泰勒展开式.doc

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函数的幂级数展开式

  通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。

而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。

为此我们有了下面两个问题：

  问题1：

函数f（x）在什么条件下可以表示成幂级数；

  问题2：

如果f（x）能表示成如上形式的幂级数，那末系数cn（n=0,1,2,3,…）怎样确定？

  下面我们就来学习这两个问题。

泰勒级数我们先来讨论第二个问题.假定f（x）在a的邻区内能表示成这种形式的幂级数，其中a是事先给定某一常数，我们来看看系数cn与f（x）应有怎样的关系。

  由于f（x）可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在x=a的邻区内f（x）可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。

得：

       ，

       ，

       ………………………………………………

       ，

       ………………………………………………

  在f（x）幂级数式及其各阶导数中，令x=a分别得：

  把这些所求的系数代入得：

  该式的右端的幂级数称为f（x）在x+a处的泰勒级数.

  关于泰勒级数的问题

  上式是在f（x）可以展成形如的幂级数的假定下得出的.实际上，只要f（x）在x=a处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。

  问题：

函数写成泰勒级数后是否收敛？

是否收敛于f（x）？

  函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f（x）与它的泰勒级数的部分和之差

  是否随n→＋∞而趋向于零.如果在某一区间I中有那末f（x）在x=a处的泰勒级数将在区间I中收敛于f（x）。

此时，我们把这个泰勒级数称为函数f（x）在区间I中的泰勒展开式.

泰勒定理

  设函数f（x）在x=a的邻区内n+1阶可导，则对于位于此邻区内的任一x，至少存在一点c,c在a与x之间，使得：

  此公式也被称为泰勒公式。

（在此不加以证明）

  在泰勒公式中，取a=0，此时泰勒公式变成：

          其中c在0与x之间,此式子被称为麦克劳林公式。

  函数f（x）在x=0的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时，我们称相应的泰勒展开式为麦克劳林展开式.

    即：

几种初等函数的麦克劳林的展开式

  1.指数函数ex     

  2.正弦函数的展开式

  3.函数（1+x）m的展开