[精品]人教版中职数学教案-第六章--数列[7份教案]Word文档下载推荐.doc

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精确到1，0.1，0.01，0.001，…的近似值排成一列

1，1.4，1.41，1.414，…；

④

－1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排成一列

－1，1，－1，1，－1，…；

⑤

无穷多个2排成一列

2，2，2，2，…；

⑥

这些都是数列．

2．数列的分类

项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．

练习

（1）已知数列，，，，…，则3是它的第项．

（2）已知数列1，，－，，…，

（－1）n+1·

，…，那么它的第10项是（）．

（A）－1（B）1

（C）－（D）

3．数列的一般形式

数列从第一项开始，按顺序与正整数对应．所以数列的一般形式可以写成

a1，a2，a3，…，an，…，

其中，an是数列的第n项，叫做数列的通项，n叫做an的序号．

整个数列可记作{an}．

4．数列的通项公式

如果an（n=1，2，3，…）与n之间的关系可用

an=f（n）

来表示，那么这个关系式叫做这个数列的通项公式，其中n的取值是正整数集的一个子集．由此可知，数列的通项可以看成以正整数集的子集为定义域的函数．

例如，数列

1，，，，…，，…可记作{}，其通项公式为

an=，nÎ

N+．

如果数列通项的定义域是正整数集，定义域通常略去不写．

教师在学生探究的基础上，给出问题的答案．

教师板书定义．

教师出示一组数列的例子．

师：

数列4，5，6，7，8，9，10；

与10，9，8，7，6，5，4是不同的数列．

而集合｛4，5，6，7，8，9，10｝与｛10，9，8，7，6，5，4｝是相同的集合．

强调数列的有序性，集合元素的无序性．

教师利用上面举过的例子，讲解“数列的分类”．

请学生指出上述数列中的有穷数列和无穷数列：

①②是有穷数列，③④⑤⑥是无穷数列．

同桌之间讨论，完成练习．

教师巡视指导．

观察数列．

1，，，，…．

教师提出问题：

数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？

这一关系可否用一个公式表示？

学生分组讨论．

对于上面的数列，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：

项1

↓↓↓↓

序号1234

这个数列的每一项与这一项的序号可用公式

an=

来表示其对应关系．

强调数列的“有序性”，使学生对数列定义有更深刻的认识，又为后面学习数列的通项公式埋下伏笔．

重视举例这一环节，调动学生的思维，发挥学生的主动性，加深对数列定义的理解．

观察实例，培养学生分类能力．

通过练习，让学生进一步掌握数列的定义．

培养学生的观察能力和由特殊到一般的归纳能力．

小

结

本节课主要学习了以下内容：

1．数列的定义；

2．数列的分类；

3．数列的通项公式．

学生阅读课本P3～P5上半部分，畅谈本节课的收获，教师引导梳理，总结本节课的知识点．

培养学生自己归纳、总结的学习习惯．

作

业

教材P4，探索与研究．

学生课后完成．

巩固拓展．

6.1.2数列的通项

1.理解数列的通项公式的意义，能根据通项公式写出数列的任意一项，以及根据其前几项写出它的一个通项公式．

2.了解数列的递推公式，会根据数列的递推公式写出前几项．

3.培养学生积极参与、大胆探索的精神，培养学生的观察、分析、归纳的能力．

数列的通项公式及其应用．

根据数列的前几项写出满足条件的数列的一个通项公式．

【教学方法】

本节课主要采用例题解决法．通过列举实例，进一步研究数列的项与序号之间的关系．通过三类题目，使学生深刻理解数列通项公式的意义，为以后学习等差数列与等比数列打下基础．

⒈数列的定义

按一定次序排列的一列数叫做数列．

注意：

（1）数列中的数是按一定次序排列的；

（2）同一个数在数列中可以重复出现．

2.数列的一般形式

数列a1，a2，a3，…，an，…，可记作{an}．

3.数列的通项公式：

如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．

教师引导学生复习．

为学生进一步理解通项公式，应用通项公式解决实际问题做好准备．

如果已知一个数列的通项公式，则可依次用限定的正整数1，2，3，…去代替公式中的n，就可求出数列中的各项．

例1根据通项公式，写出下面数列{an}的前5项：

（1）an=；

（2）an=（－1）n·

n.

解

（1）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到数列的前5项为

，，，，；

（2）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到数列的前5项为

－1，2，－3，4，－5．

练习一

根据下列数列{an}的通项公式，写出它的前5项：

（1）an=n3；

（2）an=5（－1）n+1.

练习二

根据下列数列{an}的通项公式，写出它的第7项和第10项：

（2）an=n（n+2）；

（3）an=；

（4）an=－2n+3.

例2写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

（1）1，3，5，7；

（2），，，；

（3）－，，－，．

解

（1）数列的前四项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以它的一个通项公式是

an=2n－1；

（2）数列的前四项，，，分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式是

an==；

（3）数列的前四项－，，－，的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是

an=．

总结：

（1）当一个数列中的数依次出现“＋”“－”相间时，应先把符号分离出来，用（－1）n或（－1）n+1等来表示．

（2）认真观察各数列所给出的项，寻求各项与序号的关系，归纳其规律，抽象出其通项公式．

练习三

（1）已知一个数列的前4项分别是，，，，…，则它的一个通项公式是．

（2）数列，，，，…的一个通项公式是（）．

（A）（B）

（C）（D）

例3已知数列{an}的第1项是1，以后各项由公式

an=1＋（n≥2）

给出，写出这个数列的前5项．

例3中的函数表达式，表达的是任一项an与它的前一项an-1的关系，这样的关系式叫做数列的递推公式．

解不难得出

a1=1；

a2=1＋=1＋=2；

a3=1＋=1＋=；

a4=1＋=1＋=；

a5=1＋=1＋=．

练习四

（1）已知数列{an}，其中a1=1981，an=an－1＋12，n≥2，写出这个数列的前5项．

（2）已知数列{an}中，a5=2009，an=an－1＋12，n≥2．求a1．

学生解答例题．

你能总结一下这类题目的解决方法吗？

学生总结解法，教师点拨、解答学生疑难，多媒体出示解题过程．

请学生在黑板上做练习一和练习二．

老师巡视指导．

师生共同订正答案．

教师引导学生分析数列的每一项与这一项的序号之间的对应关系：

项1357

↓↓↓↓

你能找出各项与项数二者的对应关系满足什么规律吗？

学生探究找出规律：

数列的前四项1，3，5，7都是序号的2倍减去1．

如何用含有n的式子来表示第n项an？

教师对学生的回答给以点评，板书解题过程．

学生根据

（1）题的解题思路，分组合作，讨论解答后两道题．

教师说明数列的通项公式可以不止一个．

教师引导学生总结．

当一个数列中的数依次出现“＋”“－”相间时，应如何解决？

根据数列的前几项，写数列的一个通项公式的方法是什么？

学生合作探究，完成练习．

教师出示例3，引导、点拨．

数列中，an项与an-1项是什么关系？

引导学生得出：

是任一项与前一项的关系．

教师给出递推公式的定义．

学生分组探究．

教师巡视指导，强调代数计算时，要注意正确性．

请学生在黑板上做题．

教师巡视指导、订正．

将例题直接当作成练习，由学生自己寻找解题方法，让学生体验探索与成功的快乐．

由数列的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法，本练习为写通项公式做准备，尤其是对接受能力偏弱的学生，可多举几个例子让学生观察，归纳通项公式与各项序号的关系，尽量为例2做准备．

由数列的前几项写出数列的一个通项公式是学生学习中的一个难点，要帮助学生分析各项的结构特征，让学生依据前几项的规律，寻求项与序号的关系．最后教师引导学生结论．

培养学生的合作探究意识和创新意识．

学生可能会写出多种不同的通项公式，对学生善于思考，勇于创新的精神给予赏识性评价．

培养学生勤动手、动脑、善于总结、归纳的习惯．

通过练习，让学生进一步掌握写通项公式的方法．

在教师的引导下，培养学生观察、分析、归纳的能力．

培养学生积极实践、科学探究的学习态度．

加强练习，体会递推公式的应用．

三类题目：

（1）由数列的通项公式写出数列某一项；

（2）根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式；

（3）根据数列的递推公式写出数列的前几项．

学生阅读课本P5～P7，畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点．

梳理总结也可针对学生薄弱或易错处强调总结．

教材P8，习题第5，6，7题．

6.2.1等差数列的概念

1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；

掌握等差中项的概念．

2.逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题．

3.通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，渗透由特殊到一般的思想．

等差数列的概念及其通项公式．

等差数列通项公式的灵活运用．

本节课主要采用自主探究式教学方法．充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性．在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的．

问题某工厂的仓库里堆放一批钢管（参见教材图6-1），共堆放了7层，试从上到下列出每层钢管的数量．

教师出示引例，并提出问题．

学生探究、解答．

希望学生能通过对日常生活中的实际问题的分析对比，建立等差数列模型，进行探究、解答问题，体验数学发现和创造的过程．

从上例中，我们得到一个数列，每层钢管数为

4，5，6，7，8，9，10.

1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）．

抢答：

下列数列是否为等差数列？

1，2，4，6，8，10，12，…；

0，1，2，3，4，5，6，…；

3，3，3，3，3，3，3，…；

2，4，7，11，16，…；

－8，－6，－4，0，2，4，…；

3，0，－3，－6，－9，…．

求公差d一定要用后项减前项，而不能用前项减后项．

2．常数列

特别地，数列

3，3，3，3，3，3，3，…

也是等差数列，它的公差为0．公差为0的数列叫做常数列．

3．等差数列的通项公式

首项是a1，公差是d的等差数列{an}的通项公式可以表示为

an＝a1＋（n－1）d．

4．通项公式的应用

根据这个通项公式，只要已知首项a1和公差d，便可求得等差数列的任意项an．

事实上，等差数列的通项公式中共有四个变量，知道其中三个，便可求出第四个．

例1求等差数列8，5，2，…的通项公式和第20项．

解因为a1=8，d=5－8=－3，所以这个数列的通项公式是

an=8+（n-1）×

（-3），

即an=－3n+11．所以

a20=－3×

20+11=-49.

例2等差数列－5，－9，－13，…的第多少项是－401？

解因为a1=－5，而且

d=－9－（－5）=－4，

an=－401，

所以

－401=－5+（n－1）×

（－4）．

解得n=100．

即这个数列的第100项是－401．

练习二　

（1）求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项．

（2）求等差数列10，8，6，…的第20项．

练习三

在等差数列{an}中：

（1）d=－，a7=8，求a1；

（2）a1=12，a6=27，求d．

例3在3与7之间插入一个数A，使3，A，7成等差数列，求A．

解因为3，A，7成等差数列，所以

A－3=7－A，2A=3+7．

解得A=5．

5．等差中项的定义

一般地，如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．

6．等差中项公式

如果A是a与b的等差中项，则

A=．

这就表明，两个数的等差中项就是它们的算术平均数．

7．一个结论

在等差数列a1，a2，a3，…，an，…中，

a2=，

a3=，

……

an=，

这就是说，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项．

练习四

求下列各组数的等差中项：

（1）732与－136；

（2）与42．

例4已知一个等差数列的第3项是5，第8项是20，求它的第25项．

解因为a3=5，a8=20，根据通项公式得

整理，得

解此方程组，得a1=－1，d=3．

a25=－1+（25－1）×

3=71.

强调：

已知首项a1和公差d，便可求得等差数列的任意项an．

练习五

（1）已知等差数列{an}中，a1=3，an=21，d=2，求n．

（2）已知等差数列{an}中，a4=10，a5=6，求a8和d．

例5梯子的最高一级是33cm，最低一级是89cm，中间还有7级，各级的宽度成等差数列，求中间各级的宽度．

解用{an}表示题中的等差数列．已知a1=33，an=89，n=9，

则a9=33+（9－1）d，即

89=33+8d，

解得d=7．

于是

a2=33+7=40，

a3=40+7=47，

a4=47+7=54，

a5=54+7=61，

a6=61+7=68，

a7=68+7=75，

a8=75+7=82．

即梯子中间各级的宽从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm．

例6已知一个直角三角形的三条边的长度成等差数列．求证：

它们的比是3∶4∶5．

证明设这个直角三角形的三边长分别为

a－d，a，a+d．

根据勾股定理，得

（a－d）2+a2=（a+d）2．

解得a=4d．

于是这个直角三角形的三边长是3d，4d，5d，即这个直角三角形的三边长的比是3∶4∶5．

请同学们仔细观察，看看这个数列有什么特点？

学生观察、回答．

教师总结特征：

从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）．

我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列．

等差数列的例子，在生活中有很多，谁能再举几个？

教师出示题目．

学生思考、抢答．

你能说出练习一中，各等差数列的公差吗？

学生说出各题的公差d．

教师订正并强调求公差应注意的问题．

已知一个等差数列{an}的首项是a1，公差是d，如何求出它的任意项an呢？

学生分组探究，填空，归纳总结通项公式

a2＝a1+d，

a3=+d=+d

=a1+d，

a4=+d=+d

=a1+d，，

an=a1+d．

一个等差数列的各项，已知和就可以确定下来？

等差数列的通项公式中共有几个变量？

教师引导学生分析本题，已知什么？

求什么？

怎么求？

学生思考、说出已知、所求，代入通项公式．

通项公式是用含有n的式子表示an．

学生尝试解答后，师生共同板书解题过程．

仿照例1，教师引导、点拨．

学生解答．

多媒体出示解题过程．

学生核对、订正．

教师强调解题过程要规范、严谨．

学生练习．

师生共同订正．

教师出示例题．

学生同桌之间合作探究．

学生分析解题思路．

教师出示答案，订正．

在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列．你能用a，b来表示A吗？

学生探究、回答．

教师订正学生的回答，给出等差中项的定义和公式．

你能用文字描述一下这个式子的含义吗？

在等差数列1，3，5，7，9，11，13，…中，每相邻的三项，满足等差中项的关系吗？

学生分组合作探究，得出结论．

能将这个结论推广到一般的等差数列中吗？

学生继续分组合作探究．

教师总结学生的回答，给出结论．

学生做练习．

学生回答各题结果，统一订正答案．

学生分组合作探究．

教师点拨、引导：

（1）例题给出了哪些量？

如何用数列符号表示？

（2）例题中的所求量是什么？

需要知道哪些条件？

教师总结学生思路，给出解题过程．

学生自主练习．

请个别学生在黑板上做题后，师生共同订正．

引导学生将题中的已知和未知转化为用数列符号表示．

教师出示解题过程，强调解题步骤要规范、严谨，叙述要简明、完整．

教师出示例题，提示点拨：

当已知三个数成等差数列时，可将这三个数表示为

a－d，a，a+d，

其中d是公差．由于这样具有对称性，运算时往往容易化简．

学生根据教师的提示，分组探究．

教师引导学生订正解题过程，规范解题步骤．

由特殊到一般，发挥学生的自主性，培养学生