历年高考理科数列真题大全含答案解析.docx

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历年高考理科数列真题大全含答案解析

高考数列选择题部分

（2016全国1）（3）已知等差数列仇｝前9项的和为27,弧=8,则％=

（A）100（B）99（C）98（D）97

（2016上海）已知无穷等比数列仏｝的公比为q,前n项和为S”，且limS”=S.

n->oc

下列条件中，使得成立的是（）

（A）aY>0,0.6<0.7（B）aY<0-0.7

（C）>0,0.7<0.8（D）aY<0-0.8

（2016四川）5.【题设】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是

（参考数据:

lg1.12^0.05,lg1.320.11,lg2~0.30）

（A）2018年（E）2019年（C）2020年（D）2021年

（2016天津）（5）设仏｝是首项为正数的等比数列，公比为g,则“gvo”是“对任意的正整数斤，也?

1+也<0"的（）

（A）充要条件”（B）充分而不必要条件

（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件

（2016浙江）6.如图，点列｛An｝,｛Bn｝分别在某锐角的两边上，且

IA,4.+11-1A,+iA1+21A.hAt+2'XwN,

感0”+」=陽优』遐（PH0表示点P与0不重合）•

若d”=|A0”|,s”为0B瓜的而积，则

A.｛S”｝是等差数列E・｛S：

｝是等差数列

C.｛d”｝是等差数列D・｛d：

｝是等差数列

112015高考重庆，理2】在等差数列｛%｝中，若叮4,①二2,则廿

A、-2B、0C、1

D、6

2.【2025高考福建，理8】若c/,b是函数f（x）=x2-px+q[p>0,^>0）的两个不

同的零点，且a",-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）

A.6B.7C.8D・9

3.[2015高考北京，理6】设｛%｝是等差数列.下列结论屮正确的是（）

A.若勺+冬>0,则a2+a3>0B.若勺+°3<0,则+d,<0

C・若0<（it

〉JagD・若q<0,贝I」（冬一q）仏一他）>0

4.[2015高考浙江，理3】已知｛%｝是等差数列，公差d不为零，前"项和是S”，若偽,%鸟成等比数列，则（）

>0,J54>0B.aYd<0,dS4<0C.a｛d>0,dS4<0D.

qd<0,dS4>0

1.[2014年重庆卷（理02）】对任意等比数列｛%｝,下列说法一定正确的是（）

Aq,①,傀成等比数列Ba,，①卫6成等比数列

C.a2,侑，鸟成等比数列Dg,冬，@成等比数列

2.[2014年全国大纲卷（10）】等比数列｛%｝中,①=2,4=5,则数列｛lg%｝的

前8项和等于（）

A.6B.5C.4D.3

5.[2014年福建卷（理03）】等差数列｛如｝的前n项和为S“,若«i=2,S3=12,

则06等于（）

A.8B.10C.12D・14

高考数列填空题部分

（2016全国I）（15）设等比数列｛a”｝满足«1+^3=10,6/2+674=5,则aiai...an的最大值为•

（2016±海）无穷数列｛%｝由k个不•同的数组成，S”为⑺｝的前11项和.若对任意nwN*,S”w｛2,3｝,则k的最大值为.

（2016北京）12.已知｛%｝为等差数列，S”为其前〃项和，若q=6,①+冬二。

，则Se=••

（2016江苏）8.已知｛切是等差数列，S是其前刀项和.若fii+a22=-3,S5二10,•则曰9的值是▲•

（2016浙江）13.设数列｛血的前n项和为S”.若52=4,s+i=2$汁1,朋N*,则

ai=,Ss=・

5.[2015高考安徽,理14】已知数列｛%｝是递增的等比数列,q+4=9,宇严8,

则数列｛©｝的前//项和等于•

6.（2015高考新课标2,理26】设S”是数列｛an｝的前门项和，且坷=-1,如=S”S申,

则S”=•

7.[2015高考广东，理20】在等差数列｛%｝中，若a3+a4+a5+a6+a7=25,贝！

a2+a3=・

8.[2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015,

则该数列的首项为.

9.[2015江苏高考,11】数列｛%｝满足©=1,且an+l-an=n+l（.neN*）,则数

列｛—｝的前10项和为

3.[2014年广东卷（理13）】若等比数列归”｝的各项均为正数，且

+a9ai2=2e‘,贝ljInq+Ina?

+…+hia2o=。

4.[2014年江苏卷（理07）】在各项均为正数的等比数列｛%｝中，若冬=1,

=a6+2a2,则a6的值是・

6.【2014年天津卷（理11）】设｛%｝是首项为①，公差为-1的等差数列，S”为

其前”项和，若S】、S「》成等比数列，则①的值为.

7.[2014年北京卷（理12）】若等差数列｛%｝满足坷+鸟+°9〉0,$+细＜0,则

当n=时｛©｝的前n项和最大.

高考数列简答题部分

（2016全国II）17.（本题满分.12分）

S”为等差数列匕｝的前〃项和，且q=l,y=28.记化=[lga]其中卜]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[lg99]=l・

（I）求第％,/?

101;

（II）求数列0”｝的前1000项和.

（2016全国in）（17）（本小题满分12分）

已知数列血｝的前n项和S”=1+加”，其中2^0.

（I）证明｛色｝是等比数列，并求其通项公式；

（II）若5=—,求兄.

（2016北京）20.（本小题13分）

设数列A：

a2,...aN（NX）.如果对小于的每个正整数k都有族＜曾，则称〃是数列A的一个“G时刻”.记“G（A）是数列A的所有“G时刻”组成的集合.

（1）对数列A：

・2,2,・1,1,3,写出G（A）的所有元素；

（2）证明：

若数列A中存在a”使得an＞al,则G（4）h0；学.•科网

（2016四川）19.【题设】（本小题满分12分）

已知数列｛an｝的首项为1,S“为数列｛an｝的前11项和,S”+产qS”+l,其中

q>0,ngN"・

（I）若2a2,a^a2+2成等差数列，求an的通项公式;

气An—¥

（11）设双曲线x2-4=i的离心率为S,且匕=2，证明：

勺+£,+•••+◎>一^an33

（2016天津）（18）已知仏”｝是各项均为正数的等差数列，公差为d,对任意的

neN*,b“是an和如的等比中项.

（I）设求证：

匕｝是等差数列；

”11

（II）设仆乩—^为船心“,求证：

工召.

k=Lk=lza

（2016山东）（18）（本小题满分12分）

已知数列仇｝的前〃项和S尸3昭+弘，他｝是等差数列，且①严b”+b申.

（I）求数列他｝的通项公式；

（II）令c”=曇•求数列｛叮的前料项和

记U=｛l,2,・・・,100｝.对数列｛©｝（〃"）和［/的子集T,若7=0,定义S厂0；

若

厂二“",…，r,},定义S厂％+%+•••+%•例如:

7={1,3,66}时,

S厂q+6十细.现设｛©｝（心“）是公比为3的等比数列，且当*｛2,4｝时,

S=30

（1）求数列｛①｝的通项公式；

（2）对任意正整数HlUVlOO）,若7X｛1,2,…,k｝,求证：

S「v伽；

（3）设CuU,DuU,Sc》Sd，求证：

Sc+S^q^S,

（2016浙江）20.（本题满分15分）设数列仇｝满足n„-^-|

（I）证明:

|a„|>2n-1（|«1|-2）,neN*；

（II）若|a„|

|aM|<2,7?

gN*.

10.[2015江苏高考，20】（本小题满分16分）

设％冬44是各项为正数且公差为d（d"）的等差数列

（1）证明：

25,250,2“」依次成等比数列；

（2）是否存在gd,使得q,町，甥，町依次成等比数列，并说明理由；

（3）是否存在q,d及正整数从，使得&4广4；心4严依次成等比数列,并说

明理由.

11.[2015高考浙江，理20】已知数列｛。

”｝满足a产丄且。

”+严”CneN*）

（1）证明：

1<^<2（z/e/V*）;

（2）设数列｛盗｝的前〃项和为s”，证明（〃"）.

12.[2015高考山东，理18】设数列｛©｝的前n项和为S”.已知2S“=3"+3.

（I）求｛©｝的通项公式；

（II）若数列｛»｝满足anbn=log3an,求他｝的前n项和町.

13.[2015高考安徽，理28】设neN\xn是曲线y=x2n+2+l在点（1,2）处的切线与x轴交点的横坐标.

（I）求数列｛£｝的通项公式；

（II）记Tn=^3证明-T--

4/7

14.[2015高考天津，理28】（本小题满分23分）已知数列｛%｝满足

Q”+2=q%（q为实数,且彳工1）,"wn*,勺=i,°2=2,且

a2+64+64+。

5成等差数列.

（I）求q的值和｛a„｝的通项公式;

（II）设»=座也,心冲，求数列blt的前“项和.

^2n-l

15.[2015高考重庆，理22】在数列匕｝中，勺=3,%“+加出+网：

=0（*N+）

（1）若2=0,//=-2,求数列｛©｝的通项公式；

（2）若2=扭。

讥心2）,“=一1,证明：

2+詁亍％肿2+詁^

16.[2015高考四川,理16】设数列｛%｝的前刃项和Sn=2an-alf且al9a2+l,a3成等差数列.

（1）求数列⑺“｝的通项公式；

（2）记数列｛丄｝的前n项和7；,求得|7；,-1|<—成立的门的最小值.

an1000

17.[2015高考湖北,理18]设等差数列｛殆的公差为d,前"项和为S“，等比数列｛b”｝的公比为g.已知勺=q,b2=2fq=d,S10=100.

（I）求数列K｝,｛b,｝的通项公式;

（II）当d>l时，记c“=牛,求数列匕｝的前〃项和7；.

18.【2015高考陕西，理21】（本小题满分22分）设九（x）是等比数列1,八宀

x”的各项和，其中x>0fweN,n>2.

（\\

（I）证明：

函数F”（x）=£（x）-2在pl内有且仅有一个零点（记为兀），且

\z丿

•9

1-2

（II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g”（x）,比较A（x）

与g”（x）的大小，并加以证明.

19.[2015高考新课标1,理17]S”为数列｛an｝的前"项和.已知an>0,a；+&”=4S”+3.

（I）求3”｝的通项公式；

（II）设$=丄，求数列/｝的前〃项和.

20.[2015高考广东，理21】数列｛%｝满足q+2冬+…叫,=4-書M（nwM）,

（1）求①的值；

（2）求数列｛%｝前〃项和7；;

（3）令=b”=匕二+（1+扌+£+•••+丄an（//>2），证明：

数列｛»｝的前〃项和S”满足Sn<2+2111/7.

[2015高考上海，理22】已知数列&｝与他｝满足an+l-an=2（bn+l-bn）fhgN*.

（1）若b”=3〃+5,且q=l,求数列仏”｝的通项公式；

（2）设&｝的第〃。

项是最大项，即％〉匕（心N*）,求证：

数列｛化｝的第〃。

项是最大项；

（3）设兔=2v0,bn=V（wgN#）,求;I的取值范围,使得｛%｝有最大值M与最小值加,且-g（-2,2）.

8.【2014年湖南卷（理20）】（本小题满分13分）

已知数列｛%｝满足①=1,Ian+l-an|=pn,neN*.

（1）若｛匕｝是递增数列，且勺，2们，3$成等差数列，求卩的值；

（2）若卩=斗，且是递增数列，是｛©”｝递减数列，求数列｛心｝的通项公式.

9.【2014年全国大纲卷（18）】（本小题满分12分）

等差数列｛%｝的前n项和为S“,已知坷=10,你为整数，且Sn

（1）求｛色｝的通项公式；

（2）设求数列仇｝的前n项和7；.

10.[2014年山东卷（理19）】（本小题满分12分）

已知等差数列｛%｝的公差为2,前〃项和为S”，且5，S2,二成等比数列。

（I）求数列｛①｝的通项公式；

（II）令。

二（-1）"1上—，求数列｛b„｝的前h项和Tlto

11.[2014年全国新课标I（理17）】（本小题满分12分）已知数列｛%｝的前，项

和为S”,0,陽工0,卄严兄S”-l,其中兄为常数.

（I）证明：

a”+2_a”=2；

（II）是否存在几，使得｛匕｝为等差数列？

并说明理由.

高考数列选择题部分

（2016全国1）【答案】C

【解析】

试题分析：

由已知，<9®j，所以q=-1,〃=1,©00=©+99〃=-1+99=98,q+9〃=8

故选C.

考点：

等差数列及其运算

（2016上海）【答案】B

（2016四川）答案】B

（2016天津）【答案】C【解析】

试题分析：

由题意得，

込”-i+a2nV°O珂（于"7+（严）＜0O+1）v0Oqw（y,-1）,故是必要不充分

条件，故选C.

（2016浙江）【答案】A

【解析】S”表示点代到对面直线的距离（设为化）乘以|30申|长度一半，即S”=+他感几』，由题目屮条件可知陋0扁的长度为定值，那么我们需要知道hn的关系式，过A作垂直得到初始距离九，那么人丿”和两个垂足构成了等腰梯形，那么其屮0为两条线的夹角，即为定值，那么S”=*（九+闪人"卜加&）囤〃”+」，工+1=扌（也+,作差后：

工+"弓（|仏』3咖賂|,都为定值，所以S”+T为定值.故选A.

1.【2015高考重庆，理2】【答案】万

【解析】由等差数列的性质得a6=2a4-a2=2x2-4=0f选3

2.【2015高考福建，理8】【答案】D

当a、b、一2适当排序后成

【解析】由韦达定理得a+b=p,a・b=q,贝0a>0,b>0,

等比数列时，-2必为等比中项，故a・b=q=4,

列时，-2必不是等差中项，当d是等差中项时,

当乡是等差中项时，-=a-2,解得a=4fb=l9综上所述，a+b=p=5,所aa

3.[2015高考北京，理6】【答案】C

【解析】先分析四个答案支，A举一反例爲=2,电=-1,a3=-4,®+6>o而6+偽<0,A错误,B举同样反例q=2,电=-1,电=一4,q+①<0,而®+冬>0,B错误，下面针对C进行研究，匕｝是等差数列，若0<®v冬，则耳>0,设公差为〃，则/>0,数列各项均为正，由于

-aa.=（a+d）2-a（a+2d）=a?

+2a、d+dz-af-2a、d=c/2>0,则

a~>ava3=>逐〉J昭,选C.

4.【2015高考浙江，理3】【答案】B.

1.[2014年重庆卷（理02）】【答案】D

【解析】设&｝公比为q,因为纟=/色=几所以①心心成等比数列，选择D

2.【2014年全国大纲卷（10）】【答案】C

【解析】•・•等比数列6｝中创二2,比=5,・•・/?

念二2X5二10,・•・数列｛lgaj的前8项和S=1gai+1ga2+•••+1gas=1g（ai?

a2---as）=lg（a4?

a5）-41g（a4?

a5）=41g10=4

故选：

5.[2014年福建卷（理03）】【答案】C

【解析】由题意可得&=创+处+&3=3空=12,解得2=4,.・・公差d=ai-ai=4

・2=2,

.•・N=G+5d=2+5X2=12,故选：

（2016全国I）【答案】64

（2016上海）答案】4

【解析】试题分析：

要满足数列屮的条件，涉及最多的项的数列可以为2,1,-1,0,0,0,…，所以最多由4

个不同的数组成.

（2016北京）【答案】6

【解析】

试题分析:

*•*｛an｝是等差数列,・°・偽+as=2山=°，①=°，①-①=3d=-6,d=—2,

/.S6=6a,+15d=6x6+15x（-2）=6,故填：

（2016江苏）【答案】20.

【解析】由S5=10得偽=2,因此2-加+（2-d），=-3n〃=3,Op=2+3x6=20.

（2016浙江）【答案】1121

5.【2015高考安徽，理14】答案】2”-1

是递增的等比数列，所以兔*=8,即g'=色=8,所以g=2,因而数列｛%｝的前〃项和

S=4（1"=<2—1

"l-q1-2

6.【2015高考新课标2,理16】【答案】-丄

【解析】由已知得％严九-S”=九•S”，两边同时除以s”+「s”，得4一右=_1,故数列［丄］是以_1为首项，—1为公差的等差数列，则丄=-1-（〃-1）=7,所以s“=一丄•

7.【2015高考广东，理10】【答案】10.

【解析】因为｛«„｝是等差数列，所以ch+a7=a4+a6=a2+a3=2a5,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25即込=5,所以a2+as=2a5=10,故应填入10.

8.［2015高考陕西,理13】

【答案】5

9.【2015江苏高考，11］【答案】-

-11

3.［2014年广东卷（理13）］

【答案】50

【解析】由题意得,=a9an=OjOjq=e5f乂Ta”>0,

Inq+Ina?

Ina2Q二ln（aa••So）二5（勺冬0）10=10xhi^5-50.

4.［2014年江苏卷（理07）］［答案】4

【解析】根据等比数列的定义，=a2q6,a6=a2q\a4=a2q2,所以由a3=a6+2a2得a2q6=a2q4+2a2q2f消去a才,得到关于/的一元二次方程（q2）2-q2-2=Qf解得q-=2,a6=aq4=lx22=4

6.【2014年天津卷（理ID］［答案】-丄

【解析】依题意得SJ=S禺,所以2q—l'=q4q—6,解得d严—*•

7.［2014年北京卷（理12）］

【答案】8

【解析】由等差数列的性质可得a7+as+a9=3as>0,/.as>0,乂a7+ai0-as+a9<0,

/.89VO,

・••等差数列｛%｝的前8项为正数，从第9项开始为负数，.••等差数列｛务｝

的前8项和最大，故答案为：

高考数列简答题

（2016全国II）

【答案】（I）b]=0,Z?

H=1,bg=2；（II）1893.

【解析】

试题分析：

CI）先求公差、通项色，再根擔已知条件求如纭，血1；（II〉用分般函数表示4,再由等差数列的前垃项和公式求数列仮｝的前1000项和•

试题解析：

CI）设仅｝的公差为厂据已知有八2皿=28,解得m=l-

所臥｛a｝的通项公式为a.=n.

知=[!

gl]=O,%=[lgll]=l,^1=[lglOl]=2.

100<«<10005

«=1000.

所以数列仗｝的前1000项和为1x90+2x900+3x1=1893.

考点：

等差数列的的性质，前〃项和公式，对数的运算.

（2016全国III）

【答案】（I）6z„=—（―r1；（ida=-i.

1—AA—1

【解析】

考点：

1、数列通项与前〃项和为二关系；2、等比数列的定义与通项及前〃项

和为S“・

（2016北京）

【答案】

（1）G（4）的元素为2和5；

（2）详见解析；（3）详见解析.

如果GH0,取“=niiiGi,则对任何<禺,兔

从而叫gG（A）且mf=n/+l.

又因为◎是G（A）屮的最大元素，所以Gp=0.

考点：

数列、对新定义的理解.

（2016四川）

【答案】（I）佔严；（II）详见解析.

【解析】

试題分析：

本题考查数列的通项公式、双曲线的禽心率、等比数列的求和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计聲能力•第一问，利用d严片-S",两式相减，得出数列为等比数列，利用等

比数列的通项公式得到结论，第二问，先利用悠曲线的禽心率得到岭的表达式，再解出q的値，最后和用等比数列的求和公式计算证明一

试题解析：

（I）由C知，,屮=鸥+1,几2=您"+1,两式相减得到％2=购讪,”冲.

又由S?

=qS\+1得到a2=qal,故an+l=qan对所有心1都成立.

所以，数列他}是首项为1,公比为g的等比数列.

从而an=Cl'1•

由2色，如6+2成等比数列，可得2他=3他+2,即2q，=3q+2,,则（2g+l）（q-2）=0,

由已知，q>0,故q=2.

所以aw=2n-1（n€N*）.

（II）由（I）可知，5=严.

所以双曲线x2-4=1的离心率匕=任百詡+严•

由q=Jl+q，=专解得q=扌.

因为1+严7>qZ,所以』+qZ>qi（keN*）.

于是勺+匕+・・・+匕〉l+q+…+=厶二，

・g_]

+{r4"一3〃

L攻勺+勺+…+◎>亍一・

考点：

数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式.

（2016天津）（18）

【答案】（I）详见解析（II）详见解析

【解析】

试题分析：

<1）先根据等比中项定义得:

时力用祸，从而勺=点-此=%的曲-唄心=2d%,因

此根据等差数列定义可证：

c^-cn=ld（a^-anA）=2d2（II〉对数列不等式证明一般以算代证先利

用分组求和化简乞（-1）"聲=H+號）

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