数学模型-正规战与游击战PPT资料.ppt

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,5,一般战争模型用x（t）和y（t）表示甲乙交战双方在时刻t的兵力，不妨视为双方的士兵人数。

假设1、每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力，用f（x,y）和g（x,y）表示。

2、每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素引起）与本方兵力成正比。

6,、每一方的增援率是给定的函数，用u（t）和v（t）表示。

由此可以写出关于x（t）、y（t）的微分方程为,

（1）,下面针对不同的战争类型讨论战斗减员率f，g的具体表达形式，并分析影响战斗结局的因素。

7,正规战模型甲乙双方都用正规部队作战。

我们只须分析甲方的战斗减员率f（x,y）。

甲方士兵公开活动，处于乙方每一个士兵的的监视和杀伤力范围内，一旦甲方某个士兵被杀伤，乙方的活力立即集中在其余的士兵身上，所以甲方的战斗减员率只与乙方的兵力有关，可以简单地设f与y成正比，即,8,f=aya表示乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率（单位时间的杀伤数），称乙方的战斗有效系数。

可以进一步分解为a=rypy，其中ry是乙方的射击率（每个士兵单位时间内射击次数），py是每次的命中率。

9,类似地有g=bx，并甲方的有效系数b=rxpx，rx和px是甲方的射击率和命中率。

于是在这个模型中方程

（1）化为,

（1）,在分析结局时忽略非战斗减员一项（与战斗减员相比,这项很小），并,10,不能直接求解方程（3），而且在相平面上讨论相轨线的变化规律更容易判断双方的胜负。

又方程（3）可得,且假设双方没有增援。

记双方的初始兵力分别是x0和y0，方程

（2）简化为,11,（4）,（6）,其解为,12,注意到方程（3）的初始条件，有,（6）,由（5）式确定的相轨线是双曲线，如图5-6。

箭头表示随时间t的增加，x（t）,y（t）的变化趋势。

可以看出，如果k0,轨线将与y轴相交。

这就是说t1使x（t1）=0,y（t1）=,13,即当甲方兵力为零时乙方的兵力为正值，表示乙方获胜。

同理可知，k0时甲方获胜，而当k=0时双方战平。

进一步分析某一方譬如乙方获胜条件。

由（6）式并注意到a,b的含义,乙方获得胜利的条件可表示为,（7）,14,Y（t）,0,x（t）,图5-6正规战争模型的相线,15,（7）式表明双方初始兵力之比y0/x0以平方关系影响着战争结局。

例如若乙方的兵力增加到原来的2倍（甲方不变），则影响战争结局的能力增加到4倍。

或者说，若甲方的战斗力譬如rx增加到原来4倍（px,ry,py均不变），那么为了与此相抗衡，乙方只需要将初始兵力y0增加到原来的2倍。

由于这个原因正规战争模型成为平方律模型。

16,游击战争模型双方都用游击部队作战。

甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为sx的隐藏区域内活动，乙方士兵不是向甲方士兵开火，而是这个隐藏区域内射击，并且不知道杀伤情况。

这是甲方战斗减员率不仅与乙方兵力有关，而且随着甲方的兵力的增加而增加。

因为在一,17,个有限区域内，士兵越多，被杀伤的就越多。

这样可以简单地假设f=cxy，且乙方战斗有效系数c可表示为,其中ry认为射击率，而命中率py等于乙方一次射击的有效面积sry与甲方活动面积sx之比。

18,于是，这个模型中方程

（1）化为,（8）,类似地有,19,忽略x，x并设u=v=0，在初始条件下（8）式为,与正规战争模型中方程（3）的解法类似，方程（9）解为,20,cydx=m（10）m=cy0dx0（11）（10）式确定的相轨线是直线族,如图5-7。

象分析正规战争模型一样，可知m0时乙方胜，m0时甲方胜，m=0时战平。

乙方获胜的条件还可以表示为,21,图5-7游击战争模型轨线,22,（12）,即初始兵力之比y0/x0以线性关系影响战争结局，并且当射击率和射击有效面积一定时，增加活动面积sy与增加初始兵力y0起着相同的作用。

这个模型又称线性律模型。

23,混合战争模型甲方为游击部队，乙方为正规部队.根据对正规战和游击战争模型的分析假设,f=cxy，g=bx，在相同的忽略和假设下方程为,（13）,24,它的轨线,（14）（15）,是抛物线，如图5-8。

可以知道n0时乙方胜，n0甲方胜，n=0时双方战平。

并且乙方（正规部队一方）取得胜利的条件可表为,25,（16）,以,代入得,（17）,26,图5-8混合战争模型的轨线,27,假定以正规部队作战的乙方火力较强，以游击部队作战的甲方虽然火力较弱，但活动范围大。

利用（17）式可以估计出乙方为了取胜需投入多大的初始兵力。

为了确定起见不妨设甲方的兵力x0=100,命中率px=0.1，火力是乙方的ry的一半，活动面积sx=0.1平方千米，乙方每次射击的有效面积sry=1平方米，那么由（17）式乙方获胜的条件为,28,（18）,即y0/x010，乙方必须10倍于甲方的兵力。

美国人曾用这个模型分析越南战争（甲方是越南，乙方为美国）。

更具类似于上面的计算以及四五十年代发生在马来西亚、菲律宾、印尼、老挝等地的混合战争的实际情况估计出，,29,正规部队一方要想取胜必须派出8倍于游击部队的兵力，而美国最多只能够派出6倍于越南的兵力。

越南战争的结局是美国不得不接受和谈撤军，越南人民取得最后的胜利。

30,硫磺岛战役J.H.Engel用二次大战末期美国硫磺岛的美军战地纪录，对正规部队进行了验证,发现模型的结果与实际数据吻合得相当好。

硫磺岛位于东京以南660英里的海面上，是日军的重要空军基地。

美军在1945年2月19日开始进攻，激烈的战斗持续了一个月，双方伤亡惨重，日方守军21,500人全部阵,31,阵亡或被俘，美方投入兵力73,000人，伤亡20,265人，战争进行了28天时美军宣布占领该岛，实际战斗到36天才停止。

美军的战地记录有按天统计战斗减员和增援情况，日军没有后援，战地记录全部遗失。

用A（t）和J（t）表示美军和日军第t天的人数，在正规模型

（2）中忽略非战斗减员，且v=0,再添加上初始条件，有,32,（19）,美军战地纪录给出增援率u（t）为,（20）,33,并可由每天伤亡人数算出A（t），其中t=1,2,.,36（见图5-9中虚线）。

下面要利用这些实际数据代入（19）式，算出A（t）的理论值,并与实际值比较.对方程（19）用求和代替积分可得,（21）,（22）,34,为估计b在（12）式中取J（36）=0，且由A（t）的实际数据可得,于是，从（22）式估计出,35,再将这个值带入（22）式即可算出J（t）,t=1,2,，36。

然后从（21）式估计a，令t=36，得,（23）,其中分子是美军的总伤亡人数，为20,265人，分母可由已经算出的J（t）,36,（24）,得到，为372,500人，于是从（23）式有：

把这个值代入（21）式得到,37,由（24）式就能够算出美军人数A（t）的理论值，图5-9中用实线画出。

与虚线表示的实际相比，可以看出吻合情况。

38,美军人数70，00066，00062，00058，00054，00050，000,4812162024283236天数,图5-9美军兵力实际数据与理论结果,