垂直平分线+角平分线+综合应用Word文档格式.docx

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/C=90,AB边的垂直平分线DE交BC于点E,垂足为D.求证：

/CAB"

AED

15.如图，在△ABC中,DMEN分别垂直平分AC和BC,交AB于MN两点，DM与EN相交于点F.

（1）若厶CMN的周长为15cm求AB的长；

（2）若/MFN=7Q求/MCN勺度数.

16•如图，△ABC中，BD平分/ABCBC的中垂线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.

（1）若/A=60°

/ABD=24,求/ACF的度数；

（2）若BC=5BF:

FD=53,S^bcF=10，求点D到AB的距离.

17.已知：

如图，在△ABC中，/BAC=120,若PMQN分别垂直平分ABAC

（1）求/PAQ的度数；

（2）如果BC=10cm求厶APQ的周长.

18.电信部门要修建一座电视信号发射塔P,按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等,到两条高速公路m和n的距离也必须相等.请在图中作出发射塔P的位置.（尺规作图，不写作法，保

19.如图：

。

丘是厶ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8米，AB=10厘米，求△EBC的周长.

20•如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DGLCE点G为垂足.

（1）说明：

DC=BE

（2）若/AEC=72,求/BCE的度数.

21•如图所示，MP和NQ分别垂直平分AB和AC

（1）若/BAC=105,求/PAQ的度数;

（2）

若/PAQ=25,求/BAC的度数.

AE!

BE于点E，且BE丄二.

4—1

求证：

AB平分/EAD

/BDF2ADE

24.如图，在△ABC中,AB=AC点D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O,F.

点O在AB的垂直平分线上；

（2）若/CAD=20,求/BOF的度数.

25.如图1,Rt△ABC中AB=AC点DE是线段AC上两动点，且AD=ECAM垂直BD垂足为MAM的

延长线交BC于点N,直线BD与直线NE相交于点F.试判断△DEF的形状，并加以证明.

说明：

（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）;

（2）在你经历说明

（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明.

1、画出将△BAD召BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°

后图形;

2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC//KN如图2）.

试判断△DEF勺形状，并说明理由.

BNC

附加题：

如图3,若点DE是直线AC上两动点，其他条件不变,

馴圉2

26.如图，以△ABC的边ABAC为直角边向外作等腰直角△ABEft^ACDM是BC的中点，请你探究线

段DE与AM之间的关系.

（2）在你经历说明

（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明.

①画出将厶ACM绕某一点顺时针旋转180°

后的图形;

②/BAC=90（如图）

如图，若以△ABC的边ABAC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD其它条件不变，试探究线段DE与AM之间的关系.

BE

27.如图，在Rt△ABC中，/C=90,/A=60°

AB=12cm若点P从B点出发以2cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1cm/秒的速度向C点运动，设P、Q分别从B、A同时出发，运动时间为t秒.解答下列问题：

（1）用含t的代数式表示线段AP,AQ的长；

（2）当t为何值时厶APC是以PQ为底的等腰三角形？

（3）当t为何值时PQ/BC?

28.如图，△ABC中，/C=RtZ,AC=8cmBC=6cm若动点P从点C开始，按C^A—B—C的路径运动,且速度为每秒2cm设运动的时间为t秒.

（1）当t为何值时，。

卩把厶ABC的周长分成相等的两部分.

（2）当t为何值时，。

卩把厶ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时CP的长；

（3）当t为何值时，△BCP为等腰三角形？

29.如图，在△ABC中，/ACB=90,AC=6cmBC=8cm动点P从点C出发，按C—B—A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒.

（2）t为何值时，线段AP是/CAB勺平分线？

（3）请利用备用图2继续探索：

当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形？

（直接写出结论）

30.如图①，△ABC中,AB=ACZB>

ZC的平分线交于O点，过O点作EF//BC交ABAC于E、F.试回答：

（1）图中等腰三角形是.猜想：

EF与BE、CF之间的关系是.理由：

（2）如图②，若A盼AC,图中等腰三角形是.在第

（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？

（3）如图③，若厶ABC中/B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O,过O点作OE//BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗？

EF与BECF关系又如何？

说明你的理由.

垂直平分线角平分线综合应用_2017年03月11日的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一•解答题（共30小题）

1.（2016?

海淀区校级模拟）如图，已知/BAC=90,AD丄BC于点D,Z仁/2,EF//BC交AC于点F.试

说明AE=CFB

DC

【分析】作EFUAB于H,作FGLBC于G,根据角平分线的性质可得EH=ED再证ED=FG则EH=FG通

过证明△AEH^^CFG即卩可.

【解答】解：

作EH!

AB于H,作FG1BC于G,

vZ仁/2,ADLBC,

•••EH=E（角平分线的性质）

vEF/BC,ADLBC,FG丄BC,

•••四边形EFGD!

矩形,

•••ED=FG

•••EH=FG

vZBADZCAD=90,ZC+ZCAD=90,

•••ZBADZC,

又vZAHEZFGC=90,

•△AEHmCFG（AAS

•AE=CF

【点评】本题考查了角平分线的性质；

综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点.

2.（2016秋？

宁江区期末）如图,四边形ABC冲,ZB=90°

AB//CDM为BC边上的一点,且AM平分ZBADDM平分ZADC求证：

【分析】

（1）根据平行线的性质得到/BAD#ADC=18Q根据角平分线的定义得到/MAD乂ADM=9Q根据垂直的定义得到答案；

（2）作NMLAD，根据角平分线的性质得到BM=MNMN=CM等量代换得到答案.

（1）vAB//CD

•••/BAD#ADC=180,

•••AM平分#BADDM平分#ADC

•••2#MAD+#ADM=18Q

•••#MAD#ADM=9Q

•••#AMD=9°

即AMLDM

（2）作NMLAD交AD于N,

•••#B=90°

AB//CD

•••BMLAB,CMLCD

•••bm=mnmn=cm

•••BM=CM

即M为BC的中点.

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.

3.（2016春?

济南校级期末）已知：

如图,D是等腰△ABC底边BC上一点,它到两腰ABAC的距离分别

为DEDF,当D点在什么位置时，DE=DF并加以证明.

【分析】当D为AB的中点时，AD为等腰三角形底边上的中线，根据等腰三角形的/A的平分线，又DELAB,DF丄AC根据角平分线的性质可证DE=DF

当D为BC的中点时，DE=DF

理由：

•••AD为等腰三角形底边上的中线，

•••AD平分/BAC

XvDELAbDFLAC

三线合一”可知AD为

•••DE=DF

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线性质•关键是运用等腰三角形的三线合一”解题.

（2016春？

沐阳县期末）如图，/B=ZC=90,DE平分/ADCAE平分/DAB求证：

【分析】过点E作EFLAD根据角平分线上的点到角的两边距离相等即刻得到结论.

【解答】证明：

过点E作EFLAD于F，

v/B=ZC=90，

•••CD!

BC,AB丄BC

vDE平分/ADCAE平分/DAB

•CE=DFEF=BE

•CE=BE

•E是BC的中点.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键.

5.（2016春?

潜江校级期中）如图在△ABC中/C=90°

AC=BCAD平分/CABDEIAB于E,若AB=6cm求厶DEB的周长.

【分析】利用角平分线的性质求得AE=ACCD=DE然后利用线段中的等长来计算厶DEB的周长.

【解答】解：

I/C=90°

AD平分/CAB交BC于D,DELAB于E,

•••AC=AECD=DEAC=BC

•••/B=45°

•••BE=DE

•••△DEB的周长=BE+DE+BD=BE+AC=AB=6cm

【点评】本题考查了三角形的全等的性质；

解题的关键是利用角平分线的性质求得AE=ACCD=DE要学

会进行线段的等效转移.

6.（2016秋？

监利县校级期中）如图，AD为/BAC的平分线，DFLAC于F,/B=90°

DE=DC试说明：

【分析】先由角平分线的性质就可以得出DB=DF再证明△BDE^AFDC就可以求出结论.

B=90°

•••BDLAB.

•••AD为/BAC勺平分线，且DF丄AC,•••DB=DF

在Rt△BDE和Rt△FDC中,fDE=DC[DE=EF

•••Rt△BD專Rt△FDC（HL）,

•••BE=CF

【点评】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等

是关键.

7.（2016秋？

红安县期中）如图，人。

是厶ABC的角平分线，DEIAB于点E,DF丄AC于点F,且&

ab=7,

DE=2AB=4求AC的长.

【分析】根据角平分线性质求出DF,根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案.

ABC的角平分线,DELABDF丄AC于点F,

•••DE=DF=2

•••△ADC的面积为7-4=3,

•••丄ACXDF=3

ri—J

•-ACX2=3,

•AC=3

【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关

键.

8.（2016春?

毕节市校级期中）如图，/ABC=60,点D在AC上,ED=6DELBC,DFLAB,且DE=DF求:

（1）ZABD的度数；

EC

（2）在直角三角形BFD中,

vZDBC丄/ABC丄X60°

30°

22

•IDE=5

•••BD=2DE=12

【点评】本题考查了角平分线的性质以及含直角边等于斜边的一半.

30度角的直角三角形的性质，在直角三角形中,

含30°

角的

9.

且点E是CD

（2016秋？

东胜区校级月考）如图.已知AD//BC，DCLADZBAD的平分线交CD于点E的中点•问：

（1）点E在ZABC的平分线上吗？

（1）连结BE,作EHLAB于H,如图，利用角平分线的性质得ED=EH而ED=EC则EC=EH然后根据角平分线的判定方法即可得到BE平分/ABC

（2）利用HL'

可证明Rt△ADE^Rt△AHE得至UAD=AH同样可证明Rt△BCE^Rt△BHE得至UBC=BH于是有AD+BC=AH+BH=AB

（1）连结BE作EHLAB于H,如图，

•••AE平分/BADEDLAD,EH!

AB

•••ED=EH

•••点E是CD的中点，

•••ED=EC

•••EC=EH

而AD//BC,DCLAD

•••ECLBC,

•••BE平分/ABC即点E在/ABC的平分线上；

（2）AD+BC=AB理由如下：

在Rt△ADE和Rt△AHE中

[AE=AE

I.EWEH'

•••Rt△ADE^Rt△AHE•••AD=AH

同样可证明Rt△BCE^Rt△BHE

•••BC=BH•••AD+BC=AH+BH=AB

【点评】本题考查了角平分线：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等；

至蛹的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上•也考查了全等三角形的判定与性质.

10.（2016秋？

襄城区月考）如图，四边形ABCD中，/B=ZC=90°

E是BC的中点，DE平分/ADC

（1）过点E作EF丄DA于点F,首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=EF

根据等量代换可得BE=EF再根据角平分线的判定可得AE平分/BAD

（2）首先证明Rt△DFE和Rt△DCE可得DC=DF同理可得AF=AB再由AD=AF+D利用等量代换可得结论；

（3）根据角平分线的性质可得EF=CE再利用三角形的面积公式可得答案.

【解答】

（1）证明：

过点E作EF丄DA于点F，

vZC=90°

DE平分/ADC

•••CE=EF

vE是BC的中点，

•••BE=CE

•••BE=EF

又vZB=90°

，EF±

AD,

•••AE平分ZBAD

（2）证明：

AD=CD+ADvZC=ZDFE=90,

•••在Rt△DFE和Rt△DCE中」一八

l.EF=CE

•Rt△DFE和Rt△DCE（HL）,

•DC=DF

同理AF=AB

vAD=AF+D,F

--AD=CD+AD

（3）解CB=8E是BC的中点,

•••CE=4•••EF=4

•••AD=10

-°

•S^ad=10X4X丄=20.

【点评】此题主要考查了角平分线的性质和判定，以及全等三角形的性质和判定，关键是掌握角平分线的性质和判定定理.

11.（2016秋？

黄冈校级月考）如图,BD平分/ABC交AC于点D,DELAB于E,DF丄BC于F,AB=6BC=8

若SmbC=28，求DE的长.

【分析】根据角平分线性质得出DE=DF根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出即可.

：

BD平分/ABC交AC于点D,DELAB,DFLBC,

•DE=DF

-S^ab=28,AB=6BC=8

•DE=DF=4

【点评】本题考查了角平分线定义的应用，能根据角平分线性质得出DE=DF是解此题的关键.

12.（2016?

历下区一模）如图,在厶ABC中,/ACB=90,BE平分/ABC交AC于E,DE垂直平分AB

于D

【分析】根据角平分线性质得出CE=DE根据线段垂直平分线性质得出AE=BE代入AC=AE+C求出即可.

I/ACB=9°

•••ACLBC,

•••EDLAB,BE平分/ABC

•••CE=DE

■/DE垂直平分AB

•••AE=BE

•••AC=AE+CE

•••BE+DE=AC

【点评】本题考查了角平分线性质和线段垂直平分线性质的应用，注意：

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.

13.（2016?

萧山区二模）已知：

如图,人。

是厶ABC的角平分线,DELAB于点E,DFLAC于点F,BE=CF

AD是BC的中垂线.

【分析】由ADg^ABC勺角平分线,DELABDFLAC,根据角平分线的性质,可得DE=DF/BED/CFD=9°

继而证得Rt△BE医Rt△CFD则可得/B=/C,证得AB=AC然后由三线合一,证得AD是BC的中垂线.

ADgAABC的角平分线，DEIABDFLAC,

•••DE=DF/BED/CFD=9°

在Rt△BED和Rt△CFD中,

ZBED=ZCFD,

[be=cf

•••Rt△BE医Rt△CFD（SAS,

•••/B=ZC,

•••AB=AC

•••AD是△ABC的角平分线，

•••AD是BC的中垂线.

【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质.注意掌握三线合一性质的

应用.

14.（2016?

怀柔区一模）如图，在Rt△ABC中,/C=90,AB边的垂直平分线DE交BC于点E,垂足为D.求

/CAB2AED

【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE再由直角三角形的性质即可得出结论.

DE是线段AB的垂直平分线，

•••AE=BEZADE=90,

•••/EABWB.

在Rt△ABC中,

vZC=90o,

•••/CABZB=90°

.

在Rt△ADE中,

vZADE=90,

•••ZAED-ZEAB=90,

•••ZCABZAED

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离

相等是解答此题的关键.

15.（2016秋？

农安县期末）如图，在△ABC中,DMEN分别垂直平分AC和BC,交AB于MN两点，DM与EN相交于点F.

（2）若ZMFN=70,求ZMCN勺度数.

（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM=CMBN=CN然后求出厶CMN

的周长=AB

（2）根据三角形的内角和定理列式求出/MNF#NMF再求出/A+ZB,根据等边对等角可得/A=ZACM/B=ZBCN然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.

（1）vDMEN分别垂直平分AC和BC,

•••AM=CMBN=CN

•••△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB

•••△CMN的周长为15cm

•••AB=15cm

（2）vZMFN=7Q

•ZMNFZNMF=180-70°

110°

vZAMDZNMFZBNEZMNF

•ZAMDZBNEZMNFZNMF=11Q

•ZA+ZB=90°

-ZAMD+90-ZBNE=180-110°

70°

vAM=CMBN=CN

•ZA=ZACMZB=ZBCN

•ZMCN=18°

2（ZA+ZB）=180°

-2X70°

40°

【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，

（2）整体思想的利用是解题的关键.

16.（2016春?

雁塔区校级期末）如图,△ABC中,BD平分ZABCBC的中垂线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.

（1）若ZA=60°

ZABD=24,求ZACF的度数；

FD=53,Sabc=10,求点D到AB的距离.

（1）根据线段垂直平分线的性质得到FB=FC根据角平分线的定义得到/CBA=4°

根据三角形内角和定理计算即可；

（2）根据三角形的面积公式求出DG根据角平分线的性质解答即可.

（1）vBD平分/ABC

•••/CBA=ZCBD=ZABD=48,

•••/ACB=180-60°

-48°

72