学生之解题表现分析.docx
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学生之解题表现分析
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學生之解題表現分析
評量題型共有五種，由於題型不同、教學評量之實施流程不同，因而學生之表現也有所不同，本文從學生之解題說理表現和解題類型兩個向度進行分析，說明如下：
一、學生之解題說理表現分析
本節除了針對學生解題說理Level1~5之整體表現進行分析，更針對「解題正確者」之說理表現進行分析，茲逐題說明如下：
（一）等差問題
等差問題採取第一類之教學評量流程：
首先在實體教室中進行等差問題之教學，引導學生透過解題、討論和質疑辯證等活動澄清概念，其次引導學生到多媒體討論區作解題練習和同儕互動，然後根據學生之解題迷思進行再次教學，最後以紙筆方式實施評量，學生之評量表現如下：
表6-1等差問題之整體評量表現
座號
解題
解題說理Level1~5
正確
錯誤
5
4
3
2
1
合計
等差1
21
8
6
9
6
6
2
29
等差2
23
6
7
11
5
5
1
29
合計
44
14
13
20
11
11
3
58
百分比
76﹪
24﹪
22﹪
35﹪
19﹪
19﹪
5﹪
100﹪
表6-2等差問題「解題正確者」之解題說理表現
座號
解題說理Level1~5
5
4
3
合計
備註
等差1
6
9
6
21
百分比
29﹪
42﹪
29﹪
100﹪
等差2
7
11
5
23
百分比
30﹪
48﹪
22﹪
100﹪
合計
13
20
11
44
百分比
30﹪
45﹪
25﹪
100﹪
由表6-1，得知等差問題之整體評量表現為正確解題76﹪，錯誤解題24﹪，其中解題說理表現達到Level5和4的有57﹪，也就是說有43﹪的學生不太會說理。
由表6-2，發現在「解題正確者」中，解題說理表現達到Level5和4的有75﹪，亦即尚有25﹪的學生能正確解題，但無法完整說理。
（二）乘法巧算：
教學－紙筆評量（09/30）
乘法巧算採取第二類之教學評量流程：
由於此類題型對學生而言較為簡單，因此進行實體教學，引導學生在實體教室進行解題、討論和質疑辯證之後，直接以紙筆方式實施評量，與第一類相較，少了多媒體討論區解題及針對學生之解題迷思進行再次教學兩個向度，學生之紙筆評量表現如下：
表6-3乘法巧算之整體評量表現
座號
解題
解題說理Level1~5
正確
錯誤
5
4
3
2
1
合計
乘法1
27
3
12
6
9
2
1
30
乘法2
26
4
10
6
10
2
2
30
合計
53
7
22
12
19
4
3
60
百分比
88﹪
12﹪
36﹪
20﹪
32﹪
7﹪
5﹪
100﹪
表6-4乘法巧算「解題正確者」之解題說理表現
座號
解題說理Level1~5
5
4
3
合計
備註
乘法1
12
6
9
27
百分比
44﹪
23﹪
33﹪
100﹪
乘法2
10
6
10
26
百分比
38﹪
24﹪
38﹪
100﹪
合計
22
12
19
53
百分比
41﹪
23﹪
36﹪
100﹪
由表6-3，得知乘法巧算之整體評量表現為正確解題88﹪，錯誤解題12﹪，其中解題說理表現達到Level5和4的有56﹪，也就是說有44﹪的學生不太會說理。
由表6-4，發現在「解題正確者」中，解題說理表現達到Level5和4的有64﹪，亦即尚有36﹪的學生能正確解題，但無法完整說理。
（三）ooxx規律：
教學－多媒體解題（10/03）－教學－紙筆評量（10/23）
ooxx規律採取第一類之教學評量流程：
首先進行教學，引導學生在實體教室進行解題、討論和質疑辯證，其次提供多媒體討論區讓學生作解題練習和同儕互動，然後根據學生之解題迷思進行再次教學，最後以紙筆方式實施評量，學生之多媒體解題表現和紙筆評量表現如下：
表6-5ooxx規律之整體評量表現
座號
解題
解題說理Level1~5
正確
錯誤
5
4
3
2
1
合計
ooxx1
27
3
12
7
8
2
1
30
ooxx2
21
9
8
7
6
5
4
30
合計
48
12
20
14
14
7
5
60
百分比
80﹪
20﹪
34﹪
23﹪
23﹪
12﹪
8﹪
100﹪
表6-6ooxx規律「解題正確者」之解題說理表現
座號
解題說理Level1~5
5
4
3
合計
備註
ooxx規律1
12
7
8
27
百分比
44﹪
26﹪
30﹪
100﹪
ooxx規律2
8
7
6
21
百分比
38﹪
33﹪
29﹪
100﹪
合計
20
14
14
48
百分比
42﹪
29﹪
29﹪
100﹪
由表6-5，得知ooxx規律之整體評量表現為正確解題80﹪，錯誤解題20﹪，其中解題說理表現達到Level5和4的有57﹪，也就是說有43﹪的學生不太會說理。
由表6-5，發現在「解題正確者」中，解題說理表現達到Level5和4的有71﹪，亦即尚有29﹪的學生能正確解題，但無法完整說理。
（四）和差問題：
多媒體解題（10/16）－教學－紙筆評量（10/23）
和差問題採取第三類之教學評量流程：
嘗試不先作教學，直接引導學生在多媒體討論區作解題練習和同儕互動（10/16），然後根據學生之解題迷思進行實體教學，最後以紙筆方式實施評量（10/23），由於和差問題的解題和推理對學生而言難度較高，因此，首次在多媒體解題時錯誤率偏高，在根據學生之迷思概念進行教學和澄清之後，學生的答對率大幅提昇，學生之多媒體解題表現和紙筆評量表現如下：
表6-7和差問題之整體評量表現
座號
解題
解題說理Level1~5
正確
錯誤
5
4
3
2
1
合計
和差1
24
7
11
11
2
6
1
31
和差2
26
5
10
12
2
3
3
31
合計
50
12
21
23
4
9
4
62
百分比
81﹪
19﹪
34﹪
37﹪
6﹪
15﹪
6﹪
100﹪
表6-8和差問題「解題正確者」之解題說理表現
座號
解題說理Level1~5
5
4
3
合計
備註
和差問題1
11
11
2
24
百分比
46﹪
46﹪
8﹪
100﹪
和差問題2
10
12
2
24
百分比
42﹪
50﹪
8﹪
100﹪
合計
21
23
4
48
百分比
44﹪
48﹪
8﹪
100﹪
由表6-7，得知和差問題之整體評量表現為正確解題81﹪，錯誤解題19﹪，其中解題說理表現達到Level5和4的有71﹪，也就是說有29﹪的學生不太會說理。
由表6-8，發現在「解題正確者」中，解題說理表現達到Level5和4的高達92﹪，亦即只有8﹪的學生能正確解題，但無法完整說理。
（五）倍數問題：
教學－多媒體解題（11/13）－教學－紙筆評量（延後測）（01/02）
倍數問題採取第一類之教學評量流程：
首先進行教學，引導學生在實體教室進行解題、討論和質疑辯證，其次提供多媒體討論區讓學生作解題練習和同儕互動，然後根據學生之解題迷思進行再次教學，最後以紙筆方式實施評量（延後測）。
由於學生表現良好，通過率甚高，因此不馬上作紙筆評量，而以延後測方式實施紙筆評量（1/2），經過一個多月之後，學生的錯誤率雖然比第一次之多媒體解題表現差，但是筆者認為這才是學生真正能力所在，學生之多媒體解題表現和紙筆評量表現如下：
表6-9倍數問題之整體評量表現
座號
解題
解題說理Level1~5
正確
錯誤
5
4
3
2
1
合計
倍數1
24
8
6
17
1
2
6
32
倍數2
22
10
13
7
2
2
8
32
合計
46
18
19
24
3
4
14
64
百分比
72﹪
28﹪
30﹪
37﹪
5﹪
6﹪
22﹪
100﹪
表6-10倍數問題「解題正確者」之解題說理表現
座號
解題說理Level1~5
5
4
3
合計
備註
倍數問題1
6
17
1
24
百分比
25﹪
70﹪
5﹪
100﹪
倍數問題2
13
7
2
22
百分比
59﹪
32﹪
9﹪
100﹪
合計
19
24
3
46
百分比
41﹪
52﹪
7﹪
100﹪
由表6-9，得知和差問題之整體評量表現為正確解題72﹪，錯誤解題28﹪，其中解題說理表現達到Level5和4的有67﹪，也就是說有33﹪的學生不太會說理。
由表6-10，發現在「解題正確者」中，解題說理表現達到Level5和4的高達93﹪，亦即只有7﹪的學生能正確解題，但無法完整說理。
總之，學生在五個題型的解題表現，解題正確比例維持在七八成之間，解題說理表現達到Level5和4的比例則由56﹪、57﹪提升到67﹪、71﹪，而「解題正確者」之解題說理表現達到Level5和4的比例則由64﹪、75﹪提升到92﹪、93﹪，亦即能正確解題，但無法完整說理的學生只剩下7﹪、8﹪，可見學生之說理能力有長足之進步，學生之解題與說理能力幾乎已能並駕齊驅。
二、學生之解題類型分析
此次評量內容包含：
等差問題、乘法巧算、oo××規律、和差問題和倍數問題等五種題型，每一個題型2題。
茲將學生解題類型分析和解題示例萃取，逐題歸納如下：
（一）等差問題之解題類型分析
等差問題第一題：
2＋4＋6＋8＋----＋54＋56＋58＋60＝（），答案正確者的解題類型有四種，答案錯誤者的解題類型有二種，如下表，其中使用類型一的人數最多，採此類型的學生多數能清楚說明解題想法，但仍有6位學生不太會說理，而採用類型二的學生則多數呈現答案正確但是不會說理的情況。
表6-11等差問題第一題解題類型分析
解題類型分析
評分Level1-5人數
5
4
3
2
1
計
答案正確
類型一
60÷2=30，30÷2=15
（2+60）×15=62×15=930
5
8
5
1
19
類型二
60+2=62，60÷2=30
62×30=1860，1860÷2=930
1
1
4
6
類型三
一個數一個數慢慢加
1
1
類型四
四則混合逐次減項之計算過程格式錯誤
1
1
答案錯誤
類型一
（60+2）×30=1860
1
1
類型二
（2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22+24+26+28+30）×2=480
1
1
計
6
9
6
6
2
29
答案錯誤類型一：
（60+2）×30=1860，學生的錯誤點在於將兩兩一組之組數15誤植為30。
答案錯誤類型二：
（2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22+24+26+28+30）×2=480，學生的錯誤點在於將2加到30的數當作2加到60的一半。
答案正確類型一、二：
有5位學生答案正確，但說理錯誤，這類型的學生的學習只學到表面之解題方法並未深入瞭解解題內涵，值得關注。
答案正確類型四：
學生列式正確，但是在四則混合逐次減項之計算過程格式錯誤，數學算式之記錄格式方面需要再加強。
等差問題第二題：
5＋6＋7＋8＋----＋87＋88＋89＋90＝（），答案正確者的解題類型有四種，答案錯誤者的解題類型有二種，如下表，其中使用類型一、二的人數相當接近，採類型一的學生多數能清楚說明解題想法，而採用類型二的學生則有半數呈現答案正確但是不會說理的情況，類型一和類型三分別有一位學生答案正確，但說理錯誤，這類型的學生的學習只學到表面之解題方法並未深入瞭解解題內涵。
表6-12等差問題第二題解題類型分析
解題類型分析
評分Level1-5人數
5
4
3
2
1
計
答案正確
類型一
90÷2=45，（1+90）×45=4095
1+2+3+4=10，4095-10=4085
5
6
1
12
類型二
90-4=8686÷2=43
（90+5）×43=4085
2
4
5
11
類型三
90-4=86，90+5=95
95×86=8170，8170÷2=4085
1
1
2
類型四
（6+90）×84÷2=4080
4080+5=4085
2
2
答案錯誤
類型一
90÷2=45，（90+1）×45=4095
1+2+3+4+5=15，4095-15=4080
1
1
類型二
90+5=95，90÷2=45
95×45=4095
1
1
計
7
11
5
5
1
29
答案錯誤類型一：
90÷2=45，（90+1）×45=4095，1+2+3+4+5=15，4095-15=4080。
學生的錯誤點在於將應扣掉的數1+2+3+4誤植為1+2+3+4+5。
答案錯誤類型二：
90+5=95，90÷2=45，95×45=4095。
學生的錯誤點在於只注意到最後一個數90，忽略前面是從5開始，而將項數43誤植為45。
值得一提的是，答案正確類型四：
（6+90）×84÷2=4080，4080+5=4085，學生的說法如下：
「我會加6是因為加5時，÷2不會數，84是=90-6=84，因為我開頭是加6，而不是5，所以減6，÷2=（6+90）×84÷2=4080，4080再加上5=4085，就是答案」，其中提到【我會加6是因為加5時，÷2不會數】，顯現學生的計算能力不佳，為什麼學生會說【加5時，÷2不會數】，原因是其在項數的處理上有迷思概念，認為從5開始算，項數是90-5，不會算（5+90）×85÷2，而改採（6+90）×84÷2，此為第一個錯誤，緊接著又將（6+90）×84÷2之答案算錯，寫成4080，連錯兩次之後竟然獲致正確答案，一切純屬巧合。
（二）等差問題之解題示例萃取（Level1-5各取一例為代表）
等差問題
第一題
2＋4＋6＋8＋----＋54＋56＋58＋60＝（）
請寫出你的做法和想法！
加油！
解題示例萃取
評分說明
Level5
（S25）
做法
60÷2=30
30÷2=15
60+2=62
62×15=930A:
930
5-1答案正確，計算過程正確完整，文字說理正確完整。
想法
每一個數都是2的倍數，所以60除以2等於30，也就是有30個2的倍數，每2個一組，所以30再除以2等於15，也就是15組，
每一組加起來都是62，所以62乘以15等於930。
Level4
（S11）
做法
30÷2=15
（2+60）×15=930A:
930
4-3答案正確，計算過程正確不夠完整，文字說理正確不夠完整。
想法
每個數都是2的倍數，所以有30個數，可是30還要除2，所以是15，然後2加60再乘15等於答案。
Level3
（S26）
做法
（2+60）×15
=62×15
=930A：
930
3-4答案正確，計算過程正確不夠完整，只描述作法和步驟，無解題說理。
想法
就是呢，
先把2和60加起來就等於62，
然後62再乘15答案就會出現了
Level2
（S28）
做法
（2+60）×60÷2
=62×30
=1860
1860÷2=930A：
930
2-1答案正確，文字說理錯誤，計算過程正確完整。
想法
2+60是62，62×30是有30個62，÷2是因為每個數都差2。
Level1
（S15）
做法
（2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22+24+26+28+30）×2=480A：
480
1-1答案不正確，觀念錯誤。
想法
因為2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+24+26+28+30是一半，所以要×2
表6-13等差問題第一題之解題示例萃取
表6-14等差問題第二題之解題示例萃取
等差問題第二題
5＋6＋7＋8＋------＋87＋88＋89＋90＝（）
請寫出你的做法和想法！
加油！
解題示例萃取
評分說明
Level5
（S31）
做法
（1+90）×（90÷2）-（1+2+3+4）
=91×45-10
=4095-10=4085A：
4085
5-1答案正確，計算過程正確完整，文字說理正確完整。
想法
1+90=91，2+89=91，以此類推，90÷2=45，因為共有45個91，所以是91×45，但因為題目並沒有1+2+3+4，所以91×45後，還要減掉1+2+3+4。
Level4
（S17）
做法
高90÷1=90,90-4=86
（5+90）×86÷2＝（4085）
=95×43
=4085
A:
4085
4-2答案正確，計算過程正確不夠完整，文字說理正確完整。
（計算記錄格式錯誤）
想法
先把90+5，因為90+5一組，89+6一組……以此類推，因為把2個2個一組，所以把86÷2，又因為是從5開始的，有4個數沒數到，就把90-4（先-4歐~~~），所以（5+90）×43就是答案了!
!
Level3
（S14）
做法
90-4=86
5+90×43=4085
A：
4085
3-7答案正確，計算過程正確算式記錄格式錯誤，只描述作法和步驟，無解題說理。
想法
先90-4答案出來以後再÷2，再把5+90答案出來之後，2個再相乘。
Level2
（S05）
做法
90÷2=45
（90+1）×45=4095
1+2+3+4+5=15
4095-15=4080
A：
4080
2-9答案不正確，但包含正確的數學推理。
想法
90÷2是把90個數字除2，是因為90個數字有45對，（90+1）×45有45對都是91，1+2+3+4+5是把前面沒有的數字加起來，再減掉。
Level1
（S16）
做法
90+5=95
90÷2=45
95×45=4095
A:
4095
1-1答案不正確，觀念錯誤。
想法
因為他們每一組的答案算出來都是95，要算有幾組，用90÷2=45就可以了，然後95×45就是答案。
（1）乘法巧算之解題類型分析
乘法巧算第一題：
25×125×28×32＝（），答案正確者的解題類型有三種，答案錯誤者的解題類型有二種，如下表，其中使用類型一的人數最多，採此類型的學生也多數能清楚說明解題想法，其中有一位學生會使用25×28=700，125×32=4000，但在說理過程中顯現該生不懂其意義。
採用類型二的學生，雖然忘記使用25×4＝100，125×8＝1000，進行乘法巧算，但是仍能採用較簡易的方式計算。
表6-15乘法巧算第一題解題類型分析
解題類型分析
評分Level1-5人數
5
4
3
2
1
計
答案正確
類型一
25×28=700，125×32=4000
4000×700=2800000
11
5
6
1
23
類型二
25×32=800，28×125=3500
800×3500=2800000
1
1
2
4
類型三
一個一個慢慢乘
1
答案錯誤
類型一
25×28=700，125×32=4000
4000＋700=4700
1
1
類型二
125×32=4000，25×28=700
4000×700=280000
1
1
計
12
6
9
2
1
29
答案錯誤類型一：
25×28=700，125×32=4000，4000＋700=4700。
學生的錯誤點在於將4000×700=2800000誤植為4000＋700=4700。
答案錯誤類型二：
125×32=4000，25×28=700，4000×700=280000，學生的錯誤點在於少寫一個零。
值得一提的是，答案正確類型三：
該生雖然以一個一個慢慢乘的方式進行計算，但是由於題目中並未強調一定需要用25×4＝100，125×8＝1000，進行乘法巧算，所以仍然算是成功解題。
乘法巧算第二題：
25×16×36×125＝（），答案正確者的解題類型有三種，答案錯誤者的解題類型有三種，如下表，其中使用類型一的人數相當多，採類型一的學生多數能清楚說明解題想法，而採用類型二的學生則有超過半數呈現答案正確但是不會說理的情況。
解題類型分析
評分Level1-5人數
5
4
3
2
1
計
答案正確
類型一
25×4×9=900，125×8×2=2000
2000×900=1800000
9
5
3
17
類型二
25×16=400，36×125=4500
400×4500=1800000
1
1
6
8
類型三
一個一個慢慢乘
1
1
答案錯誤
類型一
25×16=310，125×36=4500
310＋4500=4810
1
1
類型二
125×36=9000，25×16=400
9000×400=3600000
1
1
類型三
25×36=900，125×16=2000
900×2000=18000000
2
1
計
10
6
10
2
2
29
表6-16乘法
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