数学建模森林救火问题.doc
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扬州工业职业技术学院
森林救火问题的研究
【摘要】:
森林救火问题是一个优化问题,经过分析我们决定采用极值法和定积分的方法来求森林烧毁的面积,从而解决该问题,通过对问题的剖析,得出表达式:
救火的总费用=单位森林面积损失费×损失面积每个队员的单位时间灭火费用人数灭火时间+单位人数一次性支出×参加救火的消防员人数.
对各个量进行分析,得知森林损失面积较为难求,于是我们将其单独考虑。
在有风的情况下,火势蔓延速度是增加的更快,所以损失面积的表达式图像我们可以近似的看成是一个扇形,由于面积不容易求出,于是我们想到了采用定积分的方法来求扇形图形面积,最后可以求出总费用的表达式,变化出消防员人数的表达式,再用极值法讨论出最佳的人数,从而解决了这个问题
【Summary:
theforestfireproblemisanoptimizationproblem,afteranalyses,wedecidedtouseextrememethodandthedefiniteintegralmethodtofindtheareaofforestburned,soastosolvetheproblem,throughananalysisoftheproblem,thatexpression:
Firetotalcost=Unitsforestarealosses×LossareaEveryteammemberthecostperunitoftimefightingnumberextinguishingtime+unitnumberofone-timeexpenditures×participatedinfirefighting,thenumberoffiremen.
Onvariouslevels,theareaofforestlosswasmoredifficulttofind,sowewillwhichseparateconsideration.Inwindyconditions,thespreadrateisincreasingfaster,sothelossofexpressionimagewecanapproximateasafan,becausetheareaisnoteasytofind,soweexpecttheuseofthedefiniteintegralmethodtogetthefinalfan-shapedpatternarea,youcanfindoutthetotalcostofanexpression,changethenumberoffiremen,thenusestheexpressionsextrememethoddiscussedthebest,inordertosolvethisproblem
【关键词】
森林救火优化模型极值问题:
1.问题重述
森林失火了!
消防站接到火警后,立即决定派消防队员前去救火。
一般情况下,派往的队员越多,火被扑灭的越快,火灾所造成的损失越小,但是救援的开支就越大;相反,派往的队员越少,救援开支越少,但灭火时间越长,而且可能由于不能及时灭火而造成更大的损失,那末消防站应派出多少队员前去救火呢?
2.问题分析
如题中所述,森林救火问题与派出的消防队员的人数密切相关,应综合考虑森林损失费和救援费,以总费用最小为目标来确定派出的消防队员的人数使总费用最小。
由此看来这就是一个优化问题了。
救火的总费用由损失费和救援费两部分组成。
损失费由森林被烧毁的面积大小决定,而烧毁面积与失火、灭火(指火被扑灭)之间的时间差(即火灾持续的时间)有关,灭火时间又取决于参加灭火的队员的数目,队员越多灭火越快。
救援费除与队员人数有关外,也与灭火时间长短有关。
救援费可具体分为两部分:
一部分(f1(x))是灭火器材的消耗和消防队员的薪金等,这些与队员人数及灭火时间有关;另一部分(f2(x))是运送队员和器材等一次性支出,只与队员人数有关。
2.1对f1(x)分析
f1(x)=森林单位面积损失费×损失面积
其中森林单位面积损失费用是固定的,我们需要考虑的就是设计模型求解损失面积。
2.2对ƒ2(x)分析
f2(x)=单位人数一次性支出×参加救火的消防员人数
单位人数一次性支出也是一定的,人数为待求量。
由此f2(x)表达式的确立并不困难。
综上可知,问题的关键在确定森林损失面积的表达式:
3.符号说明
x:
消防员人数
R为燃烧半径
S:
森林烧毁的面积
:
消防队员平均灭火速度
火在无风状态下的自燃速度
风的速度
a1:
火灾中森林单位面积的损失
a2:
每个队员的单位时间灭火费用
a3:
每个消防员一次性费用
4.模型假设
1)森林损失面积为扇形且角度θ不变
2)风速不变
3)消防员足够多
4)消防员平均救火速度不变
0£t£t1,dS/dt与t成正比,系数+=U
(火势蔓延速度)
5)t1£t£t2,+降为+-x(为队员的平均灭火速度)
n
R
è
火
R-nv
6)f1(x)与R(t2)成正比,系数a1(烧毁单位面积损失费)
7)每个队员的单位时间灭火费用a2,一次性费用a3
5图像分析和模型求解:
根据假设的图像我们还可以得到进一步的图像;
t1
t2
O
U
t
u
对于面积S(t)的图像我们做出了合理化的假设,图像如下:
S(t)
S(t)
t1
t
O
t2
令D[f[x],x]=0,求出最合理的人数x人。
6.模型求解分析:
设火灾发生时刻为t=0,开始救火时刻为t=t1,灭火时刻为t=t2,t时刻森林烧毁面积为S(t),则造成损失的被烧毁的森林的面积为S(t2),其导数是森林被烧毁的速度,也表示了火势蔓延的程度。
从火灾发生时刻开始到火被扑灭的过程中,被烧毁的森林的面积是不断扩大的,因而S(t)应是时间t的单调非减的函数,即从火灾发生到消防队员到达并开始救火这段时间内,火势是越来越大的,即。
开始救火以后,即t=t1时,如果队员灭火能力足够强,火势会越来越小,即t1~t2,并且当t=t2时,火势停止蔓延。
7.模型评价:
8.参考文献;
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