机械振动机械波一轮复习文档格式.docx

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③振幅与物体振动的能量有关

（3）全振动：

振动物体的位移矢量、速度矢量均回到原来的大小和方向。

周期和频率：

完成一次全变化所用的时间为周期T，每秒钟完成全变化的次数为频率f．

①二者都表示振动的快慢；

②二者互为倒数；

T=1/f；

③当T和f由振动系统本身的性质决定时（非受迫振动），则叫固有频率与固有周期是定值，固有周期和固有频率与物体所处的状态无关．

三、简谐振动

1、简谐振动：

物体所受的回复力跟位移大小成正比时，物体的振动是简谐振动．

（1）受力特征：

回复力F=—KX。

可以作为判断一个振子是否做简谐振动的依据。

（2）运动特征：

加速度a=一kx／m，方向与位移方向相反，总指向平衡位置。

简谐运动是一种变加速运动，在平衡位置时，速度最大，加速度为零；

在最大位移处，速度为零，加速度最大。

2、简谐振动的两个基本模型

（1）弹簧振子：

①、一个可作为质点的小球与一根弹性很好且不计质量的弹簧相连组成一个弹簧振子．在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；

在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

弹簧振子与质点一样，是一个理想的物理模型．

②弹簧振子振动周期：

T=2

（不用记忆），只由振子质量和弹簧的劲度决定，与振幅无关，也与弹簧振动情况（如水平方向振动或竖直方向振动或在光滑的斜面上振动或在地球上或在月球上或在绕地球运转的人造卫星上）无关。

③可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是

。

这个结论可以直接使用。

（2）、单摆

①、单摆：

在细线的一端挂上一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的伸缩和质量可以忽略，球的直径比线长短得多，这样的装置叫做单摆．

这是一种理想化的模型，一般情况下细线（杆）下接一个小球的装置都可作为单摆．

②、单摆振动可看做简谐运动的条件是：

在同一竖直面内摆动,摆角θ＜100．

③、单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是重力和拉力的合力。

在平衡位置振子所受回复力是零，但合力是向心力，指向悬点，不为零。

④、单摆的周期：

当l、g一定，则周期为定值T=2π

，与小球是否运动无关．与摆球质量m、振幅A都无关。

其中摆长l指悬点到小球重心的距离，重力加速度为单摆所在处的测量值。

要区分摆长和摆线长。

⑤、小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同。

只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动。

这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差。

⑥、秒摆：

周期为2s的单摆．其摆长约为lm.

⑦注意：

单摆的等效问题

Ⅰ等效摆长：

如图所示，当小球垂直纸面方向运动时，摆长为CO．

Ⅱ等效重力加速度：

当单摆在某装置内向上运动加速度为a时，T＝2π

；

当向上减速时T=2π

，影响回复力的等效加速度可以这样求，摆球在平衡位置静止时，摆线的张力T与摆球质量的比值．

⑧摆钟问题

单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟。

在计算摆钟类的问题时，利用以下方法比较简单：

在一定时间内，摆钟走过的格子数n与频率f成正比（n可以是分钟数，也可以是秒数、小时数……），再由频率公式可以得到：

3、简谐运动图象

（1）.物理意义：

表示振动物体（或质点）的位移随时间变化的规律．

（2）.坐标系：

以横轴表示时间，纵轴表示位移，用平滑曲线连接各时刻对应的位移末端即得

（3）.特点：

简谐运动的图象是正弦（或余弦）曲线．

（4）.应用：

①可直观地读取振幅A、周期T以及各时刻的位移x；

②判定各时刻的回复力、速度、加速度方向；

③判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能、等物理量的变化情况

注意：

①振动图象不是质点的运动轨迹．

②计时点一旦确定，形状不变，仅随时间向后延伸。

③简谐运动图像的具体形状跟计时起点及正方向的规定有关。

四、振动的能量

1、对于给定的振动系统，振动的动能由振动的速度决定，振动的势能由振动的位移决定，振动的能量就是振动系统在某个状态下的动能和势能的总和．

2、振动系统的机械能大小由振幅大小决定，同一系统振幅越大，机械能就越大．若无能量损失，简谐运动过程中机械能守恒，做等幅振动．

3、阻尼振动与无阻尼振动

（1）振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动．

（2）振幅不变的振动为等幅振动，也叫做无阻尼振动．

等幅振动、阻尼振动是从振幅是否变化的角度来区分的，等幅振动不一定不受阻力作用．

4.受迫振动

（1）振动系统在周期性驱动力作用下的振动叫做受迫振动．

（2）受迫振动稳定时，系统振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关．

5.共振

（1）当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，物体的振幅最大的现象叫做共振．

（2）共振的条件与特征：

当驱动力的频率等于振动系统的时，发生共振，共振时最大。

（3）共振曲线．如图所示．

（1）f驱=f固，A=Am，Am取决于驱动力的幅度及阻尼。

（２）f驱与f固差值越大，物体做受迫振动的振幅Ａ越小。

（３）发生共振时，一个周期内，外界提供的能量等于振动系统克服阻力做功而消耗的能量。

（二）机械波

一、机械波

1、定义：

机械振动在介质中传播就形成机械波．

2、产生条件:

（1）有作机械振动的物体作为波源．

（2）有能传播机械振动的介质．

3、分类:

①横波：

质点的振动方向与波的传播方向垂直．凸起部分叫波峰，凹下部分叫波谷

②纵波：

质点的振动方向与波的传播方向在一直线上．质点分布密的叫密部，疏的部分叫疏部，液体和气体不能传播横波。

4.机械波的传播过程

（1）机械波传播的是振动形式和能量．质点只在各自的平衡位置附近做振动，并不随波迁移．后一质点的振动总是落后于带动它的前一质点的振动。

（2）介质中各质点的振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同．

（3）由波源向远处的各质点都依次重复波源的振动．

二、描述机械波的物理量

1．波长λ：

两个相邻的，在振动过程中相对平衡位置的位移总是相等的质点间的距离叫波长．在横波中，两个相邻的波峰或相邻的波谷之间的距离．在纵波中两相邻的的密部（或疏部）中央间的距离，振动在一个周期内在介质中传播的距离等于波长

2．周期与频率．波的频率由振源决定，在任何介质中传播波的频率不变。

波从一种介质进入另一种介质时，唯一不变的是频率（或周期），波速与波长都发生变化．

3．波速：

单位时间内波向外传播的距离。

v=s/t=λ/T=λf，波速的大小由介质决定。

说明:

①波的频率是介质中各质点的振动频率，质点的振动是一种受迫振动，驱动力来源于波源，所以波的频率由波源决定，是波源的频率.

波速是介质对波的传播速度．介质能传播波是因为介质中各质点间有弹力的作用，弹力越大，相互对运动的反应越灵教，则对波的传播速度越大．通常情况下，固体对机械波的传摇速度校大，气体对机械波的传播速度较小．对纵波和横波，质点间的相互作用的性质有区别，那么同一物质对纵波和对横波的传播速度不相同．所以，介质对波的传播速度由介质决定，与振动频率无关．

波长是质点完成一次全振动所传播的距离,所以波长的长度与波速v和周期T有关．即波长由波源和介质共同决定．

由以上分析知，波从一种介质进入另一种介质，频率不会发生变化，速度和波长将发生改变．

②振源的振动在介质中由近及远传播，离振源较远些的质点的振动要滞后一些，这样各质点的振动虽然频率相同，但步调不一致，离振源越远越滞后．沿波的传播方向上，离波源一个波长的质点的振动要滞后一个周期，相距一个波长的两质点振动步调是一致的．反之，相距1/2个波长的两质点的振动步调是相反的．所以与波源相距波长的整数倍的质点与波源的振动同步（同相振动）；

与波源相距为1/2波长的奇数倍的质点与波源派的振动步调相反（反相振动．）

三、波的图象

（1）波的图象

①坐标轴：

取质点平衡位置的连线作为x轴，表示质点分布的顺序；

取过波源质点的振动方向作为Y轴表示质点位移．

②意义：

在波的传播方向上，介质中质点在某一时刻相对各自平衡位置的位移．

③形状：

正弦（或余弦）图线．

因而画波的图象．要画出波的图象通常需要知道波长λ、振幅A、波的传播方向（或波源的方位）、横轴上某质点在该时刻的振动状态（包括位移和振动方向）这四个要素．

（2）简谐波图象的应用

①从图象上直接读出波长和振幅．

②可确定任一质点在该时刻的位移．

③可确定任一质点在该时刻的加速度的方向．

④若已知波的传播方向，可确定各质点在该时刻的振动方向．若已知某质点的振动方向，可确定波的传播方向．

⑤若已知波的传播方向，可画出在Δt前后的波形．沿传播方向平移Δs=vΔt.

2、质点振动方向和波的传播方向的判定

（1）在波形图中，由波的传播方向确定媒质中某个质点（设为质点A）的振动方向（即振动时的速度方向）：

逆着波的传播方向，在质点A的附近找一个相邻的质点B．若质点B的位置在质点A的负方向处，则A质点应向负方向运动，反之。

则向正

方向运动如图中所示，图中的质点A应向y轴的正方向运动（质点B先于质点A振动．A要跟随B振动）．

（2）在波形图中．由质点的振动方向确定波的传播方向，若质点C是沿Y轴负方向运动，在C质点位置的负方向附近找一相邻的质点D．若质点D在质点C位置X轴的正方向，则波由X轴的正方向向负方向传播：

反之．则向X轴的正方向传播．如图所示，这列波应向X轴的正方向传播（质点c要跟随先振动的质点D的振动）

具体方法为：

①带动法：

根据波的形成，利用靠近波源的点带动它邻近的离波源稍远的点的道理，在被判定振动方向的点P附近（不超过λ/4）图象上靠近波源一方找另一点P/，若P/在P上方，则P/带动P向上运动如图，若P/在P的下方，则P/带动P向下运动．

②上下坡法：

沿着波的传播方向走波形状“山路”，从“谷”到“峰”的上坡阶段上各点都是向下运动的，从“峰”到“谷”的下坡阶段上各点都是向上运动的，即“上坡下，下坡上”

③微平移法：

将波形沿波的传播方向做微小移动Δx＝v·

Δt＜λ/4，则可判定P点沿y方向的运动方向了．

反过来已知波形和波形上一点P的振动方向也可判定波的传播方向．

【例4】如图所示，a、b是一列横波上的两个质点，它们在X轴上的距离s=30m，波沿x轴正方向传播，当a振动到最高点时b恰好经过平衡位置，经过3s，波传播了30m，并且a经过平衡位置，b恰好到达最高点，那么．

A．这列波的速度一定是10m／sB．这列波的周期可能是0．8s

C．这列波的周期可能是3sD．这列波的波长可能是24m

解析：

因波向外传播是匀速推进的，故v＝ΔS／Δt=10m/s，设这列波的振动周期为T，由题意知经3s，a质点由波峰回到平衡位置，可得T/4十nT/2＝3（n=1，2……）

另由v=λ/T得波长λ=

，（n＝0，1，2……）

在n＝2时，对应的波长λ＝24m；

在n＝7时，T＝0．8s．故选项A、B、D正确．答案：

ABD

点评：

本题在写出周期T的通式时即应用了“特殊点法”，对a质点，同波峰回到平衡位置需T／4时间，再经T/2又回到平衡位置……，这样即可写出T的通式．当然，若考虑质点b，也能写出这样的通式（同时须注意到开始时b恰好经过平衡位置，包括向上通过平衡位置和向下通过平衡位置这两种情况）．

【例5】一列波在媒质中向某一方向传播，图所示的为此波在某一时刻的波形图，并且此时振动还只发生在M、N之间．此列波的周期为T，Q质点速度方向在波形图中是向下的，下列判断正确的是（）

A．

波源是M，由波源起振开始计时，P质点已经振动的时间为T；

B．波源是N，由波源起振开始计时，P点已经振动的时间为3T／4

C．波源是N，由波源起振开始计时，P点已经振动的时间为T／4。

D．波源是M，由波源起振开始计时，P点已经振动的时间为T／4

解析:

若波源是M，则由于Q点的速度方向向下，在Q点的下向找一相邻的质点，这样的质点在Q的右侧，说明了振动是由右向左传播，N点是波源，图示时刻的振动传到M点，P与M点相距λ／4，则P点已经振动了T／4．故C选项正确。

点评：

本题关键是由质点的运动方向确定波的传播方向，从而确定波源的位置．

【例6】如图所示，O为上下振动的波源，振动频率为100Hz，它P所产生的横波同时向左、向在传播．波速为80m／s，M、N两质点距波源的距离分别为OM＝17．4m，ON＝16．2m，当波源通过平衡位置向上振动时，M、N两质点的位置分别为（）

A．M点在波峰，N点在波谷；

B．M、N两点均在波峰

C．N点在波峰，M点在波谷；

D．M、N两点均在波谷

由题意可知该列波的波长为λ＝v／f＝80／100m＝0．8m．M、N两点与波源的距离分别为OM＝17．4m＝（21＋3／4）λ，ON=16．2m＝（20＋l／4）A．这说明M、N两点为反相点，当波源O在平衡位置向上振动时波形图如图所示，图中的P点与M点是同相点，Q点与N点是同相点，所以M在波峰，N点在波谷，A选项正确

本题关键有两点：

当波源O由平衡位置向上运动时，波源两侧的质点的波形图的形状，也就是确定如图的波形图（O两侧相邻的质点均追随O点向上运动且在O点的下方）；

在O点的附近寻找M、N两点的同相点P、Q。

3．已知波速V和波形，画出再经Δt时间波形图的方法．

（1）平移法：

先算出经Δt时间波传播的距离上Δx＝V·

Δt，再把波形沿波的传播方向平移动Δx即可．因为波动图象的重复性，若知波长λ，则波形平移nλ时波形不变，当Δx=nλ十x时，可采取去整nλ留零x的方法，只需平移x即可

（2）特殊点法：

（若知周期T则更简单）

在波形上找两特殊点，如过平衡位置的点和与它相邻的峰（谷）点，先确定这两点的振动方向，再看Δt＝nT＋t，由于经nT波形不变，所以也采取去整nT留零t的方法，分别做出两特殊点经t后的位置，然后按正弦规律画出新波形．

【例7】图是某时刻一列横波在空间传播的波形图线。

已知波是沿x轴正方向传播，波速为4m/s，试计算并画出经过此时之后1.25s的空间波形图。

由波形图已知λ=0.08m,由T=λ/v=0.08/4=0.02s,经过t=1.25s,即相当于1.25/0.02=62.5个周期,而每经过一个周期,波就向前传播一个波长。

经过62.5个周期，波向前传播了62.5个波长。

据波的周期性，当经过振动周期的整数倍时，波只是向前传播了整数倍个波长，而原有波形不会发生改变,所以可以先画出经过1/2周期后的波形，如图。

再将此图向前扩展62个波长即为题目要求，波形如图。

所以，SPQ=k+3/4，则

k=0，1，2

若Q近，波由Q向P传，Q先振动，P后振动，t=Kt+T/4，所以，SPQ=k+/4，则

4．已知振幅A和周期T，求振动质点在Δt时间内的路程和位移．

求振动质点在Δt时间内的路程和位移，由于牵涉质点的初始状态，需用正弦函数较复杂．但Δt若为半周期T/2的整数倍则很容易．

在半周期内质点的路程为2A．若Δt=n·

T/2，n＝1、2、3……，则路程s=2A·

n，其中n=

．

当质点的初始位移（相对平衡位置）为x1＝x0时，经T/2的奇数倍时x2=－x0，经T/2的偶数倍时x2＝x0．

【例11】如图所示,在xOy平面内有一沿x轴正方向传播的简谐振动横波,波速为1m/s,振幅为4cm,频率为2.5Hz,在t=0时刻,P点位于其平衡位置上方最大位移处,则距P点为0.2m的Q点

A、在0.1s时的位移是4cm;

B、在0.1s时的速度最大;

C、在0.1s时的速度向下;

D、在0到0.1s的时间内路程是4cm;

P与Q相距λ/2,先画出若干个波长的波形,经过0.1s也就是T/4后,Q点将回到平衡位置,且向上运动,B项正确;

在0到0.1s时间内通过的路程为振幅,即4cm,D项正确

拓展:

若求经Δt=2.5s时Q的路程和Q的位移,如何求?

【例8】如图是一列向右传播的简谐横波在某时刻的波形图。

已知波速v=0.5m/s，画出该时刻7s前及7s后的瞬时波形图。

解析：

λ=2m，v=0.5m/s，

=4s.所以⑴波在7s内传播的距离为x=vt=3.5m=7λ/4,⑵质点振动时间为7T/4。

方法1波形平移法：

现有波形向右平移

可得7s后的波形；

现有波形向左平移

λ可得7s前的波形。

由上得到图中7s后的瞬时波形图（粗实线）和7s前的瞬时波形图（虚线）。

方法2特殊质点振动法：

根据波动方向和振动方向的关系，确定两个特殊点（如平衡点和峰点）在3T/4前和3T/4后的位置进而确定波形。

请读者试着自行分析画出波形。

【例9】一列简谐横波向右传播，波速为v。

沿波传播方向上有相距为L的P、Q两质点，如图15所示。

某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间仅有一个波峰，经过时间t，Q质点第一次运动到波谷。

则t的可能值（）

A．1个 

B．2个

C．3个 

D．4个

由题意：

“某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间仅有一个波峰”，符合这一条件的波形图有4个，如图所示。

显然，Q质点第一次运动到波谷所需的时间t的可能值有4个。

故D选项正确。

【例10】一列简谐横波在传播方向上相距为3米的两个质点P和Q的振动图象分别用图中的实线和虚线表示，若P点离振源较Q点近，则该波的波长值可能为多少？

若Q点离振源较P点近，则该波的波长值又可能为多少？

分析：

由图可知，T=4s，P近，波由P向Q传，P先振动，Q后振动，t=Kt+3T/4，所以，SPQ=k+3/4，则

四、振动图象和波的图象

振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象，波动是全部质点联合起来共同呈现的现象．

简谐运动和其引起的简谐波的振幅、频率相同，二者的图象有相同的正弦（余弦）曲线形状，但二图象是有本质区别的．见表：

振动图象

波动图象

研究对象

一振动质点

沿波传播方向所有质点

研究内容

一质点的位移随时间的变化规律

某时刻所有质点的空间分布规律

图线

物理意义

表示一质点在各时刻的位移

表示某时刻各质点的位移

图线变化

随时间推移图延续，但已有形状不变

随时间推移，图象沿传播方向平移

一完整曲线占横坐标距离

表示一个周期

表示一个波长

【例1】如图6—27所示，甲为某一波动在t=1．0s时的图象，乙为参与该波动的P质点的振动图象

（1）说出两图中AA/的意义？

（2）说出甲图中OA/B图线的意义？

（3）求该波速v=？

（4）在甲图中画出再经3．5s时的波形图

（5）求再经过3．5s时p质点的路程S和位移

（1）甲图中AA/表示A质点的振幅或1．0s时A质点的位移大小为0．2m，方向为负．乙图中AA/’表示P质点的振幅，也是P质点在0．25s的位移大小为0．2m，方向为负．

（2）甲图中OA/B段图线表示O到B之间所有质点在1．0s时的位移、方向均为负．由乙图看出P质点在1．0s时向一y方向振动，由带动法可知甲图中波向左传播，则OA/间各质点正向远离平衡位置方向振动，A/B间各质点正向靠近平衡位置方向振动．

（3）甲图得波长λ＝4m，乙图得周期T＝1s所以波速v=λ/T=4m/s

（4）用平移法：

Δx＝v·

Δt＝14m＝（3十½

）λ

所以只需将波形向x轴负向平移½

λ=2m即可，如图6——28所示

（5）求路程：

因为n=

=7，所以路程S=2An=2×

0·

2×

7=2。

8m

求位移：

由于波动的重复性，经历时间为周期的整数倍时．位移不变·

所以只需考查从图示时刻，p质点经T/2时的位移即可，所以经3．5s质点P的位移仍为零．

【例2】如图所示，

（1）为某一波在t＝0时刻的波形图，

（2）为参与该波动的P点的振动图象，则下列判断正确的是

该列波的波速度为4m／s；

B．若P点的坐标为xp＝2m，则该列波沿x轴正方向传播

C、该列波的频率可能为2Hz；

D．若P点的坐标为xp＝4m，则该列波沿x轴负方向传播；

由波动图象和振动图象可知该列波的波长λ=4m，周期T＝1．0s，所以波速v＝λ／T＝4m／s．

由P质点的振动图象说明在t=0后，P点是沿y轴的负方向运动：

若P点的坐标为xp＝2m，则说明波是沿x轴负方向传播的；

若P点的坐标为xp＝4m，则说明波是沿x轴的正方向传播的．该列波周期由质点的振动图象被唯一地确定，频率也就唯一地被确定为f＝l／t＝0Hz．综上所述，只有A选项正确．

当一列波某一时刻的波动图象已知时，它的波长和振幅就被唯一地确定，当其媒质中某质点的振动图象已知时，这列波的周期也就被唯一地确定，所以本题中的波长λ、周期T、波速v均是唯一的．由于质点P的坐标位置没有唯一地确定，所以由其振动图象可知P点在t＝0后的运动方向，再由波动图象确定波的传播方向

二、波动图象的多解