教室灯光模型的分析讲解.docx
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教室灯光模型的分析讲解
关于教室灯光问题的数学模型及分析
姓名：
陈金华学号：
08125028
摘要：
自从电被发现以后，灯光成了人们生活中重要的一部分.它让人们的生理时钟延长，
加速了人类文明的进程，无论是现在社会还是未来社会都能体现出照明越来越重要的存在价值.本文针对目前学校教室照度普遍偏低的现象，结合国家最新的有关标准和现有的照明情况，建立了教室平均照度的计算模型.对教室平均照度进行分析后，在分别考虑了反射照度
和直射照度对照度值影响的基础上，逐步建立数学模型，最后求得平面上任意一点的照度值关于坐标轴x的关系函数，从而加以分析，得出结论.论文中以湖北文理学院教学区6栋教
学楼的普通教室308为实例，用数学建模的形式来对该问题进行研究，并将我校采用的日光灯和该教室的相关数据带入模型进行计算，并对结果进行分析，指出模型与结论的不足点，并对此进行总结与推广.
关键字：
灯光教室数学模型平均照度照度均匀度
1绪论1
1.1论文研究现状1
1.2论文研究的目的和意义1
1.3论文研究的方法和思路1
1.4论文研究的范围1
2问题的提出2
3问题的分析3
4模型的建立4
4.1问题一4
4.1.1模型假设4
4.1.2模型符号的说明4
4.1.3模型的建立求解5
4.1.4模型的分析总结5
4.2问题二5
4.2.1模型假设6
4.2.2模型符号说明6
4.2.3模型的建立求解6
4.2.4模型的分析总结及对结果的说明13
4.2.5模型的改进及评价15
4.3问题三16
4.3.1模型假设16
4.3.2模型符号的说明16
4.3.3模型的建立求解17
4.3.4模型的分析总结17
5参考文献错误!
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6致谢错误!
未定义书签。
1绪论
1.1论文研究现状
据统计数据显示，我国学生近视发生率高达60%，位居世界第一.究其原因，除饱受诟病的课业负担重导致用眼疲劳以外，教室的照明条件不良也是其重要因素.由于我们国内现有的大多数教室都是2004年以前所建立的，教室内的灯源数量及摆设大多都是按照《中小学校教室采光和照明卫生标准》旧标准设计的[1]，而社会发展到现在，随着各种科学技术的不断进步，人们对视觉的认识也在不断加深，相应的对灯光设计，关照强度提出了更高的要求，最新标准修订了教师课桌面、黑板的照明标准，增加了对光源、教室统一眩光值、照明功率密度以及维护系数的规定.其中要求教室课桌面上的维持平均照度值不应低于300Lx；教室黑板应设局部照明灯，其维持平均照度不应低于500Lx[2].而自今年1月1日开始实施的《中小学校设计规范》（GB50099-2011），也将平均照度300Lx作为普通教室的照明标准[3].并且根据复旦大学电光源研究所的有关研究成果，300Lx只是中小学教室
照度的底线，同时，呼吁国家能够突破底线，给广大学子营造一个舒适明亮的学习环境.
1.2论文研究的目的和意义
灯光不仅是实际照明的条件，同时也是表达空间形态，营造室内环境气氛的基本要素.在长期的学习过程中，视觉效果受眼睛接受信息的有效性，光环境及同学对事物的读解的综合作用.本课题通过对教室灯光问题的研究，结合卫生部和国家标准委修订并于2011年5月发布的《中小学校教室采光和照明卫生标准》中的相关要求，能够对教室内的视觉环境有一个更加明确的了解。
为了更加具体的阐明教室内的相关数据，本课题将以数学建模的方式来处理，同时也希望能够在灯光摆设方面提出自己的一些意见.希望在资源有限的情况下，结合国家发布的最新要求，提出更加科学合理的方案，希望可以在一定程度上改善教室内的视觉环境，保护好同学们的眼睛.本课题将随着问题的需要逐一建立数学模型，尽管模型本身存在不少缺陷，但仍然希望为后面的研究者们提供一个研究方案。
1.3论文研究的方法和思路
本课题将用数学建模的方法去阐述教室内的灯光问题.所以，课题的主要内容就是对室
内灯光建立数学模型，并进行分析计算得出结论.具体一点，就是当我们需要从定量的角度
分析和研究室内灯光时，我们先要在深入调查研究、了解光源型号、室内模型、单个灯光在不同距离的光照强度、以及有关部门颁布的相关标准等信息、然后作出简化假设、分析内在规律，接着用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型[4]，最后用通过计
算得到的模型结果，来说明教室课桌及黑板上的实际照度值与相关规定的数据差异并接受检验.若是通过了检验，则可以根据模型，提出改进意见，若是差异太过异常，则修改假设，重新建模计算.
首先需要通过公式计算出整个教室的总光通量，看情况赋予适合的空间利用系数和维权系数[2]，计算出平均照度，并与相关规范标准比较给出建议.
建立一支日光灯发出的光线在教室地面个点的照度分布的数学模型，然后对教室照明情况进行分析，间教室中各日光灯照度进行叠加便得到了教室中，桌面各点的照度分布，计算出照度均匀度，并与相关规范标准比较给出建议.
然后接下来通过移动光源位置，建立模型，重新计算，并于国家有关规定值再次进行比较，由于没有改变光源的型号和数量，那么教室内的平均照度是不会发生变化的；如果照度均匀度的变化在可忽略的范围内，则说明改变光源位置对光照度的分布影响不大；如果差异明显，则说明，在相同资源下桌面照度均匀度与灯管的安装走向及分布有很大关系，通过建立模型，计算出更加优秀的分布方案，结合现实情况，对新的方案进行说明，并给出相应的建议.
最后对黑板的平均照度和照度均匀度进行单独计算，比较相关规定后给出适当建议即可.
1.4论文研究的范围
本文主要建立数学模型来对教室灯光问题进行研究，由于室内照明系统的技术指标项目众多，有平均照度、照度均与度、眩光指数、一般染色指数、色温偏差、闪屏等，本文主要是理论研究，重点是对平均照度、照度均匀度进行研究，突出点是在于对照度分布模型的建立、分析及计算，在模型计算中，考虑到灯座及地板色泽情况，主要考虑墙面以及天花板的反射对模型的影响，并针对实际例子，给出数据计算出结果，给出合适的建议.
2问题的提出
为了提供良好的照明环境教室照明设计不仅应具有，合适的照度值而且照明质量的各项参数均应满足要求，年国家颁布《建筑照明设计标准》（GB50034-2004），将教室照明值提高了一倍，接近国际标准，并对照明质量提出了更为全面的要求，其中说明教室课桌面平均照度不低于300lx，黑板面平均照度500lx，窗地面积比1:
5,照度均匀度应不低于0.7[2].此外，不论是从绿色照明节约能源的角度考虑，还是从以人为本的角度考虑，对教室照明的前期设计和后期的照度检验都是必须的.
本论文将选取所在学校教学楼中的一间普通教室为实例进行研究，主要问题是该教室桌
面及黑板的平均照度，照度均匀度与国家最新的相关标准的比较，分析差距原因，通过计算给出弥补措辞和结果.以下是对我校北区6号教学楼308教室的相关参数（表1.0）
308
教
教室
教
室
教
室
灯
具
灯具
灯间距
灯间距
左灯距
桌面
室
长
宽
高
高度
长度
（横）
（纵）
墙
高度
a:
m
b:
m
h1:
m
h2:
m
l1:
m
l2:
m
l3:
m
l4:
m
h3:
m
参数
11.0
8.0
3.6
2.8
1.23
2.7
1.8
1.3
0.77
308
教
黑板
黑
板
黑
板
黑
板
光源
光源光
墙面反
灯光数
室
灯距
长
宽
距
顶
功率
通量
射比
量
墙面
灯高
l5:
m
a2
:
m
b2
m
h4:
m
P:
w
:
lm
1:
%
n:
盏
参数
1.0
4.4
2.0
0.9
2*36
1800
50
2+15*2
表1.0
3问题的分析
通过对上述问题的理解，可以将对整个灯光问题的研究分为俩部分，一部分是对教室桌面高度平面的研究，另一部分就是教室黑板问题的研究.可如图所示
对于教室桌面高度平面的研究主要包括以下部分，该平面的均匀照度与国家标准的比较分析；该平面的照度均匀度与国家标准的比较分析，这部分将是本文重点研究部分，一改以往相关文章只是进行简单数据统计的情况，在这部分中将建立详细的数学模型，仔细研究光照度的分布函数（包括横向和纵向的函数分布图），尽可能做出该平面光照度的空间分布图，然后对结论进行系统的分析及推广；设想移动光源位置，对模型重新修改，重新整理照度均匀度的分布函数，做出相应的数学模型，为了使照度均匀度达到国家规定的标准值以上，计算出合理的模型，并给出说明.
对于黑板平均照度的计算可以单独建立模型，由于黑板有规定的黑板灯照明，故考虑黑板的照度均匀度意义不大，并且为了保持黑板照度要高于周围环境照度的条件，故不可能去提升其他桌面照明灯的功率和光通量，所以，只需要对黑板照明灯的功率和光通量进行调节就可以满足要求.
4模型的建立
4.1问题一
根据所给出教室的相关参数，建立适合的模型，计算出该教室的桌面所在的平面的平均照度，并与国家相关标准比较后分析总结.
4.1.1模型假设
（1）假设一：
将教室每一灯具内的2支灯管合并为1支灯管，光源的功率，光通量等于各个参数之和，这与实际效果相差不大.
（2）假设二：
将教室里面的光源日光灯管抽象成线光源，其光强分布曲线如图1.1所
示.
（3）假设三：
在计算中，不考虑自然采光对于教室关照度分布的影响.
4.1.2模型符号的说明
E：
平均照度，单位为（lx）；
N：
灯具的数量；
U：
灯具的利用系数；
K：
灯具的维护系数；
A：
教室的面积；
RI：
该教室的室形指数；
：
光源的光通量；
图1.1中心灯管上某点光强分布示意图
4.1.3模型的建立求解
平均照度的计算通常利用系数法，赔光曲线法和等照度曲线法.相对于赔光曲线法和等照度曲线法而言，系数法考虑了四周维护结构内表面对关的反射作用，适用于均匀布置，四周建筑表面反射系数较高，空间无大型设备遮蔽的室内照明，对于教室内的平均照度计算使用系数法比较准确.
根据系数法平均照度计算公式：
ENUK/A（001）
该教室的室形指数（表示房间几何形状的数值）.其计算式为：
计算得RI1.28，该墙面的反射系数为10.5，查《照明系数手册》可得：
灯具的利用
系数U0.72.查《照明设计标准》，结合我校实际对教室的维护清洁情况，可取较高的灯
具维护系数K0.7.其中N32,Aab88m2,带入各项数据计算得我校6号教学楼308室桌面所在平面的平均照度为：
E329.89lx
4.1.4模型的分析总结
4.1.5
该结果是略高于国家的标准规定值
E300lx，同时，《建筑照明设计标准》上第4.1.7
（270~330）lx.所以对于上述结果是完全符合国家要求标准的，由于在计算中的误差影响，其中有模型本身的局限性；有忽略了地面反射带来的影响；最重要的就是在模型计算中没有考虑日常采光的影响，因为这里就是对教室灯光进行研究，但这个影响是非常大的，比如天气明朗时根本无需灯光就完全可以满足光照的需要，这说明了在白天时太阳光可以替代灯光成为教室的主要光源，灯光只是作为辅助光源.而晚间自习完全是考照明灯提供光源，所以为了不对长期晚间自习的同学们照成影响，均匀照度需要达到国家规定标准以上.通过上述
计算及对结果分析，该教室的平均照度是符合国家标准的，不会对同学们的学习造成影响的
4.2问题二
根据实例所给出的相关参数，建立适当的数学模型，求出相应模型的照度分布函数，计算出照度均匀度，并与国家规定标准比较分析和对计算结果的总结，如果最后结果与国家规定值差距不能忽略，就给出优化方案模型.
4.2.1模型假设
（1）假设一：
将教室每一灯具内的2支灯管合并为1支灯管，光源的功率，光通量等
于各个参数之和.
（2）假设二：
将教室里面的光源日光灯管抽象成线光源，计算中不考虑俩盏的宽度带来的距离影响，将俩盏灯等效成一盏灯计算.
（3）假设三：
将地面于桌面反射所带来的照度忽略不计，因为地面与桌面反射系数很低，而且主要是漫反射.
（4）假设四：
将黑板所在的墙面所带来的反射忽略不计，因为黑板很少存在镜面反射，
那样眩光太明显了，而黑板面积居中，所占该墙面的比重很大，故可忽略该墙面的反射
（5）假设五：
在计算中不考虑自然采光对照度分布的影响.
4.2.2模型符号说明
AiBi:
等效灯管li的两端点的坐标点；
：
等效光源的光通量，其值数据上为两盏灯的和；
EML：
动点M对x轴上任意点L点的直射照度；：
直线ML与z轴间的夹角；
Ei直：
灯管li对任意点L的直射照度；
E直：
教室里的所有灯管对任意点L的直射照度；
EL：
教室里的所有灯管对任意点L的总照度；
E：
式（015）中表达式合并为n项多项式的和中的某一项；
Emax：
照度分布函数中求得的照度最大值；
Emin：
照度分布函数中求得的照度最小值；
Eavc：
教室桌面所在平面的平均照度；
U1/U2:
教室桌面所在平面的照度均匀度；
4.2.3模型的建立求解
以桌面所在的平面为xoy平面，以中心灯管中点所在的垂直线为z轴，建立空间直角坐
标系.由于所有灯管中，只有俩盏黑板灯的排列方向不一致，为了便于后面积分的计算和模型分析的需要，我们建所有的灯管根据排列的不同分为俩部分，由于整个教室灯管排布是
yoz平面对称的（中心灯管所在直线的垂直面），则该桌面所在平面的照度分布也必定沿yoz平面对称.这将为我们的计算带来方便，我们只需计算出x轴正方向的照度分布就好了.
如图1.2所示，当建立如此坐标系后，教室的所有灯管的坐标都建确定下来，例如等效的中
心灯管A1B1的坐标为：
A1B1（x1,y1,z1）（x1,y1l1,z1）,即A1B1（0,0.615,2.03）（0,0.615,2.03）
一：
现在我们来考虑x轴正方向在xoz平面内的直射照度分布情况.对于任意一盏等效灯管
AiBi（xi,yi,zi）（xi,yil1,zi）（除了俩盏黑板灯以外，黑板灯在后面单独计算），该光源光通
量为，在AiBi上的任意一点
M（xi,yi
y,zi），对于x轴正方向上的任意一
点
L（x,0,0）
根据光照度计算公式可知，点
M对L点的直射照度为：
ICOS
EML
d2
（003）
其中
I
COS
h4
4
d
h4
h2h3cosh4
23d
d
（xix）2
（yiy）2
h42
（004）
ICOS
h4
h4222
3
则
EML
d2
4.dh43
4.（xix）2（yiy）2h42
4
2
（005）
将（005）对y进行积分，则可以求得灯管
AiBi对点L的直射照度与L的横坐标
x的关系函
数.
lh3
Ei直0l14h4.（xix）2（yiy）2h422dy（006）
根据《数学分析》（第二册）中的第二换元积分法[5]：
3
（x2a2）2dxxc
222axa
可令y
yiym2（xix）2h42
积分区间变为（yi,yil1）
007）
El1
i直04
h4.
（xi
x）2
3
（yiy）2h422dy
则
h4
yil1
y
2m2
dy
4
yi
y1l1
h4.
y
4.
2
22
m2
y
m
y1
得到十五盏桌面照明灯
Ei直与x的关系函数为：
008）
i1、2、3L15）
i直
h4
4
yili
（xix）2h42yili（xix）2h42
h4.yi
4（xix）2h42yi2
（xix）2
i1、2、3LL15）
009）
面的计算公式不包括俩盏黑板灯，这俩盏灯管是平行于x轴排列的，其上面的点在移动过
程中，变化的量是
x，与上面的计算方法相同，其中
那么俩盏黑板灯与
（xjax）2yj2
x的关系函数为：
h42
010）
j直0144.（xj
x）2
h4
4
y2j
l1x
2
h42
3
2da
h4
y2j
2
h42
y2jh42
2
22lxyh1j4
y2jh42
j（16、17）
011）
那么整个教室的照明灯在x轴的点L（x，0，0）处的直射照度为：
h4
二：
现在考虑教室内的灯光对点L的反射照度，忽略桌面与地面的反射和黑板所在墙面的反射后，其数学模型如下图1.3所示，同样将教室内的灯管分为俩部分，为15盏纵向的等效灯管，和2盏横向的黑板灯管.
同上面的计算直射照度的方式对模型计算，对于任意一盏等效灯管
AiBi（xi,yi,zi）（xi,yil1,zi）（除了俩盏黑板灯以外，黑板灯在后面单独计算），该等效光源光通量为，在AiBi上的任意一点M（xi,yiy,zi），则令M关于三面边墙和天花板的镜
像分别为M1（8xi,yiy,zi）、M2（8xi,yiy,zi）、M3（xi,11yiy,zi）、
M4（xi,yi
图1.3
对于x轴正方向上的任意一点L（x,0,0），根据光照度计算公式可知，点M对L点的反射照度为：
E反LEM1LEM2LEM3LEM4L
按照上面计算直射照度的方法计算，只要在光通量前乘以墙面反射系数就可以了，依次计算
出EMiLi1、2、3、4
在此处的计算技巧：
比较M（xi,yiy,zi）与M1（8xi,yiy,zi），可以发现只有x
坐标不同，其他计算步骤与方法均相同，所以，将xi8xi代人（012）式，则可得：
EM1L
.h4
1
1.4h4
4（xi8x）2
（1、2、3L15）j（16、17）
因为EMiLi2、3与EM1L的计算极为相似，这里便不在多计算将EM4L计算出来便可.
i（1、2、3L15）j（16、17）（014）
接下来我们将对总照度EL关于点L（x,0,0）的变量x的关系函数（015）进行分析.很明显，若是直接对函数表达式（015）进行分析，那将是一个非常复杂的工作，对冗长而且无法化简的表达式进行微积分计算来求出函数式的单调性（或者区间单调性），那是非常困难近乎难以完成的工作.这里我们运用单调性分析技巧.通过观察我们容易发现，由于（015）最后的函数表达式中，临近两项都可以合并为一项（可以通过观察（013）式或（014），因为它们都是（015）中的一项和式）.最后的表达式将形成N项多项式的和的形式，并且这些多项式的模型相同，也就是这些多项式的单调性相同.通过上述对最终表达式的表述，我
们知道了，只需要分析出其中一项多项式的单调性，就代表了（015）式的单调性；
那么我们就以（015）中的一项来作分析：
（015）式中的其中一项为
（016）这样我们很发现，表达式f1（xix）2h42，（017）
f22yili2yi22（018）
yili（xix）2h42yi2（xix）2h42
由于（017）式中的表达式的变量的幂要高于（018）式中的幂，故式（017）的增长率要远
大于式（018）的增长率，所以（016）式的单调性为E在，xi
上递增，在xi,上递减.
在上述坐标系下，式（016）的xi（2.7,0,2.7）（i1、2、3L15）,通过上述分析，
1.4所示（这里选用取
我们可以将在x轴上的照度分布Ex与x的关系分布图作出来，如图
点法作图，这里由于取点有限精确度不高，只做分析用）
图1.4照度E与x的关系函数图
从上述分析和图形单调性来看，当xxi（2.7,0,2.7）函数值达到极大值，在
x0时达到最大值Emax；在x1.4，达到极小值也是最小值Emin，将相关的值代入
015）式进行计算得：
Emax385.00lx
U2
Emin210.00
Eavc329.89
根据《建筑照明设计标准》对照度均与度的最新规定：
4.2.1公共建筑的工作房间和工
业建筑作业区域内的一般照明照度均匀度，不应小于0.7，而作业面邻近周围的照度均匀度
不应小于0.5.与上述结果比较发现，照度均匀度U2略小于国家规定标准，但都满足周围的
照度均匀度不小于0.5.
4.2.4模型的分析总结及对结果的说明
1这部分工作是本论文的重点也是突出点，一改其他相关文献在这部分工作中的简化计算模型，甚至大部分文献直接对数据进行统计而跳过这部分繁琐的模型建立和计算过程在这部分问题的研究中，为了尽可能的化简函数式计算，首先我们通过观察发现教室内的灯管是对称分布的，这将为我们空间坐标系建立后的灯管坐标的确定提供便利，并且由此推论出教室内的照度分布是关于yoz对称的（如图1.5），这也将对经计算所得的E与x的关系
函数的分析提供便利
图1.5教室模型俯视图
2从图1.5我们可以看到，整个教室的我们除去两盏黑板灯所对教室内的桌面照明影响的话，这个教室的桌面照明部分的灯管分布是关于yoz面和xoz面对称的，也就是说，
我们只要研究出了E与x的关系函数分布图，我们就可以用同样的方法研究出E与y的关
系函数分布图（图1.4继续向左右俩边延伸一个波动），结合两者，我们就知道了E与xoy
平面（桌面所在的平面）的关系函数分布图（在对照度均匀度的计算中我们用到的是简化的计算模型，并未用到此分布图，故未作出
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