西工大高数答案曲线积分与曲面积分.doc
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第十章曲线积分与曲面积分
第一节第一类曲线积分
1.设平面内有一分布着质量的曲线弧,在点处它的线密度为,用对弧长的曲线积分表示：
（1）这曲线弧的长度;
（2）这曲线弧的质量;
（3）这曲线弧的重心坐标：
;;
（4）这曲线弧对轴,轴及原点的转动惯量;;.
解
（1）;
（2）;
（3）,,
（4）,,
2.
（1）设为椭圆,其周长为,求.
（2）设为圆周,求.
解
（1）：
即,
从而===.
（2）：
从而====.
1
3.计算,其中是以,,为顶点的三角形.
解如图10.1所示,
2
：
从,
图10.1
：
从,
：
从,
.
从而
=++
=
==.
4.计算,其中为曲线.
解1的参数方程为：
.计算出,于是
==
==8.
解2在极坐标系下,:
.计算出=,于是===8.
5.求空间曲线,,的弧长.
解
=
=,
从而.
6.有一铁丝成半圆形,,,其上每一点处的密度等于该点的纵坐标,求铁丝的质量.
解==.
====.
7.计算,其中为球面与平面的交线.
解由于与对,,都具有轮换对称性,故
==,==.
于是
=
====.
其中为圆周的周长,显然平面过球面
的球心,所以为该球面上的大圆,即半径为,故周长为.又因为
==0,
所以
=.
第二节第二类曲线积分
1.计算,其中为圆周（按逆时针方向绕行）.
解:
由0到,
从而
=
=
==.
2.计算,其中是抛物线上从点到点的一段弧.
解===.
3.计算,其中为摆线
图10.2
上对应从0到的一段弧（图10.2）.
解=
=
==.
4.计算,其中为上半椭圆
从点到点的一段弧.
解由可得,,代入积分式,得
=
==2.
5.计算,其中是从点到点的直线段.
解的点向式方程为：
从而得参数方程为
,,由0到1.
=
==32.
6.计算,其中为有向闭折线,这里的,,依次为点,,.
解如图10.3,:
,由0到1.
==;
:
,由0到1;
图10.3
==;
:
,由0到1;
==1,
故===.
7.有一质量为的质点,除受重力的作用外,还受到一个大小等于该质点到原点的距离,方向指向原点的力的作用,设该质点沿螺旋线,,从点移动到点移动到点,求重力与力的合力所作的功.
解依据题意,力=,故质点所受的合力
在螺旋线上,起点对应于,终点对应于,即.
因此,力所作的功
=
==.
第三节格林公式
1.设平面上闭曲线所围成的闭区域为,将给定的二重积分与其相应的曲线积分用线连接起来.
（1）（a）
（2）2（b）
（3）（c）
2.利用曲线积分计算星形线,所
围成图形的面积.
图10.4
解如图10.4，因为由到.
从而
==
=
==
==.
3.证明只与的起始点有关,而与所取路径无关,并计算积分.
解,,,所以积分与路径无关,故
==
=.
或者
=
===.
4.计算,
其中为从到的正弦曲线.
解如图10.5所示,由格林公式
=
图10.5
=
==
==
===.
其中
==
==
=
=.
移项解之,得.
注意本题易犯两个错误：
（1）==.
产生错误的原因是,没有注意格林公式使用时的条件：
其中是的取正向的边界曲线.而本题的闭曲线是的取负向的边界曲线,所以二重积分前面必须添加负号.
（2）计算定积分是连续两次使用部分积分法后移项解出来的.对此积分有些同学束手无策,有些则在连续使用分布积分法时,每次选取函数,不注意必须是同类函数（如选三角函数作为就一直选三角函数,如选作为就一直选）,结果就出现了恒等式,即前进一步又倒退一步,致使积不出来.
5.已知连续,且,,,计算
其中是以线段为直径的上半圆周.
解如图10.6所示
图10.6
=
=
=
=
=
=
==.
本题需注意两点：
（1）同上题一样,使用格林公式时要注意边界曲线的方向,本题因是负向,故二重积分前必须添上负号;
（2）因是抽象函数,不可能直接将积出来,请不要先急
于积分,先用分布积分法将表示为,则两项抽象函数的定积分就抵消了,问题就可得到解决,因此在解题过程中一定要善于思考,从中
发现解题技巧.
6.证明在右半平面内为某一函数的全微分,并求出一个这样的函数.
解,,由于,所以
为某一函数的全微分.取定点,对于右半平面上任一点,令
==
=
=
=.
7.已知曲线积分,其中为圆周,取逆时针方向,求的值,使得对应曲线积分的值最大.
解显然,在区域内有一阶连续的偏导数,由格林公式
===
==
==
==.
令,解得（依题意设，故将和舍去）,因为是在内唯一的驻点,且
=,
故在处取得最大值,因此,即当积分路径为时,对应曲线积分
的值最大.
8.求,其中
（1）为圆周的正向;
（2）为椭圆的正向.
解令,,则当时,有,
记所围成的闭区域为,
（1）:
即,
此时,（如图10.7（a）所示）.
图10.7（b）
图10.7（a）
由于,由格林公式,.
（2）:
即,此时,以为圆心,以充分小的为半径作圆周,由0到,取逆时针方向（如图10.7（b）所示）.
记和所围成的闭区域为,对复连通区域应用格林公式,得
从而
==
=
==.
注意
（2）中由于点位于所围成的闭区域内,需用复连通域上的格林公式,以避开点,考虑到被积函数的分母为,故取圆周,有同学不考虑“洞”,即点,直接用格林公式,得到是错误的.
9.求,其中、为正常数,为从点沿曲线到点的弧.
解添加从点沿到点的有向直线段,则
=
==
=.
第四节第一类曲面积分
1.设有一分布着质量的曲面,在点处它的面密度为.用曲面积分表示：
（1）这曲面的面积=;
（2）这曲面的质量=;
（3）这曲面的重心坐标为=,=,=;
（4）这曲面对于轴,轴,轴及原点的转动惯量
=,=,=,=.
解
（1）=.
（2）=.
（3）=,=,=.
（4）=,=,
=,=.
2
3
4
2.计算,其中为平面在第一卦限中的部分.
解如图10.8所示，:
,,
=,
在积分曲面上,被积函数=,
图10.8
从而
=
===.
3.计算,其中是锥面
及平面所围成的区域的整个边界曲面.
解如图10.9所示,
图10.9
:
,,
=,.
:
,,
=
=
==.
4.计算=,其中为锥面被柱面所截成的部分.
解因为积分曲面关于坐标面（即平面）对称,是关于的奇函数,所以
=＝
此外,在上,,,且在面上的投影为
因此
＝＝＝
＝＝
＝＝．
5.计算,其中为抛物面
在面上方的部分.
解如图10.10所示,
,,
图10.10
=,
==
=
==.
6.计算,其中为球面上的部分.
解在面上的投影为圆域：
==,
故=
由积分区域的对称性可得：
=0，=0,
又积分区域的面积为,故
==.
7.求柱面在球面内部的部分的表面积.
解由对称性,所求面积为其位于第一卦限部分面积的4倍,即,其中曲面为,求得面积元素
=,
由,消去,得,由此得在坐标面上的投影为:
,
因此,曲面的面积
=
==
==.
8.设为椭球面的上半部分,点,为在点处的切平面,为点到平面的距离,求
解设为上任意一点,则的方程为,从而知
=,
由,有=,=
==,
从而
=
=
=.
第五节第二类曲面积分
1.当是面内的一个闭区域时,与二重积分的关系为
（1）=,
（2）=.
解
（1）,
（2）.
注意因第一类曲面积分与所给曲面的侧无关,所以
（1）中应填;而第二类曲面积分与曲面的侧有关,所以
（2）中应填,有个别同学常疏忽这一点,只填,这是不对的.
2.计算,其中为半球面的上侧.
解记:
取前侧,:
取后侧,与在面的投影区域相同,记为.
=+
==0.
同理=0,
而===.
从而
=
=++
=0+0+=.
注意常见的错误是：
=+=
或=.
产生错误的原因是忽视了将第二类曲面积分化为二重积分时,应根据积分曲面的侧选择二重积分前的正、负号.
=,
=,
=.
将第二类曲面积分化为二重积分时,究竟什么时候二重积分前面写正号,什么时候写负号,这与所给曲面的侧有关.切记：
上侧取正,下侧取负;
前侧取正,后侧取负;
右侧取正,左侧取负;
3.计算,其中是平面,,,所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.
解如图10.11所示,,其中各自对应于四面体的一个表面,可表示为
1
:
下侧;:
左侧;
1
:
后侧;:
上侧.
由于在平面上,故在上的曲面积分为0;
图10.11
1
同理,在,上的曲面积分也都为0,所以,所求积分
=
由得方程得,在面上的投影域为
,
于是
==
===.
4.计算,其中为球面的外侧.
解由题设,的单位法向量
===.
由两类曲面积分的关系,可得
=
==
==.
5.计算=,其中为连续函数,为平行六面体表面的外侧.
解==,
==,
==,
从而=.
注意本题易犯的错误是利用高斯公式来解,题目中仅告诉我们,为连续函数,又如何对求导呢?
6.计算,其中
为连续函数,是平面在第四卦限部分的上侧.
解平面的法线向量为=,方向余弦为
,,
则
=
=
=
===
===.
第六节高斯公式通量与散度
1.设计,其中为平面
所围成的立体的表面的外侧.
解由高斯公式,
=
==
设该正方体的形心坐标为,则,
而,,,
所以.
从而===.
本题巧妙地利用了重心坐标公式,将利用高斯公式后得到的三重积分的计算转化为计算,从而使问题得到解决.
2.计算,其中是球面外侧的上半部分.
解补充平面取下侧,
==
====.
注意易犯的错误是
（1）====…
产生错误的原因是,没有注意到仅是球面的上半部分,并非封闭曲面,不能直接用高斯公式.尽管本题中沿曲面的积分：
致使题目答案未受任何影响,但对不封闭的曲面直接用高斯公式,显然是不对的.
（2）有同学在补充平面时,不写取什么侧,这也不妥.
3.计算,其中具有一阶连续导数,为柱面及平面所围成立体的表面外侧.
解利用高斯公式,有
=
==
==.
4.计算,其中为球面的内侧.
解=
==.
注意易犯的错误是
=
===.
这里有两个错误：
（1）不注意高斯公式使用的条件：
应是空间闭区域的整个边界曲面的外侧.本题所
给的闭曲面是球面的内侧.因此在将闭曲面上的曲面积分
化成三重积分时,前面必须写上负号.
（2）将曲面积分与三重积分的计算法混为一谈.计算三重积分时,
因为为球体：
因此不能将三重积分中的被积函数用代入,这种做法是常犯的错误.只有计算曲面积分时,才能将曲面方程代入被积函数.
5.计算,其中积分曲面为抛物面
的上侧.
解令,取下侧,则构成封闭曲面,取内侧.于是
=
==
===.
由于在平面上,在坐标面上的投影为直线段,故==0,
在坐标面上的投影域为,于是
==
===.
所以
==.
6.计算,其中是由及
所围成的闭曲面的外侧,是此曲面的外法线的方向余弦.
解在平面上的投影区域为：
.
=
==
=
=
=
=
===.
7.已知向量场,求的散度以及穿过流向指定侧的通量,其中为以及三个坐标面在第一卦限所围立体全表面的外侧.
解令,则的散度
.
通量
==
=
==
==.
第七节斯托克斯公式环量与旋度
1.利用斯托克斯公式计算,这里为曲线
从轴正向看去,为逆时针方向.
解平面的上侧法线的方向余弦为
设为平面上由圆周所围成的面域,取上侧,相应的单位法向量
.
于是
=
=
==.
2.求向量场的旋度.
解=.
3.求平面向量场沿闭曲线的环流量,其中是
所围成的正向回路.
解环向量===.
4.利用斯托克斯公式计算,其中是用平面截球面所得的截痕,若逆轴正向看去,取逆时针的方向.
解由斯托克斯公式
==,
其中是平面上以圆为边界的平面,其侧与的正向符合右手规则.显然,在坐标面上的投影为一线段,所以.
在坐标面上的投影为一椭圆域,且的法向量与轴成钝角,从而
=
=
===.
第十章曲线积分与曲面积分（总习题）
1.填空.
（1）设平面曲线为下半圆周,则曲线积分的值是;
（2）向量场在点处的散度.
（3）设为取正向的圆周,则曲线积分的值是.
解
（1）===.
（2）==,
从而.
（3）
====.
2.计算,是以点位顶点的正方形正向边界.
解法1.
此法是先将正方形的边界代入被积函数后,再用格林公式求解.
法2因
.
从而
=
=
==0.
法2是分段分别计算,比较一下还是法1简便.但切记不可直接对用格林
公式.请同学们动脑筋想一下,这是为什么？
3.计算,为螺线
=,
由点到点的弧段.
解
=
=
=
==.
4.设为连接点与的某曲线弧,又设与直线段所包围图形的面积等于,计算曲线积分.（直线段与曲线弧除点外无其它交点,曲线弧不与轴相交,且自身不相交）.
解,,则
直线段,由2到1,记与所围成的闭区域为,由于要用到格林公式,所以要分两种情况讨论：
（1）取逆时针方向（如图10.12（a））
图10.12
=
==
==.
（2）取顺时针方向（如图10.12（b）所示）.
=
=
==.
注意常见错误是不讨论是取逆时针方向,还是取顺时针方向,就直接利用了格林公式,这是不对的.
5.计算曲线积分.
（1）是圆周的正向;
（2）是曲线的正向.
解,,当时,
记曲线所围成的闭区域为.
（1）如图10.13（a）所示,此时在所围成的闭区域内有一阶连续偏导数,由格林公式：
.
图10.13
c
（2）如图10.13（b）所示,此时在所围成的闭区域上有不连续点,以为圆心,以充分小的为半径作圆周
取逆时针方向,记和所围成的闭区域为,对复连通域应用格林公式,有
从而
=
=
==.
6.计算曲线积分,其中是以为中心,为半径的圆周,逆时针方向.
解,,
当时,,所围成的闭区域记为,究竟在不在以为中心,为半径的圆内,要分两种情况讨论：
（1）时,（图10-14（a））,则;
（2）时,,作足够小的椭圆,,
1
取逆时针方向（图10.14（b））
1
（a）
（b）
图10.14
于是由格林公式,有
从而=
===.
注意易犯错误是不分两种情况讨论,未注意闭曲线所围成的闭区域内有无“洞”,即是否为“单连通域”？
7.设曲线积分与路径无关,其中具有连续的导数,且,计算的值.
解,,因曲线积分与路径无关,,
由,则,从而.
===.
8.质点沿着以为直径的圆周,从点运动到点的过程中受变力的作用,的大小等于点到原点之间的距离,其方向垂直于线段且与轴正向的夹角小于,求变力对质点所做的功.
解圆弧的方程为,其参数方程为
，所以
.
9.计算,其中为球面.
解对具有轮换对称性,所以
==,
于是
==.
10.计算,其中有一阶连续导数,而为球面的内侧（.
解令,则
.
注意到取内侧,运用高斯公式,得
=
=
===.
11.计算,其中是圆柱面被平面=和所截出部分的外侧.
解法1设如
图10.15所示,
图10.15
=
=
==
===.
法2设如上图所示,则
=
===.
12.计算,其中为上半球面
的上侧.
解补充为平面的下侧.
=
=
=
=
=.
13.设函数
（1）求梯度;
（2）求向量场的散度;
（3）计算向量场穿过曲面流向外侧的通量,其中是由曲面与所围立体的表面.
解
（1）,
（2）=,
（3）通量
==.
14.求,其中为面上任一分段光滑的闭曲线,为面上具有连续导数的函数.
解因为，
在面上成立,故曲线积分与路径无关,也即沿面上任一封闭曲线上的积分为零,故
=0.
注意被积函数中含有未知函数,并且积分曲线的方程没有给出,所以不能化为定积分计算,只能用格林公式,或平面上曲线积分与路径无关的条件计算.
15.具有质量的曲面是半球面在圆锥里面的部分,如上每点的密度等于该点到平面的距离的倒数,试求的质量.
解在面上的投影区域为,.
==
=
16.设是有界闭区域的光滑边界曲面,函数在上有二阶连续偏导数,记.
试证明：
（是的外法线方向向量）.
证应用两种曲面积分的关系和高斯公式,得
=
=.
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