教师用全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法.docx

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教师用全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法

全等三角形问题中常见的辅助线的作法

总论：

全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等

1.等腰三角形“三线合一”法：

遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题

2.倍长中线：

倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形

3.角平分线在三种添辅助线

4.垂直平分线联结线段两端

5.用“截长法”或“补短法”：

遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，

6.图形补全法：

有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形

7.角度数为30、60度的作垂线法：

遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：

遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：

最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题

2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形

3）遇到角平分线在三种添辅助线的方法

（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线

（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形

5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

6）已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

特殊方法：

在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

一、倍长中线（线段）造全等

例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

解：

延长AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知

AB-BE<2AD

例

2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

解：

（倍长中线,等腰三角形“三线合一”法）延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG,

显然BG＝FC，

在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知

EG＝EF

在△BEG中，由三角形性质知

EG

故：

EF

例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：

AD平分∠BAE.

解：

延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG,

显然DG＝AC，∠GDC=∠ACD

由于DC=AC，故∠ADC=∠DAC

在△ADB与△ADG中，

BD＝AC=DG，AD＝AD，

∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG

故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE

应用：

1、（09崇文二模）以

的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt

和等腰Rt

，

连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：

AM与DE的位置关系及数量关系．

（1）如图①当

为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，

线段AM与DE的数量关系是；

（2）将图①中的等腰Rt

绕点A沿逆时针方向旋转

（0<

<90）后，如图②所示，

（1）问中得到的两个结论是否发生改变？

并说明理由．

二、截长补短

1、如图，

中，AB=2AC，AD平分

，且AD=BD，求证：

CD⊥AC

解：

（截长法）在AB上取中点F，连FD

△ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知

DF⊥AB，故∠AFD＝90°

△ADF≌△ADC（SAS）

∠ACD＝∠AFD＝90°即：

CD⊥AC

2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC

解：

（截长法）在AB上取点F，使AF＝AD，连FE

△ADE≌△AFE（SAS）

∠ADE＝∠AFE，

∠ADE+∠BCE＝180°

∠AFE+∠BFE＝180°

故∠ECB＝∠EFB

△FBE≌△CBE（AAS）

故有BF＝BC

从而;AB＝AD+BC

3、如图，已知在△ABC内，

，

，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是

，

的角平分线。

求证：

BQ+AQ=AB+BP

解：

（补短法,计算数值法）延长AB至D，使BD＝BP，连DP

在等腰△BPD中，可得∠BDP＝40°

从而∠BDP＝40°＝∠ACP

△ADP≌△ACP（ASA）

故AD＝AC

又∠QBC＝40°＝∠QCB故BQ＝QC

BD＝BP

从而BQ+AQ=AB+BP

4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分

，

求证：

解：

（补短法）延长BA至F，使BF＝BC，连FD

△BDF≌△BDC（SAS）

故∠DFB＝∠DCB，FD＝DC

又AD＝CD

故在等腰△BFD中

∠DFB＝∠DAF

故有∠BAD+∠BCD＝180°

5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

解：

（补短法）延长AC至F，使AF＝AB，连PD

△ABP≌△AFP（SAS）

故BP＝PF

由三角形性质知

PB－PC＝PF－PC

应用：

1、如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：

MB－MC＜AB－AC．

（答案与解析）

证明：

∵AB＞AC，则在AB上截取AE＝AC，连接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）．

在△AMC和△AME中，

∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）．

又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．

（点评）因为AB＞AC，所以可在AB上截取线段AE＝AC，这时BE＝AB－AC，如果连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE．这表明只要证明ME＝MC，则结论成立．充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.

三、平移变换

例

1AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为

，△EBC周长记为

.求证

＞

.

解：

（镜面反射法）延长BA至F，使AF＝AC，连FE

AD为△ABC的角平分线,MN⊥AD

知∠FAE＝∠CAE

故有

△FAE≌△CAE（SAS）

故EF＝CE

在△BEF中有：

BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC

从而PB=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=PA

例2如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：

AB+AC>AD+AE.

证明：

取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.

∵BD=CE,

∴DM=EM,

∴△DMN≌△EMA（SAS）,

∴DN=AE,

同理BN=CA.

延长ND交AB于P,则BN+BP>PN,DP+PA>AD,

相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,

各减去DP,得BN+AB>DN+AD,

∴AB+AC>AD+AE。

四、借助角平分线造全等

1、在ΔABC中，AB＞AC.

求证：

∠B＜∠C

（答案与解析）证明：

作∠A的平分线，交BC于D，把△ADC沿着AD折叠，使C点与E点重合.

在△ADC与△ADE中

∴△ADC≌△ADE（SAS）∴∠AED＝∠C

∵∠AED是△BED的外角，∴∠AED＞∠B，即∠B＜∠C.（点评）作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形

2、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：

OE=OD，DC+AE=AC

证明（角平分线在三种添辅助线,计算数值法）∠B=60度,

则∠BAC+∠BCA=120度;

AD,CE均为角平分线,

则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;

∠AOC=120度.

在AC上截取线段AF=AE,连接OF.

又AO=AO;∠OAE=∠OAF

.则⊿OAE≌ΔOAF（SAS）,

OE=OF;AE=AF;

∠AOF=∠AOE=60度.

则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;

又CO=CO;∠OCD=∠OCF.

故⊿OCD≌ΔOCF（SAS）,

OD=OF;CD=CF.

OE=OD

DC+AE=CF+AF=AC.

3、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

（1）说明BE=CF的理由；

（2）如果AB=

，AC=

，求AE、BE的长.

解：

（垂直平分线联结线段两端）连接BD，DC

DG垂直平分BC，故BD＝DC

由于AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，故有

ED＝DF

故RT△DBE≌RT△DFC（HL）

故有BE＝CF。

AB+AC＝2AE

AE＝（a+b）/2

BE=（a-b）/2

五、旋转

例

1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

证明：

将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG

则GE=GB+BE=DF+BE=EF

又AE=AE，AF=AG，

所以三角形AEF全等于AEG

所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF

又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90

所以∠EAF=45度

例2D为等腰

斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（1）当

绕点D转动时，求证DE=DF。

（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。

解：

（计算数值法）

（1）连接DC，

D为等腰

斜边AB的中点，故有CD⊥AB，CD＝DA

CD平分∠BCA＝90°，∠ECD＝∠DCA＝45°

由于DM⊥DN，有∠EDN＝90°

由于CD⊥AB，有∠CDA＝90°

从而∠CDE＝∠FDA＝

故有△CDE≌△ADF（ASA）

故有DE=DF

（2）S△ABC=2,S四DECF=S△ACD=1

应用：

如图，

是边长为3的等边三角形，

是等腰三角形，且

，以D为顶点做一个

角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则

的周长为；

解：

（图形补全法,“截长法”或“补短法”,计算数值法）AC的延长线与BD的延长线交于点F，在线段CF上取点E，使CE＝BM

∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，

∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，

∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°，

又∵BM=CE，BD=CD，

∴△CDE≌△BDM，

∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，

∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，

∵在△DMN和△DEN中，

   DM=DE

   ∠MDN=∠EDN=60°

   DN=DN

∴△DMN≌△DEN，

∴MN=NE

∵在△DMA和△DEF中，

   DM=DE

   ∠MDA=60°- ∠MDB=60°- ∠CDE=∠EDF（∠CDE=∠BDM）

  ∠DAM=∠DFE=30°

∴△DMN≌△DEN（AAS），

∴MA=FE

的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6