数学分析教案-(华东师大版)上册全集-1-10章Word文件下载.doc
《数学分析教案-(华东师大版)上册全集-1-10章Word文件下载.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学分析教案-(华东师大版)上册全集-1-10章Word文件下载.doc（168页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
按教学大纲的要求,只以最基本的内容进行考试,大体上考课堂教学和所布置作业的内容,包括[1]中的典型例题.考试题为标准化试题，理论证明题逐渐增多.
教学目的：
1.使学生掌握实数的概念，建立起实数集确界的清晰概念；
2.使学生深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见术语。
要求学生：
理解并熟练运用实数的有序性、稠密性与封闭性；
掌握邻域的概念；
牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式；
理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题证明中正确地加以应用；
深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；
牢记基本初等函数的定义、性质及其图象，会求函数的定义域，会分析函数的复合关系。
教学重点：
函数、确界的概念及其有关性质。
教学时数：
10学时
§
1实数（2学时）
使学生掌握实数的基本性质．
1.理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；
2.牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）
教学难点：
实数集的概念及其应用．
教学方法：
讲授．（部分内容自学）
一．复习引新：
1.实数集：
回顾中学中关于实数集的定义.
2.四则运算封闭性:
3.三歧性（即有序性）:
4.Rrchimedes性:
5.稠密性:
有理数和无理数的稠密性,给出稠密性的定义.
6.实数集的几何表示───数轴:
7.两实数相等的充要条件:
8.区间和邻域:
二.讲授新课：
（一）.几个重要不等式:
1.绝对值不等式:
定义[1]P3的六个不等式.
2.其他不等式:
⑴
⑵均值不等式:
对记
（算术平均值）
（几何平均值）
（调和平均值）
有平均值不等式:
等号当且仅当时成立.
⑶Bernoulli不等式:
（在中学已用数学归纳法证明过）
有不等式
当且,且时,有严格不等式
证：
由且
⑷利用二项展开式得到的不等式:
对由二项展开式
有上式右端任何一项.
作业：
Ｐ４．１．（１）２．（２）、（３） ３
§
2数集确界原理（4时）
使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。
教学要求：
1.掌握邻域的概念；
2.理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。
确界的概念及其有关性质（确界原理）。
确界的定义及其应用。
讲授为主。
一、区间与邻域
二、有界数集与确界原理:
1.
有界数集:
定义（上、下有界,有界），闭区间、为有限数）、邻域等都是有界数集，集合也是有界数集.
无界数集:
定义,等都是无界数集,
集合也是无界数集.
2.
确界:
给出直观和刻画两种定义.
例1⑴则
⑵则
例2非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.
例3设和是非空数集，且有则有.
例4设和是非空数集.若对和都有则有
证是的上界,是的下界,
例5和为非空数集,试证明:
证有或由和分别是和的下界,有或即是数集的下界,又的下界就是的下界,是的下界,是的下界,同理有于是有.综上,有.
3.
数集与确界的关系:
确界不一定属于原集合.以例1⑵为例做解释.
4.
确界与最值的关系:
设为数集.
⑴的最值必属于,但确界未必,确界是一种临界点.
⑵非空有界数集必有确界（见下面的确界原理）,但未必有最值.
⑶若存在,必有对下确界有类似的结论.
三、确界原理:
Th1.1（确界原理）
设为非空数集。
若有上界，则必有上确界；
若有下界，则必有下确界。
Ｐ９：
５；
６；
８
3函数概念（2学时）
使学生深刻理解函数概念。
1.深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；
2.牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。
会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系。
函数的概念。
初等函数复合关系的分析。
一、函数:
1.函数:
[1]P10—11的四点说明.
2.定义域:
定义域和存在域.
3.函数的表示法:
4.反函数:
一一对应,反函数存在定理.
5.函数的代数运算:
二、分段函数:
以函数和为例介绍概念.
例1
去掉绝对值符号.
例2求
例3设求（答案为8）三、函数的复合:
例4求并求
定义域.
例5⑴
⑵则
A.B.C.D.
[4]P407E62.
四、初等函数:
基本初等函数:
初等函数:
初等函数的几个特例:
设函数和都是初等函数,则
⑴是初等函数,因为
⑵和都是初等函数,
因为,
.
⑶幂指函数是初等函数,因为
P15 3；
4.
（2）（3）；
5.
（2）；
7:
（3）；
11
4具有某些特性的函数（2学时）
熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.
深刻理解有界函数、单调函数的定义；
理解奇偶函数、周期函数的定义；
会求一些简单周期函数的周期。
函数的有界性、单调性。
周期函数周期的计算、验证。
一、有界函数:
有界函数概念.
例6验证函数在内有界.
解法一由当时,有
对总有即在内有界.
解法二令关于的二次方程有实数根.
解法三令对应于是
二、单调函数
三、奇函数和偶函数
四、周期函数
第二章 数列极限
教学目的：
1.使学生建立起数列极限的准确概念，熟练收敛数列的性质；
2.使学生正确理解数列收敛性的判别法以及求收敛数列极限的常用方法，会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。
逐步建立起数列极限的概念.深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的定义证明有关命题，并能运用语言正确表述数列不以某定数为极限等相应陈述；
理解并能证明收敛数列、极限唯一性、单调性、保号性及不等式性质；
掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调有界定理，会用这些定理求某些收敛数列的极限；
初步理解柯西准则在极限理论中的重要意义，并逐步学会应用柯西准则判定某些数列的敛散性；
教学重点、难点：
本章重点是数列极限的概念；
难点则是数列极限的定义及其应用.
14学时
1数列极限的定义
使学生建立起数列极限的准确概念；
会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。
数列极限的概念，数列极限的定义及其应用。
4学时
一、引入新课：
以齐诺悖论和有关数列引入——
二、
讲授新课：
（一）数列：
1.数列定义——整标函数.数列给出方法:
通项,递推公式.数列的几何意义.
2.特殊数列:
常数列,有界数列,单调数列和往后单调数列.
（二）数列极限:
以为例.
定义（的“”定义）
定义（数列收敛的“”定义）
注：
1.关于：
的正值性,任意性与确定性,以小为贵;
2.关于：
的存在性与非唯一性,对只要求存在,不在乎大小.3.的几何意义.
（三）用定义验证数列极限：
讲清思路与方法.
例1
例2
例3
例4
证
注意到对任何正整数时有就有
于是，对取
例5
证法一令有用Bernoulli不等式，有
或
证法二（用均值不等式）
例6
证时，
例7设证明
（四）收敛的否定:
定义（的“”定义）.
定义（数列发散的“”定义）.
例8验证
（五）数列极限的记註:
满足条件“”的数列
改变或去掉数列的有限项,不影响数列的收敛性和极限.重排不改变数列敛散性:
数列极限的等价定义:
对
任有理数
对任正整数
（六）无穷小数列:
定义.
Th2.1（数列极限与无穷小数列的关系）.
§
2收敛数列的性质（4学时）
熟悉收敛数列的性质；
掌握求数列极限的常用方法。
：
迫敛性定理及四则运算法则及其应用，数列极限的计算。
一.收敛数列的性质:
极限唯一性：
（证）
收敛数列有界性——收敛的必要条件：
收敛数列保号性：
Th1设若则（证）
系1设若，（注意“=”；
并注意和的情况）.
系2设或.则对（或（或
系3若则对
绝对值收敛性见后.
迫敛性（双逼原理）:
Th2（双逼原理）.（证）
5.
绝对值收敛性:
Th3（注意反之不正确）.
（证）
系设数列{}和{}收敛,则
（证明用到以下6所述极限的运算性质）.
6.
四则运算性质:
Th4（四则运算性质,其中包括常数因子可提到极限号外）.（证）
7.子列收敛性:
子列概念.
Th5（数列收敛充要条件）{}收敛{}的任何子列收敛于同一极限.
Th6（数列收敛充要条件）{}收敛子列{}和{}收敛于同一极限.
Th7（数列收敛充要条件）{}收敛子列{}、{}和{都收敛.（简证）
二.
利用数列极限性质求极限:
两个基本极限：
1．利用四则运算性质求极限：
註：
关于的有理分式当时的极限情况
例2
填空:
⑴
⑵
例3
双逼基本技法:
大小项双逼法，参阅[4]P53.
例5求下列极限:
⑶
例6（
例7求证
例8设存在.若则
三.
利用子列性质证明数列发散:
例9证明数列发散.
§
3收敛条件（4学时）
使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。
1.掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限；
2.初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy准则判断某些数列的敛散性。
单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用。
相关定理的应用。
讲练结合。
一．数列收敛的一个充分条件——单调有界原理：
回顾单调有界数列.
Th1（单调有界定理）.（证）
例1设证明数列{}收敛.
例2（重根号）,证明数列{}单调有界,并求极限.
例3求（计算的逐次逼近法,亦即迭代法）.
解由均值不等式,有有下界;
注意到对有有↘,
收敛的充要条件——Cauchy收敛准则：
1．Cauchy列：
2．Cauchy收敛准则：
Th2数列{收敛，
（或数列{收敛，}
Th2又可叙述为：
收敛列就是Cauchy列.（此处“就是”理解为“等价于”）.
（简证必要性）
例4证明:
任一无限十进小数的不足近似值所组成的数列
收敛.其中是中的数.
证令有
……
例5设试证明数列
{收敛.
三.关于极限证明留在下节进行.
例6
例7
例8
四.
数列单调有界证法欣赏:
Cauchy（1789—1857）最先给出这一极限，Riemann（1826—1866）最先给出以下证法一.
证法一（Riemann最先给出这一证法）设应用二项式展开，得
，
+
注意到
且比多一项即↗.
有界.
综上,数列{}单调有界.
评註:
该证法朴素而稳健,不失大将风度.
证法二（利用Bernoulli不等式）
注意到Bernoulli不等式为正整数）,有
由利用Bernoulli不等式,有
↗.
为证{}上方有界,考虑数列可类证↘.事实上,
（此处利用了Bernoulli不等式）
↘.
显然有有即数列{}有上界.
该证法的特点是惊而无险，恰到好处.
证法三（利用均值不等式）在均值不等式中,令就有
即↗.
令可仿上证得时↗,（时无意义,时诸=,不能用均值不等式.）当时,由
由↗↘.<
4.
证法四（仍利用均值不等式）
<
即↗.
有界性证法可参阅上述各证法.
证法五先证明：
对和正整数，有不等式
事实上，
<
该不等式又可变形为
（为正整数）
在此不等式中,取则有就有
↗.
取又有对成立，
又由
该证法真叫绝.[1]采用这一证法.
第三章函数极限
1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质；
2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性；
3.掌握两个重要极限和，并能熟练运用；
4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。
教学重（难）点：
本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；
难点是海涅定理与柯西准则的应用。
1函数极限概念（2学时）
使学生建立起函数极限的准确概念；
会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。
使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。
会应用函数极限的定义证明函数的有关命题，并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。
函数极限的概念。
函数极限的定义及其应用。
一、
复习：
数列极限的概念、性质等
（一）时函数的极限：
以时和为例引入.
介绍符号:
的意义,的直观意义.
定义（和.）
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义．
例1验证
例2验证
例3验证
证……
（二）时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证
例5验证
例6验证
证由=
为使需有
为使需有
于是,倘限制,就有
例7验证
例8验证（类似有
（三）单侧极限:
1．定义：
单侧极限的定义及记法.
几何意义:
介绍半邻域
然后介绍等的几何意义.
例9验证
证考虑使的
单侧极限与双侧极限的关系:
Th
类似有:
例10证明:
极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=
§
2函数极限的性质（2学时）
使学生掌握函数极限的基本性质。
掌握函数极限的基本性质：
唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
函数极限的性质及其计算。
函数极限性质证明及其应用。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:
.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
升级会员 