不定积分公式.doc

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Ch4、不定积分

§1、不定积分的概念与性质

1、原函数与不定积分

定义1：

若，则称为的原函数。

①连续函数一定有原函数；

②若为的原函数，则也为的原函数；

事实上，

③的任意两个原函数仅相差一个常数。

事实上，由，得

故表示了的所有原函数，其中为的一个原函数。

定义2：

的所有原函数称为的不定积分，记为，积分号，被积函数，积分变量。

显然

①

②

2、基本积分表（共24个基本积分公式）

3、不定积分的性质

①

②

⑤

⑥

⑦

§2、不定积分的换元法

一、第一类换元法（凑微分法）

1、

例1、求不定积分

①

②

③

④

2、

例2、求不定积分

①

②

③

④

3、

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦

⑧

⑨

⑩

例4、求不定积分

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦

⑧

二、第二类换元法

1、三角代换

例1、

解：

令，则

原式=

例2、

解：

令

原式=

例3、

解：

令，则

原式=

例4、

解：

令，则

原式=

例5、

解：

令，则

原式=

例6、

解：

令，则

原式=

小结：

中含有可考虑用代换

2、无理代换

例7、

解：

令

原式=

例8、

解：

令

原式=

例9、

解：

令

原式=

例10、

解：

令

原式

4、倒代换

例11、

解：

令

原式

§3、分部积分法

分部积分公式：

，故

（前后相乘）（前后交换）

例1、

例2、

例3、

或解：

令

原式

例4、

或解：

令

原式

例5、

故

例6、

例7、

§4、两种典型积分

一、有理函数的积分

有理函数可用待定系数法化为部分分式，然后积分。

例1、将化为部分分式，并计算

解：

故

或解：

例2、

例3、

例4、

二、三角函数有理式的积分

对三角函数有理式积分，令，，故，三角函数有理式积分即变成了有理函数积分。

例5、

解：

令，

原式

例6、

解：

令，

原式

例7、

10