（4）1+xα=1+αx+αα-12!

x2+⋯+αα-1⋯α-n+1n!

xn+αα-1⋯α-nn+1!

1+θxα-n-1xn+1

（5）ln1+x=x-12x2+13x3-⋯+-1n-11nxn+-1n∙xn+1n+11+θxn+1

5.定积分重要公式：

※

（1）若f（x）在[-a,a]上连续，则-aaf（x）dx=0a[fx+f（-x）]dx

※

（2）若f（x）在[0,a]上连续，则0af（x）dx=120a[fx+f（a-x）]dx

（3）0πxf（sinx）dx=π20πfsinxdx=π0π2f（sinx）dx

6.几个重要的广义积分：

※

（1）-∞+∞e-x2dx=π（主要记这一个，以下的几个自己推）

（2）0+∞e-x2dx=π2

（3）-∞+∞e-x22dx=2π

（4）0+∞e-x22dx=π2

7.6种常见的麦克劳林展开式：

（1）ex=n=0∞xnn!

x∈-∞,+∞

（2）sinx=n=0∞-1n∙x2n+12n+1!

x∈-∞,+∞

（3）cosx=n=0∞-1n∙x2n2n!

x∈-∞,+∞

（4）ln1+x=n=0∞（-1）n∙xn+1n+1x∈（-1,1]

（5）（1+x）a=n=0∞αα-1⋯α-n+1n!

xnx∈（-1,1）

※特别：

11-x=n=0∞xnx∈（-1,1）

11+x=n=0∞-1n∙xnx∈（-1,1）

（6）arctanx=n=0∞-1n∙x2n+12n+1x∈[-1,1]

8.微分方程与差分方程的6大类：

（1）一阶齐次线性微分方程y'+P（x）y=0通解：

y=Ce-P（x）dx（C=±eC1）

（2）一阶非齐次线性微分方程y'+Pxy=Q（x）的通解：

y=e-Pxdx（QxePxdxdx+C）

（3）二阶常系数齐次线性微分方程y’’+py’+qy=0（p,q为常数）的通解：

由特征方程r2+pr+q=0,解出r1,r2

i.r1,r2为两个不相等的实根：

y=C1er1x+C2er2x

ii.r1,r2为两个相等的实根：

y=（C1+C2x）er1x

iii.r1,r2为一对共轭复根，r1=α+βi,r2=α-βi（α=-p2,β=4q-p22）：

y=eαxC1cosβx+C2sinβx

（4）二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+py’+qy=f（x）的特解：

①若fx=Pm（x）eλx，则特解为y*=xkQm（x）eλx，

i.若λ不是特征方程的根，则k=0

ii.若λ是特征方程的单根，则k=1

iii.若λ是特征方程的重根，则k=2

②若fx=eλxPlxcosωx+Pnxsinωx，则特解为

y*=xkeλxRm

（1）xcosωx+Rm

（2）xsinωx（m=max⁡（l,n））

i.若λ+ωi（或λ-ωi）不是特征方程的根，则k=0

ii.若λ+ωi（或λ-ωi）是特征方程的根，则k=1

（5）一阶常系数齐次线性差分方程yx+1-ayx=0的特征方程为：

λ-a=0

通解为：

Yx=Cax（C为任意常数）

（6）一阶常系数非齐次线性差分方程yx+1-ayx=f（x）的特解为：

①若fx=Pn（x），则特解为：

yx*=xkQn（x）

i.若1不是特征方程的根，则k=0

ii.若1是特征方程的根，则k=1

②若fx=b1cosωx+b2sinωx，则特解为：

yx*=Acosωx+Bsinωx（A,B为待定系数）

9.条件概率公式：

PBA=PABPA

10.全概率公式：

PA=PAB1PB1+PAB2PB2+⋯+PABnPBn

贝叶斯公式：

PBiA=PABiPBij=1nPABjPBji=1,2,⋯,n

※常用的两个公式：

PA=PABPB+PABPBPBA=PABPBPABPB+PABPB

11.※随机变量分布及其数字特征：

分布及数字征

离散型

分布律

期望

方差

（0-1）分布

PX=k=pk1-p1-k

p

p（1-p）

二项分布

PX=k=Cnkpkqn-k

np

npq

几何分布

PX=n=p∙qn-1

1p

qp2

超几何分布

PX=k=CMkCN-Mn-kCNn

nMN

nMN1-MNN-nN-1

泊松分布

PX=k=λkk!

e-λ

λ

λ

分布及数字征

连续型

概率密度

分布函数

期望

方差

均匀分布

fx=1b-a,a

Fx=0,x

a+b2

b-a212

指数分布

fx=λe-λx,x>00,x≤0

Fx=0,x≤01-e-λx,x>0

1λ

1λ2

一般正态分布

fx=12πσe-x-μ22σ2

μ

σ2

标准正态分布

φx=12πe-x22

Φx=12π-∞xe-t22dt

0

1

12.边缘分布公式：

连续型随机变量边缘分布函数：

FXx=Fx,∞,FYy=F∞,y

离散型随机变量边缘分布函数：

不需要记，明白意思就能自己推

连续型随机变量概率密度：

fXx=-∞+∞fx,ydy,fYy=-∞+∞fx,ydx

离散型随机变量概率密度：

不需要记，明白意思就能自己推

13.两个随机变量的函数分布：

i.Z=X+Y的分布

若X与Y不独立，则fX+Yz=-∞+∞f（z-y,y）dyfX+Yz=-∞+∞f（x,z-x）dx

若X与Y独立，则fX+Yz=-∞+∞fXz-yfY（y）dyfX+Yz=-∞+∞fXxfY（z-x）dx

ii.Z=YX的分布；Z=XY的分布

若X与Y不独立，则fYXz=-∞+∞xfx,xzdxfXYz=-∞+∞1xfx,zxdx

若X与Y独立，则fYXz=-∞+∞xfXxfY（xz）dxfXYz=-∞+∞1xfX（x）fYzxdx

iii.M=max{X,Y}及N=min{X,Y}的分布，设X和Y相互独立

※Fmaxz=FX（z）FYz

※Fminz=1-1-FXz[1-FYz]

14.期望及方差公式：

（1）离散型随机变量期望：

EX=k=1∞xkpk

（2）连续型随机变量期望：

EX=-∞+∞xf（x）dx

（3）设Y是X的函数Y=g（X），则

EY=Eg（X）=k=1∞g（xk）pkEY=Eg（X）=-∞+∞g（x）f（x）dx

（4）设Z是二维随机变量（X,Y）的函数Z=g（X,Y），则

EZ=Eg（X,Y）=-∞+∞-∞+∞gx,yf（x,y）dxdyEZ=Eg（X,Y）=j=1∞i=1∞gx,ypij

（5）期望的性质：

i.EX+Y=EX+E（Y）

ii.若X,Y不相关，则：

EXY=EXE（Y）

iii.附加公式：

EX+Y=-∞+∞-∞+∞（x+y）f（x,y）dxdy

EXY=-∞+∞-∞+∞xyf（x,y）dxdy

（6）方差定义式：

DX=EX-EX2

具体写成：

DX=k=1∞xk-EX2pkDX=-∞+∞xk-EX2fxdx

（7）※方差计算式：

DX=EX2-E2X

（8）方差的性质：

i.DCX=C2DX,DX+C=DX

ii.DX±Y=DX+DY±2Cov（X,Y）

iii.若X,Y不相关，则：

DX±Y=DX+DY

（9）切比雪夫不等式：

设随机变量X具有期望EX=μ，方差DX=σ2，则对任意正数ξ有：

PX-μ≥ξ≤σ2ξ2或PX-μ<ξ≥1-σ2ξ2

（10）协方差定义式：

CovX,Y=EX-EXY-EY

（11）协方差计算式：

CovX,Y=EXY-EXEY

（12）协方差的性质：

i.CovaX,bY=abCovX,Y

ii.CovX1+X2,Y=CovX1,Y+CovX2,Y

（13）相关系数：

ρXY=CovX,YDX∙DY

从此处开始以下公式共用一个条件：

X1,X2,⋯,Xn是来自总体X的简单随机样本。

15.

（1）当n充分大时：

k=1nxk-nμnσ~N（0,1）

（2）当n充分大时，上式也可也写成：

X-μσn~N0,1或X~N（μ,σ2n）

16.

（1）样本均值：

X=1ni=1nXi

※

（2）样本方差：

S2=1n-1i=1nXi-X2=1n-1i=1nXi2-nX2

16.χ2分布：

总体X~N（0,1），则

χ2=X12+X22+⋯+Xn2记作：

χ2~χ2（n）E（χ2）=n,Dχ2=2nχ2n1+χ2n2=χ2n1+n2

17.t分布：

设X~N（0,1），Y~χ2（n），则

t=XYn记作：

t~t（n）

若t~t（n），则：

t2~F1,n

18.F分布：

设X~χ2（n1），Y~χ2（n2），且X与Y相互独立，则

F=Xn1Yn2记作：

F~Fn1,n2

若F~Fn1,n2，则1F~Fn2,n1

特例：

若X~N（0,1），Y~N（0,1）则X2Y2~F（1,1）

※19.九个最常见的统计量：

EX=μ,

DX=σ2n,

ES2=σ2

X~Nμ,σ2n,

X-μσn=nX-μσ~N（0,1）

i=1nXi-μ2σ2~χ2（n）

n-1S2σ2=i=1nXi-Xσ2~χ2（n-1）

X-μSn=nX-μS~t（n-1）

nX-μ2S2~F1,n-1

20.施密特正交化公式：

β1=α1β2=α2-β1,α2β1,β1β1β3=α3-β1,α3β1,β1β1-β2,α3β2,β2β2⋯βr=αr-β1,αrβ1,β1β1-β2,αrβ2,β2β2-⋯-βr-1,αrβr-1,βr-1βr-1