轴对称图形典型习题.doc
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轴对称图形
考点1：
轴对称及轴对称图形的意义
一、考点讲解：
1．轴对称：
两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段．
2．如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3．轴对称的性质：
如果两个图形关于某广条直线对称，那以对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应点的连线互相平行或在同一条直线上，对应的线段（或其延长线）相交，交点在对称轴上。
4．简单的轴对称图形：
线段：
有两条对称轴：
线段所在直线和线段中垂线．
角：
有一条对称轴：
该角的平分线所在的直线．
等腰（非等边）三角形：
有一条对称轴，底边中垂线．
等边三角形：
有三条对称轴：
每条边的中垂线．
等腰梯形：
过两底中点的直线
正n边形有n条对称轴
圆有无数条对称轴。
二、基本图形：
A
B
C
D
P
1．已知：
点A、B分别在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最短。
A
B
l
A
B
变形1：
正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，在对角线AC上找一点P，使PA+PB最短。
变形2：
已知点A（1，6）、点B（6，4），在x轴和y轴上各找一点C、D，使四边形ACDB的周长最短。
三、经典考题剖析：
1．在下面四个图案中，如果不考虑图中的文字和字母，那么不是轴对称图形的是（ ）
2．下列图形中是轴对称图形的是（）。
B
D
C
A
3．下列图形中，是轴对称图形的有（ ）
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个
4．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
（A）（B）（C）（D）
5．如图，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A=1300，
∠B=1100．那么∠BCD的度数等于 （ ）
A.400 B.500 C．600 D.700
A．
B．
C．
D．
6．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ）
7．如图5，请你画出方格纸中的图形关于点的中心对称图形，并写出整个图形的对称轴的条数．
O
图5
四、针对性训练：
1．从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是，该车的后5位号码实际是。
2．图4是平面镜里看到背向墙壁的电子钟示数，这时的实际时间应该是．
图4
3．请先找出正三边形、正四边形、正五边形等正多边形的对称轴的条数，再猜想正边形对称轴的条数为 ．
4．下列图形中，是轴对称图形的为
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
5．下列图案中，不是轴对称图形的是
友情提醒：
观察运动的重要标示，好好观察！
加油！
图片中的文字可忽略不看！
只看大致形状
6．下图形是轴对称图形的是
（A）（B）（C）（D）
7．下列图形中，是轴对称图形的个数为
A．0个B．1个C.2个D.3个
8．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
Ａ．菱形、正方形、平行四边形 Ｂ．矩形、等腰三角形、圆
Ｃ．矩形、正方形、等腰梯形 Ｄ．菱形、正方形、圆
9．下列汽车标志中既是轴对称又是中心对称图形的是（）
大众本田欧宝奥迪
A．B．C．D．
10．如图是一辆汽车车牌在水中的倒影，则该车的牌照号码是……（）
A．W17639B．W17936
C．M17639D．M17936
11．如图，在平面直角坐标系中，请按下列要求分别作出变换后的图形（图中每个小正方形的边长为个单位）：
（1）向右平移个单位；
（2）关于轴对称；（3）绕点顺时针方向旋转．
（第11题图）
12．
如图，是由半圆和三角形组成的图形，请以为对称轴，作出图形的另一半（用尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法和证明）
13．
如图所示，在一笔直的公路的同一旁有两个新开发区，已知千米，直线与公路的夹角，新开发区到公路的距离千米．
（1）求新开发区到公路的距离；
（2）现要在上某点处向新开发区修两条公路，使点到新开发区的距离之和最短．请你用尺规作图在图中找出点的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出此时的值．
考点2：
折叠问题
一、考点讲解：
常见的折叠问题有两种类型：
一种是将一个图形沿着某一条直线折叠到另一个位置，这时候，这条直线两旁的图形全等；另一种是将一个图形沿着某一条直线折叠，使两个点重合，此时，这折痕所在的直线是这两点连线的垂直平分线。
二、基本图形：
1．将矩形ABCD沿着对角线AC对折，则三角形AFC是三角形。
B
A
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
B`
变形：
若矩形ABCD中，AB=6，AD=3，求三角形AFC的面积。
2．将矩形ABCD沿着EF对折，使点B与点D重合，若AB=8，AD=10，求折痕EF的长。
（第1题）
三、典型例题剖析：
1．（2006宿迁市4分）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′＝30°，则∠AED′等于（）
A．30° B．45°
C．60° D．75°
2．（2006内江市3分）如图
（1）将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD的中位线FG上，若AB=，则AE的长为（）
B′
F
E
G
D
C
B
A
A.B.3C.2D.
_
B
_
D
_
E
_
A
_
C
3、（2006遂宁市3分）如图在梯形ABCD中,∠DCB=900;AB∥CD,
AB=25,BC=24.将该梯形折叠,点A愉好与点D
重合,BE为折痕,那么AD的长度为_________.
4．（2006临汾市3分）将一张菱形纸片，按下图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
①
②
③
④
A．
B．
C．
D．
5．（2006聊城市8分）如图，将一张矩形纸片折叠，使落在边上，然后打开，折痕为，顶点的落点为．你认为四边形是什么特殊四边形？
请说出你的理由．
A
D
C
B
E
F
A
D
C
B
A
D
C
B
第5题图
四、针对性训练：
A
B
C
D
E
F
1
图1
D
A
B
C
F
E
1．（2006梅州市3分）如图1，把矩形沿对折，若，则等于（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
2．（2006临汾市2分）如图，将矩形纸片沿向上折叠，使点落在边上的点处．若的周长为9，的周长为3，则矩形的周长为________．
4题
3．（2006鸡西市3分）如图，△ABC中，∠B=900，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，并且C′D∥BC，则CD的长是（）
（A）（B）（C）（D）
4．（2006山西3分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝2，∠ADB＝30°，沿对角线BD折叠（使△ABD和△EBD落在同一平面内），则A、E两点间的距离为＿＿＿＿．
5．（2006河北省3分）小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图9－1的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm；展开后按图9－2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离
是_______cm．
左
右
左
右
第二次折叠
第一次折叠
图9－1
图9－2
6．（2006汉川市3分）将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是
A
B
C
D
7．（2006郴州市10分）如图7，矩形纸片的边长分别为．将纸片任意翻折（如图8），折痕为．（在上），使顶点落在四边形内一点，的延长线交直线于，再将纸片的另一部分翻折，使落在直线上一点，且所在直线与所在直线重合（如图9）折痕为．
（1）猜想两折痕之间的位置关系，并加以证明．
（2）若的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕间的距离有何变化？
请说明理由．
A
M
D
Q
C
P
B
M
D
Q
C
P
Ａ
B
N
M
D
Q
C
P
Ａ
B
N
A
D
C
B
a
b
图7
图8
图9
图10
（3）若的角度在每次翻折的过程中都为（如图10），每次翻折后，非重叠部分的四边形，及四边形的周长与有何关系，为什么？
考点3：
线段的垂直平分和角的平分线
一、考点讲解：
1．线段垂直分线：
（1）定义：
垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫做中垂线。
（2）线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（3）三角形的三条垂直平分线相交于一点，这一点叫三角形的外心（三角形外接圆的圆心），它的位置可能在三角形的内部、外部或边上，它到三角形三个顶点的距离相等。
２．角的平分线：
（1）角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
（2）三角形的三条角平分线相交于一点，这一点叫三角形的内心（三角形内接圆的圆心），它到三角形三条边的距离相等。
二、基本图形：
1.三角形ABC中，DE垂直平分AC，则三角形BCD的周长等于
变形：
三角形ABC中，DF、EG分别垂直平分AB和AC，则三角形AFG的周长等于
A
C
E
B
D
A
B
C
D
E
F
G
2.在中找一点P，使点P到两边的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等。
E
D
C
M
N
A
B
C
3.在平面内找一点P，使点P到三条直线的距离相等。
三、典型例题剖析：
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，
DE⊥AB，CD=5cm，则DE的长是。
2．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，若AC=6，△ABD
的周长是13，，则△ABC的周长是；若△ABC的周长
是30，△ABD的周长是25，则AC=。
若∠C=30°，则
∠ADB=
3．（2006泰州市3分）如图,在10×10的正方形网格纸中,线段AB、CD的长均等于5．则图中到AB和CD所在直线的距离相等的网格点的个数有
A
D
C
B
第3题图
A．2个B．3个C．4个D．5个
考点4：
等腰三角形
一、考点讲解：
1．等腰三角形：
（1）定义：
有两条边相等的三角形是等腰三角形。
（2）性质：
两条腰相等；
两个底角相等；
三线合一：
底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线互相重合。
（3）判定：
两条边相等的三角形是等腰三角形。
等角对等边
2．等边三角形：
（1）定义：
三条边相等的三角形是等边三角形。
（2）性质：
三条边相等；三个角都是60度。
（3）判定：
三条边都相等的三角形是等边三角形；
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
3．直角三角形：
（1）定义：
有一个角是直角的三角形是直角三角形。
（2）性质：
两个锐角互余；
两条直角边的平方和等于斜边的平方；
特殊：
斜边上的中线等于斜边的一半；
30度所对的直角边等于斜边的一半；
（3）判定：
有一个角是直角的三角形是直角三角形；
如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形
如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（说明：
直角三角形本节只是简单说明，没有选择相关的练习。
）
二、基本图形：
1．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角与顶角的关系。
变形：
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角与顶角的关系。
2．在三角形ABC中，AB=AC，点P是BC边上的任意一点，PM⊥AB,PN⊥AC,垂足分别为M、N，BD是AC边上的高，则PM+PN=。
A
M
N
B
C
D
A
M
N
B
C
D
P
P
M
N
P
A
B
C
D
E
变形1：
矩形ABCD中，PM⊥BD，PN⊥AC，若AB=3，BC=4，则PM+PN=
变形2：
正方形ABCD中，AB=2，BC=BE，PM⊥BD，PN⊥BC，则PM+PN=
3．△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，则△BDE是三角形。
变形1：
BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB，MN∥BC，则BM+CN=
变形2：
BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB的外角，MN∥BC，则BM-CN=
变形3：
BD、CD分别平分∠ABC的外角和∠ACB的外角，MN∥BC，则BM+CN=
三、典型例题剖析：
1．（2006淮安市3分）若等腰三角形底角为72°，则顶角为（）
A．108°B．72°C．54°D．36°
变形：
若等腰三角形一个角为72°，则顶角为。
若等腰三角形的一个角是另一个角的2倍少10°，则顶角为。
若等腰三角形的两条边长分别是3、6，则周长是。
2．（2006日照3分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD，则∠A等于
（A）30o（B）36o（C）45o（D）72o
3．（2006扬州市10分）如图,△ABC中,D、E分别是AC、AB上的点,BD与CE交于点O.给出下列三个条件：
①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.
⑴上述三个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；
⑵选择第⑴小题中的一种情形,证明△ABC是等腰三角形.
4．（2006常德市8分）如图7，是等边三角形内的一点，连结，以为边作，且，连结．
（1）观察并猜想与之间的大小关系，并证明你的结论．（4分）
（2）若，连结，试判断的形状，并说明理由．（4分）
图7
Q
C
P
A
B
5．（2006河北省8分）
A
B
C
D
E
图9
已知：
如图9，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．
求证：
AD=AE．
四、针对性训练：
1.（2006威海3分）如图，在△ABC中，∠ACB=100º，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）
（A）20º（B）25º（C）30º（D）40º
2.（2006天津市3分）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：
①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN。
其中，正确结论的个数是
（A）3个（B）2个
（C）1个（D）0个
3.（2006天津市6分）如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠ABC的大小
（第3题）
4．（2006徐州市8分）已知：
如图5，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E。
求证：
∠C＝∠CDE。
5．（郴州市9分）如图12，在中，是上任意一点，过分别向引垂线，垂足分别为是边上的高．
（1）的长之间存在着怎样的等量关系？
并加以证明．
A
G
E
B
D
F
图12
C
（3）若在底边的延长线上，
（1）中的结论还成立吗？
若不成立，又存在怎样的关系？
请说明理由．
6．（2006青岛市3分）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，
PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB，则
点P与点P'之间的距离为_______，∠APB＝______°．
7．（2006日照8分）
如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90o，连结AE、BF．
求证：
（1）AE=BF；
（2）AE⊥BF．
考点5：
等腰梯形
一、考点讲解：
1．梯形：
（1）定义：
只有一组对边平行的四边形是梯形。
（2）分类：
等腰梯形和直角梯形。
2．等腰梯形：
（1）定义：
两腰相等的梯形是等腰梯形。
（2）性质：
两腰相等；
同一底上的两个角相等；
对角线相等；
（3）判定：
两腰相等的梯形是等腰梯形；
同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
对角线相等的梯形是等腰梯形。
二、基本图形：
1．等腰梯形中，∠B=，则BC=AD+AB
2．等腰梯形中，若AB=AD=CD，则BD平分∠ABC
三、典型例题剖析：
1．（2006新疆维吾尔自治区3分）如图，等腰梯形下底与上底的差恰好等于腰长，．则等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
第7题
图2
2．（2006徐州市2分）如图2，用四个全等的等腰梯形拼成四边形ABCD，则∠A＝
A
D
B
C
图7
3．（2006深圳市７分）如图7，在梯形ABCD中，AD∥BC,，
．
（1）（３分）求证：
（2）（４分）若，求梯形ABCD的面积．
3．（2006钦州市8分）已知：
如图，在等腰梯形中，中，点分别在上，且．求证：
．
A
B
F
C
D
E
4．（2006贵州黔南10分）如图，梯形中，，，为梯形外一点，分别交线段于点，且．
（1）写出图中三对你认为全等的三角形（不再添加辅助线）
（2）选择你在
（1）中写出全等三角形中任意一对进行证明．
四、针对性训练：
A
D
B
C
第1题
1．（2006长沙市3分）如图，已知等腰梯形中，，，
，则此等腰梯形的周长为（ ）
Ａ．19 Ｂ．20
Ｃ．21 Ｄ．22
2．（2006临沂市3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠B＝45º，则该梯形的面积是
A．2－1 B．4－ C．8－4 D．4－2
3．（2006绍兴市3分）如图，设M，N分别是直角梯形ABCD两腰AD，CB的中点，DE上AB于点E，将△ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，则AE：
BE等于（）
A．2:
1B．1:
2C．3:
2D．2:
3
4．（2006河南省9分）如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD=DC，点E为底边BC的中点，且DE//AB．试判断△ADE的形状，并给出证明．
5．（2006宜昌市6分）已知：
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD。
（1）利用尺规作AD的中点E；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
A
D
B
C
第5题
（2）连接EB、EC。
求证：
∠ABE=∠DCE
6．（2006宁波市3分）如图，剪四刀把等腰直角三角形分成五块，请用这五块拼成一个平行四边形或梯形：
（请按1：
1的比例画出所拼成的图形）
。
（第6题图）
★★★（II）备考训练★★★
1．（2006扬州市4分）如图，这是小亮制作的风筝，为了平衡做成轴对称图形，已知OC是对称轴，∠A=35°，∠ACO=30°，那么∠BOC=°．
2．（2006烟台3分）如图1，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为______．
3.（2006威海3分）如图，梯形纸片ABCD，已知AB∥CD，AD=BC，AB=6，CD=3.将该梯形纸片沿对角线AC折叠，点D恰与AB边上的E点重合，则∠B= .
D.直角三角形
C.平行四边形
B.直角梯形
4.（2006厦门市3分）下面几种图形，一定是轴对称图形的是
A.等腰梯形
（第5题图）
5．（2006龙岩市3分）如图，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图中的度数是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
6、（2006成都市3分）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在或的延长线上，那么∠EMF的度数是（）
A、85° B、90° C、95° D、100°
A
E
B
D
C
7、（2006淄博市3分）将一矩形纸片按如图方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后与在同一条直线上，则∠CBD的度数
A
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