四川省宜宾市一中学年高中数学下学期第11周 12《空间几何体的直观图》教案 新人Word格式文档下载.docx
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②通过观察和自己的认识,你是怎样来理解投影的含义的?
③请同学们观察图2的投影过程，它们的投影过程有什么不同？
图2
④图2
（2）（3）都是平行投影，它们有什么区别？
⑤观察图3，与投影面平行的平面图形，分别在平行投影和中心投影下的影子和原图形的形状、大小有什么区别？
图3
活动：
①教师介绍中国的民间艺术皮影戏，学生观察图片.
②从投影的形成过程来定义.
③从投影方向上来区别这三种投影.
④根据投影线与投影面是否垂直来区别.
⑤观察图3并归纳总结它们各自的特点.
讨论结果：
①这种现象我们把它称为是投影.
②由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影幕.
③图2
（1）的投影线交于一点，我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影；
图2
（2）和（3）的投影线平行，我们把在一束平行光线照射下形成投影称为平行投影.
④图2
（2）中，投影线正对着投影面，这种平行投影称为正投影；
图2（3）中，投影线不是正对着投影面，这种平行投影称为斜投影.
⑤在平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是全等的平面图形；
在中心投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是相似的平面图形.以后我们用正投影的方法来画出空间几何体的三视图和直观图.
知识归纳：
投影的分类如图4所示.
图4
①在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图，请你回忆三视图包含哪些部分？
②正视图、侧视图和俯视图各是如何得到的？
③一般地，怎样排列三视图？
④正视图、侧视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察到的几何体的正投影图，它们都是平面图形.观察长方体的三视图，你能得出同一个几何体的正视图、侧视图和俯视图在形状、大小方面的关系吗？
①三视图包含正视图、侧视图和俯视图.
②光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫该几何体的正视图（又称主视图）；
光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫该几何体的侧视图（又称左视图）；
光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫该几何体的俯视图.
③三视图的位置关系：
一般地，侧视图在正视图的右边；
俯视图在正视图的下边.如图5所示.
图5
④投影规律：
（1）正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度.
（2）一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样，即正、俯视图——长对正；
主、侧视图——高平齐；
俯、侧视图——宽相等.
画组合体的三视图时要注意的问题：
（1）要确定好主视、侧视、俯视的方向，同一物体三视的方向不同，所画的三视图可能不同.
（2）判断简单组合体的三视图是由哪几个基本几何体生成的，注意它们的生成方式，特别是它们的交线位置.
（3）若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线，用虚线画出.
（4）要检验画出的三视图是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征，即正、俯视图长对正；
正、侧视图高平齐；
俯、侧视图宽相等，前后对应.
由三视图还原为实物图时要注意的问题：
我们由实物图可以画出它的三视图，实际生产中，工人要根据三视图加工零件，需要由三视图还原成实物图，这要求我们能由三视图想象它的空间实物形状，主要通过主、俯、左视图的轮廓线（或补充后的轮廓线）还原成常见的几何体，还原实物图时，要先从三视图中初步判断简单组合体的组成，然后利用轮廓线（特别要注意虚线）逐步作出实物图.
【典例剖析】
例1画出圆柱和圆锥的三视图.
学生回顾正投影和三视图的画法，教师引导学生自己完成.
解：
图6
（1）是圆柱的三视图，图6
（2）是圆锥的三视图.
（1）
（2）
图6
点评：
本题主要考查简单几何体的三视图和空间想象能力.有关三视图的题目往往依赖于丰富的空间想象能力.要做到边想着几何体的实物图边画着三视图，做到想图（几何体的实物图）和画图（三视图）相结合.
变式训练1说出下列图7中两个三视图分别表示的几何体.
图7
答案：
图7
（1）是正六棱锥；
图7
（2）是两个相同的圆台组成的组合体.
例2.右图是一几何体的三视图，想象该几何体的几何结构特征，画出该几何体的形状。
分析：
由于俯视图有一个圆和一个四边形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体，结合侧视图和正视图，可知该几何体是上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体。
上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体，该几何体的形状如图所示。
变式训练2:
某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）
A．三棱锥B．四棱锥
C．四棱台D．三棱台
由所给三视图可以判定对应的几何体是四棱锥。
B
例3．如图甲所示，在正方体
中，E、F分别是
、
的中点，G是正方形
的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的。
在面ABCD和面
上的投影是图乙
（1）；
在面
和面
上的投影是图乙
（2）；
上的投影是图乙（3）。
（1）
（2）（3）
点评1：
本题主要考查平行投影和空间想象能力。
画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影。
如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间相象来完成。
变式训练:
如图
（1）所示，E、F分别为正方体面
、面
的中心，则四边形
在该正方体的各个面上的投影可能是图
（2）的。
四边形
在正方体
的面
上的投影是C；
上的投影是B；
同理，在面
上的投影也全是B。
BC
课堂小结
本节课学习了：
1.中心投影和平行投影.
2.简单几何体和组合体的三视图的画法及其投影规律.
3.由三视图判断原几何体的结构特征.
作业
习题1.2A组第1、2题.
【当堂检测】
一、选择题
1．若某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥
2．如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为（ ）
A．棱锥 B．棱柱
C．圆锥D．圆柱
3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥
A．①②B．①③
C．①④D．②④
4．如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为（ ）
5．（2010年北京高考）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如下图所示，则该几何体的俯视图为（ ）
6．（2011年全国新课标卷）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为（ ）
二、填空题
7．下列图形：
①线段；
②直线；
③圆；
④梯形；
⑤长方体．
其中投影不可能是线段的是________．
8．如图所示为一个简单组合体的三视图，它的上部是一个________，下部是一个________．
参考答案：
1.解析：
根据三视图的特征可以断定是四棱锥，由正视图和侧视图可知，该四棱锥底面中，必定有一组对边平行，另一组对边不平行．
2.解析：
由于俯视图是一个圆及其圆心，则该几何体是旋转体，又正视图与侧视图均为全等的等边三角形，则该几何体是圆锥．
C
3.解析：
①正方体，三视图均相同；
②圆锥，正视图和侧视图相同；
③三棱台，三视图各不相同；
④正四棱锥，正视图和侧视图相同．
D
4.解析：
根据几何体的结构特征知，主视图为B.
5.解析：
由几何体的正视图、侧视图，结合题意，可知选C.
6.解析：
由正视图和俯视图可知，该几何体为一个半圆锥与一个三棱锥的组合体．故侧视图为两个三角形的组合图形，且交界处为可见的，故选D.
7.解析：
线段的投影是点或线段；
直线的投影是点或直线；
圆的投影是线段或圆或椭圆；
梯形的投影是线段或梯形；
长方体的投影是平行四边形．
②⑤
8.答案：
圆锥 圆柱
1.2.3空间几何体的直观图
1.通过用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图，提高学生识图和画图的能力，培养探究精神和意识，以及转化与化归的数学思想方法.
用斜二测画法画空间几何体的直观图.
直观图和三视图的互化，培养学生空间想像能力.
1.“空间几何体的直观图”只介绍了最常用的、直观性好的斜二测画法.用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形直观图的画法，这是画空间几何体直观图的基础.因此，教科书安排了两个例题，用以说明画水平放置的平面图形直观图的方法和步骤.在教学中，要引导学生体会画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置.因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法.而在平面上确定点的位置，可以借助于平面直角坐标系，确定了点的坐标就可以确定点的位置.因此，画水平放置的平面直角坐标系应当是学生首先要掌握的方法.
2.值得注意的是直观图的教学应注意引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系；
另外，教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片，让学生辨析它们是平行投影下的图形还是中心投影下的图形.
画几何体时，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，怎样画呢？
第1.2.3节空间几何体的直观图
正投影主要用于绘制三视图，在工程制图中被广泛采用，但三视图的直观性较差，因此绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影.中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图方法比较复杂，又不易度量，因此在立体几何中通常采用斜投影的方法来画空间图形的直观图.把空间图形画在纸上，是用一个平面图形来表示空间图形，这样表达的不是空间图形的真实形状，而是它的直观图.
①如何用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图？
②上述画直观图的方法称为斜二测画法，请总结其步骤.
③探求空间几何体的直观图的画法.用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图.
④用斜二测画法画水平放置的平面图形和几何体的直观图有什么不同？
并总结画几何体的直观图的步骤.
①和③教师首先示范画法，并让学生思考斜二测画法的关键步骤,让学生发表自己的见解，教师及时给予点评.
②根据上述画法来归纳.
③让学生比较两种画法的步骤.
①画法：
1°
如图1
（1），在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O.在图1
（2）中，画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°
.
2°
在图1
（2）中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′=AD，在y′轴上取M′N′=
MN.以点N′为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；
再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF.
3°
连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′〔图1（3）〕.
②步骤是：
在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°
（或135°
），它们确定的平面表示水平面.
2°
已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.
3°
已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
③画法：
画轴.如图2，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°
，∠xOz=90°
画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN=4cm;
在y轴上取线段PQ，使PQ=
cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
画侧棱.过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.
4°
成图.顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图.
画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取，用斜二测画法画图的角度也可以自定，但是要求图形具有一定的立体感.
④画几何体的直观图时还要建立三条轴，实际是建立了空间直角坐标系，而画水平放置平面图形的直观图实际上建立的是平面直角坐标系.画几何体的直观图的步骤是：
1°
在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使∠xOy=90°
∠yOz=90°
画出与Ox、Oy、Oz对应的轴O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′=45°
，∠y′O′z′=90°
x′O′y′所确定的平面表示水平平面.
已知图形中，平行于x轴、y轴和z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴和z′轴的线段，并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.
4°
已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
5°
擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
斜二测画法的作图技巧:
在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称直线为坐标轴或图形的对称点为原点或利用原有垂直正交的直线为坐标轴等.
在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时作坐标轴的平行线为辅助线.原图中的曲线段可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出.
在画一个水平放置的平面时，由于平面是无限延展的，通常我们只画出它的一部分表示平面，一般地，用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图.
例1 用斜二测画法画水平放置的正五边形的直观图．
思路分析：
由题目可获取以下主要信息：
①此五边形的边长相等，五个内角也相等；
②此五边形是轴对称图形．
（1）建立如图①所示的直角坐标系xOy，再建立如图②所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°
（2）在图①中作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H.在坐标系x′O′y′中作O′H′＝OH，O′G′＝OG，O′A′＝
OA，O′F′＝
OF.过F′作C′D′∥x′轴，且C′D′＝CD，C′F′＝D′F′.
（3）在坐标系x′O′y′中，过G′作G′B′∥y′轴，且G′B′＝
BG.过H′作H′E′∥y′轴，且H′E′＝
HE.连接A′B′，B′C′，D′E′，E′A′，得五边形A′B′C′D′E′，即为正五边形ABCDE的直观图．
变式训练
1.画水平放置的等边三角形的直观图.
略.
2.关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是（）
A.原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变
B.原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的
C.在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°
D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′也可以是135°
，所以C不正确.
例2．如下图是已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
学生回顾讨论斜二测画法的步骤，自己画出来后再互相交流.教师适当点评.
由几何体的三视图可知，该几何体是底面半径为1cm，高为2cm的圆锥．直观图的画法如下：
（1）画轴：
如图
（1）所示，画Ox，Oy，Oz轴，使∠xOy＝45°
，∠xOz＝90°
（2）画圆锥的底面：
在平面xOy上画底面半径为1cm的圆的水平放置的直观图．
（3）画圆锥的顶点：
在Oz轴上截取OP＝2cm.
（4）成图：
连接PA，PB，擦去辅助线和字母，得圆锥的直观图，如图
（2）所示．
本题主要考查用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
空间几何体的三视图与直观图有着密切的联系，我们能够由空间几何体的三视图得到它的直观图.同时，也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图.
图6所示是一个奖杯的三视图，你能想象出它的几何结构，并画出它的直观图吗？
奖杯的几何结构是最上面是一个球，中间是一个四棱柱，最下面是一个棱台拼接成的简单组合体.其直观图略.
1.直观图的概念.
2.直观图的画法.
3.直观图和三视图的关系.
4.规律总结：
（1）三视图的排列规则是：
先画正视图，俯视图安排在正视图的正下方，长度与正视图一样，侧视图安排在正视图的正右方，高度与正视图一样.正视图反映物体的主要形状特征，是三视图中最重要的视图，俯视图与侧视图共同反映物体的宽度要相等.正视图又称为主视图，侧视图又称为左视图.
（2）画三视图时，要遵循“长对正，高平齐，宽相等”的原则.若相邻两个几何体的表面相交，表面的交线是它们原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出.
（3）用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放置的平面图形的关键是确定多边形的顶点.因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法就可归结为确定点的位置的画法.
（4）如果同一个空间图形摆放的位置不同，那么画出的三视图会有所不同，画出的直观图也是会有所不同.
习题1.2A组第5、6题.
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是（ ）
A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点
2．如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．钝角三角形
3．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°
，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）
A.
＋
B．1＋
C．1＋
D．2＋
4．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（ ）
5．如下图所示是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积是（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
6．用斜二测画法画直观图时，原坐标系中A（0,2），B（0,8），表示的线段AB，在直观图坐标系x′O′y′中，画出线段A′B′，则A′B′的长为________．
7．水平放置
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