《计算方法》实验报告.docx
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计算机科学与工程学院
《计算方法》实验报告
学号
姓名
班级
实验项目名称
计算方法实验
一、实验名称
实验一插值与拟合
二、实验目的：
（1）明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；
（2）编程实现拉格朗日插值算法，分析实验结果体会高次插值产生的龙格现象；
（3）运用牛顿插值方法解决数学问题。
三、实验内容及要求
（1）对于
要求选取11个等距插值节点，分别采用拉格朗日插值和分段线性插值，计算x为0.5,4.5处的函数值并将结果与精确值进行比较。
输入：
区间长度，n（即n+1个节点），预测点
输出：
预测点的近似函数值，精确值，及误差
（2）已知用牛顿插值公式求的近似值。
输入：
数据点集，预测点。
输出：
预测点的近似函数值
四、实验原理及算法描述
算法基本原理：
（1）拉格朗日插值法
（2）牛顿插值法
算法流程
五、程序代码及实验结果
（1）输出：
A．拉格朗日插值法
B.分段线性插值
X y（精确） y（拉格朗日）y（分段线性）误差（拉）误差（分）
0.500000 0.800000 0.843407 0.750000 -0.054259 0.050000
4.500000 0.047059 1.5787200.0486425-32.547674 -0.033649
（2）输出：
X y（精确） y（牛顿插值）误差（牛顿插值）
5.00000 2.236068 2.266670 -0.013686
源码：
（1）A.拉格朗日插值法
#include
#include
#include
usingnamespacestd;
doubleLagrange（intN,vector&X,vector&Y,doublex）;
intmain（）{
doublep,b,c;
chara='n';
do{
cout<<"请输入差值次数n的值：
"<intN;
cin>>N;
vectorX（N,0）;
vectorY（N,0）;
cout<<"请输入区间长度（a,b）：
"< cin>>p;
cin>>b;
c=b-p;
c=c/（N-1）;
for（inti=0;i X[i]=p;
Y[i]=1/（1+p*p）;
p=p+c;
}
cout<<"请输入要求值x的值：
"<doublex;
cin>>x;
doubleresult=Lagrange（N,X,Y,x）;
cout<<"由拉格朗日插值法得出结果：
"<cout<<"是否要继续？
（y/n）：
";
cin>>a;
}while（a=='y'）;
return0;
}
doubleLagrange（intN,vector&X,vector&Y,doublex）{
doubleresult=0;
for（inti=0;idoubletemp=Y[i];
for（intj=0;jif（i!
=j）{
temp=temp*（x-X[j]）;
temp=temp/（X[i]-X[j]）;
}
}
result+=temp;
}
returnresult;
};
B：
分段线性插值
#include
#include
#include
usingnamespacestd;
doublefenduan（intN,vector&X,vector&Y,doublex,doublec）;
intmain（）{
doublep,b,c;
chara='n';
do{
cout<<"请输入差值次数n的值：
"<intN;
cin>>N;
vectorX（N,0）;
vectorY（N,0）;
cout<<"请输入区间长度（a,b）：
"< cin>>p;
cin>>b;
c=b-p;
c=c/（N-1）;
for（inti=0;i X[i]=p;
Y[i]=1/（1+p*p）;
p=p+c;
}
cout<<"请输入要求值x的值：
"<doublex;
cin>>x;
doubleresult=fenduan（N,X,Y,x,c）;
cout<<"由分段线性插值法得出结果：
"<cout<<"是否要继续？
（y/n）：
";
cin>>a;
}while（a=='y'）;
return0;
}
doublefenduan（intN,vector&X,vector&Y,doublex,doublec）{
doubleresult=0;
intb;
b=0;
while（x-X[b]>c）
{
b=b+1;
}
result=Y[b]*（1-（x-X[b]）/c）+Y[b+1]*（（x-X[b]）/c）;
returnresult;
};
（3）牛顿插值法
#include
#include
#include
usingnamespacestd;
doubleChaShang（intn,vector&X,vector&Y）;
doubleNewton（doublex,vector&X,vector&Y）;
intmain（）{
chara='n';
do{
intn;
cout<<"请输入插值点个数：
"<cin>>n;
vectorX（n,0）;
vectorY（n,0）;
cout<<"请输入插值点对应的值及函数值（Xi,Yi）：
"<for（inti=0;icin>>X[i]>>Y[i];
}
cout<<"请输入要求值x的值：
"<doublex;
cin>>x;
cout<<"由牛顿插值法得出结果：
"<cout<<"是否要继续？
（y/n）：
";
cin>>a;
}while（a=='y'）;
return0;
}
doubleChaShang（intn,vector&X,vector&Y）{
doublef=0;
doubletemp=0;
for（inti=0;itemp=Y[i];
for（intj=0;jif（i!
=j）temp/=（X[i]-X[j]）;
f+=temp;
}
returnf;
}
doubleNewton（doublex,vector&X,vector&Y）{
doubleresult=0;
for（inti=0;idoubletemp=1;
doublef=ChaShang（i,X,Y）;
for（intj=0;jtemp=temp*（x-X[j]）;
}
result+=f*temp;
}
returnresult;
}
六、实验总结
1.通过实验一数据发现，拉格朗日插值在低次插值时，同源函数偏差并不大，但在高次插值时同原函数偏差大、存在明显的龙格现象，而分段线性插值可以避免出现的龙格现象，与原函数比较吻合，但是分段线性插值由于其分段属性，使得插值函数失去光滑性，可以考虑采用Hermite插值优化。
2.通过实验二计算过程发现，拉格朗日插值法的线性插值的计算过程没有继承性，即增加一个节点时整个计算工作必须重新开始。
而牛顿插值则避免了这一问题，这样大量的节省了乘、除法运算次数，减少了计算的时间。
因此，对于一些结构相当复杂的函数，牛顿插值法比拉格朗日插值法要占优势。
五、教师评语（或成绩）
教师签字：
9
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