数学建模课后习题作业.docx
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数学建模习题选做陈文滨
选修课——数学建模部分习题详细解答
【陈文滨】
1、在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？
【模型假设】
（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．
（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件．
（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。
【模型建立】
在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．
首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。
于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．
如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置．
其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来．
我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．
由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0．因此，只需引入两个距离函数即可．考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了．因此，记A、B两脚与地面竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。
数学模型：
已知f（θ）和g（θ）是θ的非负连续函数，对任意θ，f（θ）•g（θ）＝0，证明：
存在θ0∈[0，π]，使得f（θ0）＝g（θ0）＝0成立。
【模型求解】
如果f（0）＝g（0）＝0，那么结论成立。
如果f（0）与g（0）不同时为零，不妨设f（0）＞0，g（0）＝0。
这时，将长方形ABCD绕点O逆时针旋转角度π后，点A，B分别与C，D互换，但长方形ABCD在地面上所处的位置不变，由此可知，f（π）＝g（0），g（π）＝f（0）.而由f（0）＞0，g（0）＝0，得g（π）＞0，f（π）＝0。
令h（θ）＝f（θ）－g（θ），由f（θ）和g（θ）的连续性知h（θ）也是连续函数。
又h（0）＝f（0）－g（0）＞0，h（π）＝f（π）－g（π）＜0，,根据连续函数介值定理，必存在θ0∈（0，π）使得h（θ0）＝0，即f（θ0）＝g（θ0）；
又因为f（θ0）•g（θ0）＝0，所以f（θ0）＝g（θ0）＝0。
于是，椅子的四只脚同时着地，放稳了。
【模型讨论】
用函数的观点来解决问题，引入合适的函数是关键．本模型的巧妙之处就在于用变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四只脚与地面的竖直距离．运用这个模型，不但可以确信椅子能在不平的地面上放稳，而且可以指导我们如何通过旋转将地面上放不稳的椅子放稳．
2、人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。
问人、狗、鸡、米怎样过河
【模型假设】
人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外，只能载猫、鸡、米三者之一，人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
试设计一个安全过河方案，使渡河次数尽量地少。
【符号说明】
：
代表人的状态，人在该左岸或船上取值为1，否则为0；
：
代表猫的状态，猫在该左岸或船上取值为1，否则为0；
：
代表鸡的状态，鸡在该左岸或船上取值为1，否则为0；
：
代表米的状态，米在该左岸或船上取值为1，否则为0；
：
状态向量，代表时刻K左岸的状态；
：
决策向量，代表时刻K船上的状态；
【模型建立】
限制条件：
初始状态：
目标：
确定有效状态集合，使得在有限步内左岸状态由
【模型求解】
根据乘法原理，四维向量共有种情况，根据限制条件可以排除三种情况，其余13种情况可以归入两个集合进行匹配，易知可行决策集仅有五个元素：
状态集有8个元素，将其进行匹配，共有两种运送方案：
方案一：
人先带鸡过河，然后人再回左岸，把米带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把猫带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸（状态见表1）；
方案二：
人先带鸡过河，然后人再回左岸，把猫带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把米带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸（状态见表2）。
表1：
方案一的状态与决策
时刻
左岸状态
船上
（1,1,1,1）
（0,0,0,0）
（0,1,0,1）
（1,0,1,0）
（1,1,0,1）
（1,0,0,0）
（0,1,0,0）
（1,0,0,1）
（1,1,1,0）
（1,0,1,0）
（0,0,1,0）
（1,1,0,0）
（1,0,1,0）
（1,0,0,0）
（0,0,0,0）
（1,0,1,0）
表2：
方案二的状态与决策
时刻
左岸状态
船上
（1,1,1,1）
（0,0,0,0）
（0,1,0,1）
（1,0,1,0）
（1,1,0,1）
（1,0,0,0）
（0,0,0,1）
（1,1,0,0）
（1,0,1,1）
（1,0,1,0）
（0,0,1,0）
（1,0,0,1）
（1,0,1,0）
（1,0,0,0）
（0,0,0,0）
（1,0,1,0）
3、报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖完的报纸退回。
设每份报纸的购进价为，零售价为，退回价为，应该自然地假设。
这就是说，报童售出一份报纸赚，退回一份报纸赔。
报童如果每天购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。
请你为报童筹划一下，他应该如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。
【符号说明】
报纸具有时效性每份报纸进价b元，卖出价a元，卖不完退回份报纸c元。
设每日的订购量为n，如果订购的多了，报纸剩下会造成浪费，甚至陪钱。
订的少了，报纸不够卖，又会少赚钱。
为了获得最大效益，现在要确定最优订购量n。
n的意义。
n是每天购进报纸的数量，确定n一方面可以使报童长期以内拥有一个稳定的收入，另一方面也可以让报社确定每日的印刷量，避免纸张浪费。
所以，笔者认为n的意义是双重的。
本题就是让我们根据a、b、c及r来确定每日进购数n。
【模型假设】
1、假设报童现在要与报社签定一个长期的订购合同，所以要确定每日的订购量n。
2、假设报纸每日的需求量是r，但报童是一个初次涉足卖报行业的菜鸟，毫无经验，无法掌握需求量r的分布函数,只知道每份报纸的进价b、售价a及退回价c。
3、假设每日的定购量是n。
4、报童的目的是尽可能的多赚钱。
【模型建立】
应该根据需求量r确定需求量n，而需求量r是随机的，所以这是一个风险决策问题。
而报童却因为自身的局限，无法掌握每日需求量的分布规律，已确定优化模型的目标函数。
但是要得到n值，我们可以从卖报纸的结果入手，结合r与n的量化关系，从实际出发最终确定n值。
由常识可以知道卖报纸只有赚钱、不赚钱不赔钱、赔钱会有三种结果。
现在用简单的数学式表示这三种结果。
1、赚钱。
赚钱又可分为两种情况:
①r>n，则最终收益为（a-b）n
（1）
②r0
整理得：
r/n>（b-c）/（a-c）
（2）
2、由
（2）式容易得出不赚钱不赔钱。
r/n=（b-c）/（a-c） （3）
3、赔钱。
r/n<（b-c）/（a-c） （4）
【模型求解】
首先由
（1）式可以看出n与最终的收益呈正相关。
收益越多，n的取值越大。
但同时订购量n又由需求量r约束，不可能无限的增大。
所以求n问题就转化成研究r与n的之间的约束关系。
然后分析（3）、（4）两式。
因为（3）、（4）分别代表不赚钱不赔钱及赔钱两种情况，而我们确定n值是为了获得最大收益，所以可以预见由（3）、（4）两式确立出的n值不是我们需要的结果，所以在这里可以排除，不予以讨论。
最后重点分析
（2）式。
显然式中r表需求量，n表订购量，（b-c）表示退回一份儿报纸赔的钱。
因为（a-c）无法表示一个显而易见的意义，所以现在把它放入不等式中做研究。
由a>b>c,可得a-c>a-b，而（a-b）恰好是卖一份报纸赚得的钱。
然后采用放缩法，把
（2）式中的（a-c）换成（a-b），得到
r/n<（b-c）/（a-b） （5）
不等式依然成立。
由（5）式再结合
（1）式可知收益与n正相关，所以要想使订购数n的份数越多，报童每份报纸赔钱（b-c）与赚钱（a-b）的比值就应越小。
当报社与报童签订的合同使报童每份报纸赔钱与赚钱之比越小，订购数就应越多。
5、赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。
各种艇虽大小不同，但形状相似。
现在考虑八人艇分重量级组（桨手体重不超过86kg）和轻量级组（桨手体重不超过73kg），建立模型说明重量级组的成绩比轻量级组大约好5%。
【符号说明】
符号
意义
艇长
艇宽
总功率
艇排水体积
艇与浆手总重
赛艇净重
重量级浆手重量
轻量级浆手总重
艇的浸没面积
重量级艇速
轻量级艇速
艇前进时受到的阻力
重量级赛艇成绩（时间）
轻量级赛艇成绩（时间）
比例常数
【模型假设】
1．为常数，赛艇净重与浆手数目成正比，即；
2．赛艇前进时收到阻力与成正比；
3.每个浆手比赛时划桨功率保持不变，且功率与体重成正比。
【模型建立】
克服阻力做功功率为，因此总功率满足，且，我们用量纲法进行建模：
对于重量级八人赛艇：
（1）
（2）
（3）
由上述各式有：
，因此（4）
且已知（5）
又赛艇总重;由于假设2可知：
（为常数），因此有。
我们如下定义：
（6）
从而（7）
根据阿基米德定律,根据（7）式：
（8）
将（8）式代入（5）式中有：
（9）
将（9）式代入（4）式中有：
（10）
因为V与t成反比，有：
（11）
同理，对于轻量级快艇，我们有：
（12）
结合（11）与（12）式，我们可以知道两种快艇成绩比值的关系：
（13）
【模型求解】
根据（13）式，我们有重量级八人赛艇比轻量级八人赛艇的成绩领先率为：
我们令W1=86kg，W2=73kg
在十分接近1时，；
在的情况下，。
模型求解的结果表明86kg重量级8人赛艇的成绩至少可以73kg比轻量级赛艇成绩好5.6%，成绩提升的上限约为13%。
【模型讨论】
这个模求解结果表明，各个参赛选手训练，配合水平相近的情况下，对于浆手数量相同的赛艇比赛，有以下途径提升成绩：
在竞赛许可范围内增加运动员体重；
尽可能减少赛艇重量；
这也说明了为什么赛艇项目是西方发达国家的传统强项，因为这些国家普遍生活水平高，远动员身体素质较好，体重较大；而且这些国家科技比较发达，对于制作赛艇的新材料研制走在了世界前列，其赛艇重量比一般国家要轻。
7、假定人口的增长服从这样的规律：
时刻的人口为,单位时间内人口的增量与成正比（其中为最大容量）.试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果比较.
【模型建立】
现考察某地区的人口数，记时刻的人口数为（一般是很大的整数）,且设为连续可微函数.又设.任给时刻及时间增量,因为单位时间内人口增长量与成正比,假设其比例系数为常数.则到内人口的增量为：
.
【模型求解】
两边除以,并令,得到
解为
8、一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。
根据市场需求，生产的A1，A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。
现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。
（1）试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大。
（2）33元可买到1桶牛奶，买吗？
（3）若买，每天最多买多少?
（4）可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?
（5）A1的获利增加到30元/公斤，应否改变生产计划？
【模型假设】
每天生产将x桶牛奶加工成A1，y桶牛奶加工成A2，所获得的收益为Z元。
加工每桶牛奶的信息表:
产品
A1
A2
所需时间
12小时
8小时
产量
3公斤
4公斤
获利/公斤
24元
16元
【模型求解】
x+y<=50
Z=24*3x+16*4y=72x+64y
解得，当x=20，y=30时，Zmax=3360元
则此时，生产生产计划为20桶牛奶生产A1，30桶牛奶生产A2。
（2）设：
纯利润为W元。
W=Z-33*（x+y）=39x+31y=3360-33*50=1710（元）>0
则，牛奶33元/桶可以买。
（3）若不限定牛奶的供应量，则其优化条件变为：
W=39x+31y
解得，当x=0，y=60时，Wmax=1860元
则最多购买60桶牛奶。
（4）若将全部的利润用来支付工人工资，设工资最高为n元。
n=Wmax/480=3.875（元）
（5）若A1的获利为30元，则其优化条件不变。
Z1=90x+64y
解得，当x=0，y=60时，Z1max=3840（元）
因此，不必改变生产计划。
9、建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数，销售速率为常数，．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间一边生产一边销售，后来的一段时间只销售不生产，画出贮存量的图形.设每次生产准备费为，单位时间每件产品贮存费为，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论和的情况.
【模型建立】
建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数，销售速率为常数，．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间一边生产一边销售，后来的一段时间只销售不生产，画出贮存量的图形.设每次生产准备费为，单位时间每件产品贮存费为
【模型求解】
由题意可得贮存量的图形如下：
O
贮存费为
又
贮存费变为
于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为
.
得
易得函数取得最小值，即最优周期为：
.相当于不考虑生产的情况.
.此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.
10、在考虑最优价格问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本随时间增长，设，.又设单位时间的销售量为.今将销售期分为两段，每段的价格固定，记作.求的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T内的总售量为，再求的最优值.
【模型求解】
按分段价格，单位时间内的销售量为
又.于是总利润为
=
=
得到最优价格为:
在销售期T内的总销量为
于是得到如下极值问题：
利用拉格朗日乘数法，解得：
即为的最优值.
11、某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用原料1千克,原料5千克；一件乙产品用原料2千克,原料4千克.现有原料20千克,原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？
【模型建立】
设安排生产甲产品x件,乙产品y件，相应的利润为S
则此问题的数学模型为：
maxS=20x+30y
s.t.
【模型求解】
这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解
可行域为：
由直线：
x+2y=20,:
5x+4y＝70
y
以及x=0,y=0组成的凸四边形区域.
直线：
20x+30y=c在可行域内
平行移动.
易知：
当过与的交点时，x
S取最大值.
由解得
此时＝20＝350（元）
12某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：
货物
体积
（立方米/箱）
重量
（百斤/箱）
利润
（百元/箱）
甲
5
2
20
乙
4
5
10
已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.
【模型建立】
设甲货物、乙货物的托运箱数分别为,,所获利润为则问题的数学模型可表示
【模型求解】
这是一个整线性规划问题.
用图解法求解.
可行域为：
由直线
及组成
直线在此凸四边形区域内平行移动.
易知：
当过与的交点时，取最大值
由解得
.
13、在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为
初始兵力相同.
（1）问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.
（2）若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.
【模型建立】
用表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:
【模型求解】
现求
（1）的解:
（1）的系数矩阵为
.
再由初始条件，得
又由
其解为
（1）
即乙方取胜时的剩余兵力数为
又令
注意到.
（2）若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率增援.则
相轨线为
此相轨线比书图11中的轨线上移了乙方取胜的条件为
14、在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律，而单位时间捕捞量为常数h．
（1）分别就，，这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．
（2）如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同．
【模型建立】
设时刻t的渔场中鱼的数量为，则由题设条件知：
变化规律的数学模型为
记
【模型求解】
（1）.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性：
由，得．
即
，
（1）的解为：
①当，，
（1）无实根，此时无平衡点；
②当，，
（1）有两个相等的实根，平衡点为.
，不能断定其稳定性.
但及均有，即．不稳定；
③当，时，得到两个平衡点：
，
易知：
，，，
平衡点不稳定，平衡点稳定
x
（2）最大持续产量的数学模型为
即，
易得此时，
但这个平衡点不稳定．这是与6.1节的产量模型不同之处．
要获得最大持续产量，应使渔场鱼量，且尽量接近，但不能等于．
16、对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：
（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第时段的价格由第和第时段的数量和决定，如果仍设仍只取决于，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.
（2）若除了由和决定之外，也由前两个时段的价格和确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽.
【模型建立】
（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：
【模型求解】
在点附近用直线来近似曲线，得到
由
（2）得
（1）代入（3）得
对应齐次方程的特征方程为
特征根为
当时，则有特征根在单位圆外，设，则
即平衡稳定的条件为与的结果一致.
（2）此时需求函数、供应函数在处附近的直线近似表达式分别为：
由（5）得，
将（4）代入（6），得
对应齐次方程的特征方程为
代数方程（7）无正实根，且不是（7）的根.设（7）的三个非零根分别为，则
对（7）作变换：
则
其中
用卡丹公式：
其中
求出，从而得到，于是得到所有特征根的条件.
18、在节传送带效率模型中,设工人数固定不变.若想提高传送带效率D,一种简单的方法是增加一个周期内通过工作台的钩子数，比如增加一倍，其它条件不变．另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样．试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好．
【模型建立】
两种情况的钩子数均为．第一种办法是个位置，单钩放置个钩子；第二种办法是个位置，成对放置个钩子．
【模型求解】
①由节的传送带效率
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