谈数形结合思想在中学数学解题中的应用.doc
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目录
摘要 1
Abstrqct 1
1引言 2
2方程问题 2
2.1方程实根的正负情况 2
2.2求方程实根的个数 3
2.3含参数的方程 3
3不等式问题 4
3.1无理不等式 4
3.2二元二次不等式组 4
3.3高次不等式 5
3.4绝对值不等式 5
3.5含参数的不等式 6
4最值问题 6
4.1转化为直线的截距 6
4.2转化为直线的斜率 7
4.3转化为距离 7
5函数问题 8
5.1比较函数值的大小 8
5.2函数的定义域 9
5.3函数的值域 9
5.4函数求值 10
5.5函数的单调区间 11
5.6函数的奇偶性,单调性 11
6解决线性规划问题 12
参考文献 13
致谢 13
谈数形结合思想在中学数学解题中的应用
XXX
数学与信息学院数学与应用数学专业2011级指导老师:
XXX
摘要：
数形结合思想在中学数学中应用广泛,本文将例举说明数形结合思想方法在方程问题，不等式问题，最值问题，函数问题，线性规划问题等方面的实际应用。
充分说明在解题中运用数形结合的方法，借助几何图形的直观描述，如何使许多抽象的概念和复杂的关系形象化、简单化。
在中学数学解题中充分运用数形结合思想,有助于学生思维能力的培养,有利于他们解题能力的提高。
关键词:
数形结合；数形结合思想；方程问题；不等式问题；最值问题；函数问题；线性规划问题
Onthecombinationofapplicationofthoughtinmiddleschoolmathematics
XXX
CollegeofMathematicsandInformationMathematicsandAppliedMathematics
Grade2011Instructor:
XXX
Abstrqct：
Severalformcombiningideasiswidelyusedinthemiddleschoolmathematics,thisarticlewillillustratethatnumberformcombinedwiththethinkingandmethodsintheequation,inequalityproblem,themostvalueproblem,functionproblem,thepracticalapplicationoflinearprogrammingproblems.Fullexplanationintheproblemsolving,withthemethodofusingthenumberform,withthehelpofavisualdescriptionofthegeometry,howtomakemanyabstractconceptsandvisualandsimplifycomplexrelationships.Fulluseofinthemiddleschoolmathematicsproblem-solvingnumberformcombiningideas,helpstodevelopstudents'thinkingability,isconducivetotheimprovementoftheirabilitytoproblemsolving.
Keywords:
Thenumberofcombinationform;Severalformcombiningideas;Equationproblem;Inequalityproblem;Themostvalueproblems;Functionproblem;Linearprogrammingproblem
1引言
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，我们通常把数与形之间的一一对应关系称之为数形结合或形数结合。
其主要作用是将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
纵观多年来的各地的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，都可起到事半功倍的效果。
在解析几何中就常常利用数量关系去解决图形问题。
将“数”的问题转化为形状的性质去解决，它往往具有直观性，易于理解与接受的优点。
数形结合在解题过程中应用十分广泛，如在解决集合问题，求函数的值域和最值问题，解方程和解不等式问题，三角函数问题，解决线性规划问题中都有体现，运用数形结合思想解题，不仅易于直观的寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理过程，大大简化解题过程。
下面我将就数形结合思想在方程、不等式、线性规划中的应用做一个系统的分析与总结。
2方程问题
方程是中学数学中常见和重要的学习研究对象，特别是二次方程，是方程问题学习中的重点和难点。
而方程、不等式、函数三者之间又有密切联系，这就使得这类问题成为应用数形结合方法的良好载体。
2.1方程实根的正负情况
若用代数方法研究方程根的情况,计算复杂.但如果用数形结合的方法,利用方程与函数的关系,画出函数图象,将方程解的问题转化为函数图象的交点来处理,则形象直观,过程明了。
例1已知二次方程有一正根和一负根,求的取值范围.
解:
设
因为二次项系数大于0，函数图象开口向上，如图1
图1
所以函数与轴的交点落在轴两侧只需，.
解之得，-或.
利用函数图像来研究二次方程，要注意抛物线开口方向的讨论。
分析题意，提取作图的限制条件，列出满足条件的方程，做到不重不漏。
2.2求方程实根的个数
有些方程并不需要求出实根,只要求方程的实根个数.这就没有必要按常规方法求解.利用数形结合,将方程实根的个数转化为曲线的交点的个数.
例2求方程的实根个数。
解：
此题若直接解方程则较为困难，
若利用数形结合，将代数问题转化为几
图2
何问题，则较为简单。
即求两曲线的交
点的个数。
做出函数和的图象，从图2中可以看出两曲线的交点M只有一个，所以，方程只有一个实数解。
例3求方程的解的个数.
解:
作出函数和的图象。
观察图象,两函数图象有3个交点。
所以，原方程的解有3个。
图3
结合函数定义域正确画出函数图像时要注意交点，分界点。
可结合函数的性质或简单的计算、估算作出判断。
2.3含参数的方程
中学数学中常见的是含参数的二次方程，很多数学问题最后都可转化为二次方程问题来处理。
在对二次方程问题的探讨中,对含有参数的二次方程实根问题代数解法讨论较繁而且解题入手点不简明。
若采用数形结合方法解决此类问题,则思路自然、结果简明直观,易操作,容易理解运用。
图4
例4集合,且,求实数的取值范围。
解:
由题意得方程（）等价变形为方程在（0,2）中有解。
设,,
则的图象为抛物线段，图象为过定点（0,0）的直线系，
其中L1:
为切线,切点为（1,2）。
由图4可知,直线系斜率满足时,直线系和抛物线段都相交。
所以，的取值范围是。
由于方程含有参数，因此画出的函数图像不是静态不变的，而是动态变化的，例如直线系，曲线系。
要注意寻找分界点，分界直线。
3不等式问题
不等式问题也是中学数学的重要内容。
不等式是解决问题的一种有利工具，而许多复杂的不等式问题也能通过数形结合的方法得到巧妙解决。
3.1无理不等式
解无理不等式是中学数学的一个重要内容，常规解法是平方去根号转化为有理不等式（组）求解。
但上述解法往往运算量大，过程冗长。
解题中若能注意到某些代数式的功能作用，将原不等式作适当转化，利用数形结合的方法，常能简化解题过程，优化数学思维，提高解题效率。
例5解不等式。
解：
令
则不等式的解就是使的解在的上方的那段图象所对应的横坐标，如图5不等式的解集为。
而可由解得
故不等式的解集为。
3.2二元二次不等式组
例6解不等式组
解:
先考虑相应的方程组
图6
如图6，它们分别表示双曲线和圆由（3）知代入（4）,得。
所以，原不等式的解集为或
熟悉代数式结构，巧用几何意义。
3.3高次不等式
中学数学中主要学习一次不等式与二次不等式。
高次不等式需转化为低次不等式来求解。
最常用的是数轴标根法。
例7解不等式.
图7
解:
因最高次项系数为-1<0,所以原不等式可变形为，方程有实根，，，说明曲线与轴有交标根，如图7所示，
所以，不等式的解集为{
用数轴标根法求解高次不等式时，要特别注意将不等式正确变形为最高次项的系数为正数的形式，注意曲线在数轴上的绕法，特别是重根的情况。
3.4绝对值不等式
若用代数求法求解,需分情况讨论,去除绝对值号来求解.但分类讨论繁琐,过程复杂.利用数形结合方法,将不等式两边视为两个函数，然后在同一直角坐标系中画出它们的图象,则求解简单明了。
例8解不等式（）.
图8
解：
设,.
两曲线有一个交点,且交点在第一象限。
列出方程
即
解之得:
所以，原不等式的解集为:
{x|x>｝
3.5含参数的不等式
若对参数分类讨论来求解，过程烦琐.利用数形结合可大大简化计算过程。
例9若不等式+恒成立,求的取值范围。
解：
要使不等式恒成立，只要+的最小值.考虑用绝对值的几何意义，把+理解为到数轴上两点（-1,0）,（1,0）的距离的和，则较为简单。
当时,有+最小值2.
图9
所以的取值范围是。
与含参数的方程同理，含参数的不等式的图像也是动态变化的，要注意找出分界情况，当然还需要按参数分情况作图。
4最值问题
最值问题若采用代数方法求解,需要大量的计算,过程冗长,且较难找到切入点,一时之间难以入手，若能深刻挖掘题目的几何意义将问题巧妙地转化,往往能简化过程,取得良好的解题效果。
4.1转化为直线的截距
将所求问题看作直线的截距，即求满足题目条件的直线系何时取得最值。
例10已知,求的最大值和最小值。
解:
已知等式可化为,它表示以为圆心，2为半径的圆，可看作是直线的截距。
当取得最值时,直线恰是圆的切线。
从而由距离公式可得:
解得.
故umax=5+2,umin=5-2.
图10
将最值问题转化为直线系的截距，注意找出直线与曲线相切的情况。
4.2转化为直线的斜率
例11如果实数满足方程，求的最大值。
解:
不妨设点在圆上，
图11
圆心为,半径等于,则所求表示的是点与原点连线的斜率。
当与圆相切，且切点落在第一象限时，有最大值，即有最大值。
因为,,所以=1，
=。
将最值问题转化为直线的斜率问题，要注意将原式正确变形，不同的变形，其对应的函数图像也不同。
注意找出相切的情况。
4.3转化为距离
将所求问题通过变形、构造等方法巧妙地转化为距离。
即求点与点，点与直线距离和与差。
结合几何知识，不难求得结果。
若是直接采用代数方法求解，计算复杂，往往事倍功半。
例12当S和T取遍所有实数时，求的最小值.
解:
分析可知，式子可以看成是动点与动点距离的平方，有下面两个函数：
图12
，
故
所以
所以
例13
解：
第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图13）
图13
相切于第一象限时，u取最大值
所以
结合函数图像找出最大或最小距离，利用几何知识加以判断。
5函数问题
函数问题与函数图象密切相关.结合函数的性质画出函数图象，容易理解题意，求解过程简单，结果直观形象。
5.1比较函数值的大小
函数解析式形式多样，函数值形式也多样。
作出函数图像，在图像上找出与函数值对应的点，是最简便快捷的解题方法，且结果直观。
例14比较三个数的大小0.32,20.3.
解:
这三个数看成三个函数:
,
图14
在时对应的函数值，在同一坐标系内作出这三个函数的图像,从图像可以直观地看出当时,对应的三个点的位置,
从而可得出结论:
比较不同名的函数值大小较为困难。
若采用代数方法需有较强的公式变形技巧及运算技巧。
将函数值在图像上表示出来，能避免大量的计算。
尤其是解选择题的快捷途径。
5.2函数的定义域
例15求函数的定义域。
解：
要使函数有意义，必须有：
即.
在同一坐标系中画出和的图象.找出公共区间[（）。
图15
5.3函数的值域
例16若椭圆与抛物线有公共点，则实数的取值范围为_________。
图16
解：
①
②
所以
例17设四面体的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4记它们中的最大者为S，
令，则的取值范围为_________。
⑴取特殊情况
图17
⑵顶点M0时，2（即点M落到底面上）
.
故的取值范围为。
5.4函数求值
许多看似复杂的函数求值问题，其实都可以通过建立数学模型得到巧妙解答。
例18如果三个正数满足
，,的值为________.
解：
分析可得：
构造直角三角形：
⑴结构上：
图18
同理有：
⑵形上觅数：
S△ABC=S△ABF+S△ACF+S△BFC
5.5函数的单调区间
函数图像最为直观形象地反映函数的单调性。
例19设函数指出函数f（x）的单调区间并说明在各个区间上是增函数还是减函数。
解：
当时，==
当时，==
即
作出函数图象.如图19所示
图19
单调区间为[-3,-1）,[-1,0）,[0,1）,[1,3].
由图可知:
函数在[-3,-1）,[0,1）上为减函数,在[-1,0）,[1,3]上为增函数。
5.6函数的奇偶性,单调性
根据题意，结合函数的奇偶性质：
“偶函数的图像关于轴对称；奇函数的图像关于原点对称。
”及增减性质画出图像求解，不仅有助于全面分析解决问题，而且能提高解题效率。
例20设定义在上的偶函数在[0,2]上单调递减，，求实数的取值范围。
解:
利用偶函数图象关于轴对称，以及偶函数的定义:
==
，有.
画出图象,根据已知条件,得
图20
解得:
-1。
利用函数的奇偶性、单调性对画出函数的精确图，粗略图有很大帮助。
6解决线性规划问题
线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。
例21已知且,求的范围。
分析:
此题可利用代数方法中换元法去求解,这里用数形结合法来解决。
图21
解：
在平面坐标系中作出直线，,,,则和表示平面上的阴影部分（包括边界）,如图21所示，令,则，显然为直线系在y轴上截距2倍的相反数,易看出,直线过阴影最左边的点A时,取最小值5；过阴影最右边的点时,m取最大值10。
即的范围是。
该题是用数形结合思想解决具有约束条件的函数的最值问题。
参考文献：
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44.
[2]候祥伟.例谈数形结合思想在高中数学解题中的应用[J].高中数理化，2014，13：
49—50.
[3]张耀美.例谈数形结合思想在解题中的应用[J].试题与研究（新课程论坛），2013，4：
61.
[4]聂毅.例谈数形结合思想在高考函数解题中的应用[J].理科爱好者（教育教学版），2013，4：
62，83.
致谢
在我毕业论文开题、调查、研究和撰写过程中，xxx教授给予了我耐心、细致和全面的帮助。
导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。
不禁使我树立了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处事的道理。
本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导新完成的，倾注了导师大量的心血。
在此谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢!
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