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行健杯数学建模竞赛

参赛队员队长：

吴玎祥13852147819

队员：

张浩

队员：

张兵兵

中国矿业大学“行建杯”数学建模竞赛

编号专用页

参赛队伍的参赛号码：

（请各个参赛队提前填写好）：

竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：

竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：

中国矿业大学“行建杯”数学建模竞赛

题目公司决策优化问题

一．摘要

在充分理解题意的基础上，我们提出问题，并对问题作出分析，提出了合理的假设模型，建立“利润=总产值（销售额）-总成本”来使得利润最大化的生产销售方案，并对模型进行验证。

通过对问题的深入分析计算，我们将本题归结为规划问题，并建立了线性规划模型。

通过计算得出：

（1）处理问题时，通过建立模型，尽可能利用数学手段，得到问题最优解，解得1~6月份分别生产轻工艺品800件、1100件、1150件、1300件、1400件、1300件时获得最大利润898360.0元

（2）通过问题---模型经过类比发现，不促销获得利润高于淡季促销以及旺季促销，其获得利润分别如下：

898360.0，874780.0，867426.0。

得出结论，不促销旺季促销情况下的产销方案优于淡季促销和旺季促销，最大利润为898360.0元。

关键字：

线性规划LINGO利润最大化总成本总产值销售

二．问题重述

某企业主要生产一种轻工艺品，在现有的营销策略下，年初对上半年6个月的产品需求预测如表1所示。

表1产品需求预测估计值（件）

月份

1月

2月

3月

4月

5月

6月

预计需求量

1000

1100

1150

1300

1400

1300

1月初工人数为12人，工人每月工作20天，每天工作8小时，按规定，工人每个月加班时间不得超过15个小时。

1月初的库存量为200个。

产品的销售价格为240元/件。

该产品的销售特点是，如果当月的需求不能得到满足，顾客愿意等待该需求在后续的某个月内得到满足，但公司需要对产品的价格进行打折，可以用缺货损失来表示。

6月末的库存不大于150个。

各种成本费用如表2所示。

表2产品各项成本费用

原材料成本

库存成本

缺货损失

外包成本

培训费用

100元/件

10元/件/月

20元/件/月

200元/件

50元/人

解聘费用

产品加工时间

工人正常工资

工人加班工资

100元/人

1.6小时/件

12元/小时/人

18元/小时/人

（1）若你是公司决策人员，请建立数学模型并制定出一个成本最低、利润最大的最优产销方案；

（2）公司销售部门预测：

在计划期内的某个月进行降价促销，当产品价格下降为220元/件时，则接下来的两个月中8%的需求会提前到促销月发生。

试就一月份（淡季）促销和四月份（旺季）促销两种方案以及不促销最优方案

（1）进行对比分析，进而选取最优的产销规划方案。

三．模型的假设

由于市场的不稳定性和一些问题的不确定性，我们做出以下的假设：

（1）工厂正常生产且销售连续不间断且市场稳定即各项费用及销售价格均不发生变化；

（2）生产的产品都合格且都进行外包装；

（3）所有工人都在正常情况下（不允许请假离职）工作且培训期间，员工正常生产；

（4）在问题

（2）中，促销只把5、6月份的需求提前到促销月4月中；

（5）本题中给定的产品预测需求均为定值；

四．符号约定

生产月份

六个月的销售总额

六个月的总成本

六个月的总利润值

月份的人力规模，

月初培训的员工数，

月初解聘的员工数，

月份工人生产的产品数量，

月份末的存货量，

月份末的缺货量，

月份的外包产品数量，

月份的加班工时数，

月份的市场需求量，

五．问题分析

根据题意要求建立数学模型并制定出一个成本最低、利润最大的最优产销方案；该问题是一个在一定约束条件下的最优化问题，初步分析题意后可知约束条件是线性的，所以用线性规划来解决。

由于该题目涉及数据变量不是教多，我们可以直接使用lingo软件直接求解。

问题的约束条件由人数变化和每月销售件数变化范围确定。

问题的目标函数就是总利润函数，即总利润=总销售额-成本（包括人力成本、生产成本，库存缺货成本以及其他成本等）。

我们的目标是确定人数变化和每月销售件数的可行值，使得我们的成本尽可能低，总利润最大。

第二问实质上就是对于第一问的扩展，根据程序运行结果对1月份和4月份促销方案进行判断、并改变相应的数字利用Lingo求解，得到最优结果与未促销时的方案比较得到最优的产销规划方案。

由上面部分，可设每月生产的产品数量，每月的缺货量,,每月的库存量,每月解聘的工人数,每月培训的工人数,每月所有工人总加工时间,每月的工人数,以及每月的外包数量和总成本其中i=1,2,3,4,5,6.可得总成本的表达式为：

（注：

1920=12*8*20即为每个员工每月不加班情况下的工资）

根据以上分析，建立线性规划模型：

根据该模型求解问题。

六．模型的建立与求解

（1）目标函数：

（2）约束条件:

1：

通过分析可知月份的工人数与当月初解雇人数之和应该等于上月工人人数与当月初雇佣人数，由此得到

2：

月份有工人数，而每个月工人工作20天，每天工作8小时，每生产一件产品需要1.6小时，因此每个员工正常工作一个月能生产的产品数为100（20*8/1.6）件，考虑到加班情况，表示每月所有工人加班总工时，因此每月加班能生产的产品数为，而每月总的生产能力应该要大于实际生产的产品数，所以得到

3：

在i月生产量在满足本月预计需求的情况下与相邻两月的库存量或缺货量满足

4：

由题意可知，1月初的缺货量、6月末的缺货量为0、6月末的存货量不大于150件，又因为1月初的存货量为200，1月初的工人人数为12，因此得到

，，，（注：

S0表示1月初的缺货量）

5：

因为每个工人每个月加班时间不得超过15小时，所以得到

6：

因为6月末的库存不大于150，因此所有能生产的产品数与1月份的存货量之和应该满足

除此之外，计划期间的市场需求量是常量，可以用计划需求量表示为

则可得以下综合约束条件：

ST. ,,,

七．模型求解

问题

（1）的求解：

根据目标函数、约束条件并考虑实际应用中有些决策变量只能取整数，利用Lingo进行求解可以得到最优解，该公司的总生产计划如下所示：

表3总生产计划表

月份（）

培训

员工

数/人

（）

加班

时间/小时

（）

人工数/人

（）

解聘

人工数/人

（）

产品

库存/件

（）

产品

缺货/件

（）

外包

数量/件

（）

生产

数量/件

（）

200

800

1100

1150

1300

1400

1300

得到最小成本的最优解为841640.0元。

而产品的销售价格为240元/件，则计划期间的销售收入为：

240*7250=1740000.0元；

计划期间的利润为1740000.0-841640.0=898360.0元。

问题

（2）

问题

（2）利用的仍是问题

（1）的模型，只是每个月的计划需求量有变化，一月份促销方案中接下来的两个月中8%的需求会提前到当月，于是得到一月份需求

四月份促销方案中，因此得到两种促销方案的预计产品需求量为:

表4一月和四月促销方案的预计产品需求量

月份促销

一月份

1180

1012

1058

1300

1400

1300

四月份

1000

1100

1150

1516

1288

1196

利用前面给出的成本最小规划模型，将相关参数值代入该模型进行求解，得到一月份促销方案和四月份促销方案的结果分别为：

一月份促销方案：

总成本为841620.0元。

销售收入为元220*1180+240*（1012+1058+1300+1400+1300）=1716400；

利润为1716400.0-841620.0=874780.0元。

各期间生产计划安排如下表

表5一月份促销方案中各期间生产计划安排表

月份（）

员工

数/人

（）

加班

时间/小时

（）

培训

人工数/人

（）

解聘

人工数/人

（）

产品

库存/件

（）

产品

缺货/件

（）

外包

数量/件

（）

生产

数量/件

（）

200

1000

1050

1300

1400

1300

四月份促销方案：

总成本为842254.0元

销售收入为元220*1516+240*（1000+1100+1150+1288+1196）=1709680.0；

利润为1709680.0-842254.0=86726.0元。

各期间生产计划安排如下表

表6四月份促销方案中各期间生产计划安排

月份（）

员工

数/人

（）

加班

时间/小时

（）

培训

人工数/人

（）

解聘

人工数/人

（）

产品

库存/件

（）

产品

缺货/件

（）

生产

数量/件

（）

外包

数量/件

（）

200

800

1100

1150

1505

1299

1196

结论

问题一：

最大利润为898360.0元。

最优化决策：

1月初时裁去4人，2月初培训3人，3月不做改变，4月

初招聘2人，5月培训1人，6月裁去1人

1~6月分别生产轻工艺品800、1100、1150、1300、1400、

1300件，销售轻工艺品1000、1100、1150、1300、1400、1300件，获得最大利润898360.0元。

问题二：

不促销盈利最多，为898360.0元。

根据经济学经验，所得结论与经验是不太吻合。

运用简单的数学工具，我们对日常生活的小事做了定量分析。

但同时必须注意，这里建立的数学模型与实际产销还有一定的距离，因为在建模的过程中我们做了一些简化和假设，也忽略了一些因素，但对于我们仍有一定的指导作用。

八．模型的分析

运用简单的数学工具，我们对日常生活的小事做了定量分析。

优点：

（1）Lingo的程序清晰明了,通用性好。

（2）模型的建立运用了线性规划来解决问题，使问题简单化。

（3）考虑影响产品的产销情况的各个因素，尤其考虑到在第六个月,可能有缺货的请况,使得分析更贴合实际,得到的结果也更加合理。

缺点：

（1）此模型过于理想化,缺乏一定的合理性，不能完全与实际情况相符合，存在一定的误差。

（2）实际中员工的培训需要一定的时间,但在这里为了简化模型,我们没有考虑员工的培训时间,从而与实际情况脱节。

九．模型应用与推广

本模型具有很好的推广前景，适用于企业工作人员任意变动，加班时间任意变化的优化模型；当销售量变化时，只需对模型中的相应作以修改；本模型的条件中每月加班时间不超过15小时，如改变需对模型适当修改。

在问题

（2）中，我们只考虑利润，而确定了方案一比较好并且其本身就是一个线性规划问题，所以沿用问题

（1）的模型。

十．参考文献

【1】王兵团。

数学建模基础[M].北京：

清华大学出版社，北京交通大学出版社，2004

【2】王连堂主编，《数学建模》，西安：

陕西师范大学，2008.5

【3】姜启源，谢金星，叶俊。

数学建模（第三版）【M】.北京：

高等教育出版社，2003

【4】《优化建模与LINDO/LINDO软件》，谢金星，薛毅编著，北京：

清华大学出版社，2005.7

【5】姜启源，数学模型【M】.北京：

高等教育出版社，1993.2

附录

lingo代码：

MODEL:

SETS:

SET1/1..6/:

W,A,H,L,U,S,P,C,D;

ENDSETS

DATA:

D=1000,1100,1150,1300,1400,1300;

ENDDATA

MIN=@SUM（SET1（i）:

1920*W（i）+18*A（i）+50*H（i）+100*L（i）+10*U（i）+20*S（i）+100*P（i）+200*C（i））;

@FOR（SET1（i）|i#GT#1:

W（i）-W（i-1）-H（i）+L（i）=0;）;

（1）-12-H

（1）+L

（1）=0;

@FOR（SET1（i）:

100*W（i）+A（i）/1.6-P（i）>=0）;

200+P

（1）+C

（1）-D

（1）-U

（1）+S

（1）=0;

（1）+P

（2）+C

（2）-D

（2）-S

（1）-U

（2）+S

（2）=0;

（2）+P（3）+C

（2）-D（3）-S

（2）-U（3）+S（3）=0;

U（3）+P（4）+C（4）-D（4）-S（3）-U（4）+S（4）=0;

U（4）+P（5）+C（5）-D（5）-S（4）-U（5）+S（5）=0;

U（5）+P（6）+C（6）-D（6）-S（5）<=150;

（1）+P

（2）+P（3）+P（4）+P（5）+P（6）+C

（1）+C

（2）+C（3）+C（4）+C（5）+C（6）>=7050;

（1）+P

（2）+P（3）+P（4）+P（5）+P（6）+C

（1）+C

（2）+C（3）+C（4）+C（5）+C（6）<=7200;

@FOR（SET1（i）:

15*W（i）-A（i）>=0）;

@FOR（SET1（i）:

@GIN（W（i））;）;

@FOR（SET1（i）:

@GIN（A（i））;）;

@FOR（SET1（i）:

@GIN（H（i））;）;

@FOR（SET1（i）:

@GIN（L（i））;）;

@FOR（SET1（i）:

@GIN（U（i））;）;

@FOR（SET1（i）:

@GIN（S（i））;）;

@FOR（SET1（i）:

@GIN（P（i））;）;

@FOR（SET1（i）:

@GIN（C（i））;）;

@FOR（SET1（i）:

@GIN（D（i））;）;

END

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

841640.0

Extendedsolversteps:

Totalsolveriterations:

VariableValueReducedCost

（1）8.0000001920.000

（2）11.000001920.000

W（3）11.000001920.000

W（4）13.000001920.000

W（5）14.000001920.000

W（6）13.000001920.000

（1）0.00000018.00000

（2）0.00000018.00000

A（3）80.0000018.00000

A（4）0.00000018.00000

A（5）0.00000018.00000

A（6）0.00000018.00000

（1）0.00000050.00000

（2）3.00000050.00000

H（3）0.00000050.00000

H（4）2.00000050.00000

H（5）1.00000050.00000

H（6）0.00000050.00000

（1）4.000000100.0000

（2）0.000000100.0000

L（3）0.000000100.0000

L（4）0.000000100.0000

L（5）0.000000100.0000

L（6）1.000000100.0000

（1）0.00000010.00000

（2）0.00000010.00000

U（3）0.00000010.00000

U（4）0.00000010.00000

U（5）0.00000010.00000

U（6）0.00000010.00000

（1）0.00000020.00000

（2）0.00000020.00000

S（3）0.00000020.00000

S（4）0.00000020.00000

S（5）0.00000020.00000

S（6）0.00000020.00000

（1）800.0000100.0000

（2）1100.000100.000

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