弹性力学答案缩印.doc
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2-16设有任意形状的等厚度薄板,体力可以不计,在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力q试证及能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件,也能满足位移单值条件,因而就是正确的解答。
证明:
(1)将应力分量,和分别代入平衡微分方程、相容方程
(a)
(b)
显然(a)、(b)是满足的
(2)对于微小的三角板都为正值,斜边上的方向余弦,,将,代入平面问题的应力边界条件的表达式
(c)
则有
所以,。
对于单连体,上述条件就是确定应力的全部条件。
(3)对于多连体,应校核位移单值条件是否满足。
该题为平面应力的情况,首先,将应力分量及代入物理方程,得形变分量,,(d)
然后,将(d)的变形分量代入几何方程,得
,,(e)
前而式的积分得到,(f)
其中的和分别是y和x的待定函数,可以通过几何方程的第三式求出,将式(f)代入(e)的第三式得
等式左边只是y的函数,而等式右边只是x的函数。
因此,只可能两边都等于同一个常数ω,于是有,,积分以后得,
代入(f)得位移分量
其中为表示刚体位移量的常数,须由约束条件求得。
从式(g)可见,位移是坐标的单值连续函数,满足位移单值条件,因而,应力分量是正确的解答。
2-17设有矩形截面的悬臂粱,在自由端受有集中荷载F,体力可以不计。
试根据材料力学公式,写出弯应力和切应力的表达式,并取挤压应力,然后证明,这些表达式满足平衡微分方程和相容方程,再说明,这些表达式是否就表示正确的解答。
解〔1〕矩形悬臂梁发生弯曲变形,任意横截面上的弯矩方程为,横截面对z轴(中性轴)的惯性矩为,根据材料力学公式,弯应力;该截面上的剪力为,剪应力;并取挤压应力
(2)经验证,上述表达式能满足平衡微分方程
也能满足相容方程
再考察边界条件:
在的主要边界上,应精确满足应力边界条件:
,;
,。
能满足
在次要边界x=0上,列出三个积分的应力边界条件:
满足应力边界条件。
在次要边界上,列出三个积分的应力边界条件:
满足应力边界条件
因此,他们是该问题的解答。
3-6如题3-6图所示的墙,高度为h,宽度为b,h»b,在两侧面上受到均布剪力q的作用。
试用应力函数求解应力分量。
解
(1)相容条件:
将应力函数代人相容方程中,其中
,,很明显满足相容方程。
(2)应力分量表达式
,,
(3)考察边界条件:
在主要边界上,各有两个应精确满足的边界条件,即,。
在次要边界上,,而的条件不可能精确满足(否则只有A=B=0),可用积分的应力边界条件代替
(4)把各应力分量代入边界条件,得,。
应力分量为,,
3-8设题3-8图中的三角形悬臂梁只受重力作用,而梁的密度为,试用纯三次式的应力函数求解。
解
(1)相容条件:
设(a)
不论上述中的系数取何值,纯三次式的应力函数总能满足相容方程。
(2)体力分量由应力函数得应力分量的表达式
(b)
(c)
(d)
(3)考察边界条件:
利用边界条件确定待定系数
先考察主要边界上的边界条件:
,
将应力分量式(b)和式(c)代入,这些边界条件要求
,得A=0,B=0。
式(b)、(c)、(d)成为
(e)
(f)
(g)
根据斜边界的边界条件,它的边界线方程是,在斜面上没有任何面力,即,按照一般的应力边界条件,有
将(e)、(f)、(g)代入得
(h)
(i)
由图可见,
,
代入式(h)、(i)求解C和D,即得,
将这些系数代入式(b)、(c)、(d)得应力分量的表达式
4-12楔形体在两侧面上受有均布剪力q,如题4-12图所示.试求其应力分量。
解
(1)应力函数,进行求解
由应力函数得应力分量
(2)考察边界条件:
根据对称性,得
(a)
(b)
(c)
(d)
由式(a)得(e)
由式(b)得(f)
由式(c)得(g)
由式(d)得(h)
式(e)、(f)、(g)、(h)联立求解,得
将以上系数代入应力分量,得
4一13设有内半径为r,外半径为R的圆筒受内压力q,试求内半径和外半径的改变,并求圆筒厚度的改变。
解本题为轴对称问题,只有径向位移而无环向位移。
当圆筒只受内压力q的情况下,取应力分量表达式(B=0),内外的应力边界条件要求
,
,
由表达式可见,前两个关于的条件是满足的,而后两个条件要求
由上式解得,(a)
把A,B,C值代入轴对称应力状态下对应的位移分量,
(b)
(c)
式(c)中的取任何值等式都成立,所以个自由项的系数为零H=I=K=0。
所以,轴对称问题的径向位移式(b)为
,
而圆简是属于平面应变问题,故上式中代替,则有
此时内径改变为,
外径改变为
圆环厚度的改变为
4-15在薄板内距边界较远的某一点处,应.力分最为,,如该处有一小圆孔.试求孔边的最大正应力。
解求出两个主应力,即
原来的间题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力q而在上下两边受均布压力q,如图所示。
应力分量,,代入坐标变换式,得到外边界上的边界条件
(a)
(b)
在孔边,边界条件是
(c)
(d)
由边界条件式(a)、(b)、(c)、(d)可见,用办逆解法是,可假设为的某一函数乘以,而为的另一函数乘以。
而
,
因此可假设。
(e)
将式(e)带入相容方程,得
删去因子以后,求解这个常微分方程,得,
其中A,B,C,D为待定常数,代入式(e),得应力函数
由应力函数得应力分量的表达式
将上式代入应力边界条件
由式(a)得(g)
由式(b)得(h)
由式(c)得(i)
由式(d)得(j)
联立求解式,并令,得
将各系数值代入应力分量的去达式,得
沿着孔边,环向正应力是
最大环向正应力为
4-17在距表面为h的弹性地基中,挖一直径为d的水平圆形孔道,设h》d,弹性地基的密度为,弹性模量为E,泊松比为,试求小圆孔附近的最大、最小应力。
解距地表为h处,无孔时的铅直应力,由水平条件,可得
x向为水平回形孔道的轴向,在横向y,z平面的主应力为,
(2)原来的问题变为管道在左右两边受均布压力在上下两边受均布压力,在上下两边受均布压力,如图(a)所示。
可以将荷载分解为两部分:
第一部分是四边的均布压力如图(b)所示,第二部分是左右两边的均布拉力和上下两边的均布压力如图(c)所示。
对于第一部分荷载,可应用解答
对于第二部分解答,可应用解答,教材中式(4-18)。
将两部分解答叠加,即得原荷载作用下的应力分量(基尔斯的解答)。
沿着孔边,环向正应力是
最大环向正应力为,
8-1设有任意形状的等截面杆,密度为,上端悬挂,下端自由。
如题8-1图所示,试考察应力分量是否能满足所有一切条件。
解按应力求解空间问题时,须要使得六个应力分量在弹性体区域内满足平衡徽分方程,满足相容方程;并在边界上满足应力边界条件.
(l)很显然应力分量满足如下平衡徽分方程
(2),应力分量也满足贝尔特拉米相容方程
(3)考察应力边界条件:
柱体的侧面和下端面,。
.在平面上应考虑为任意形状的边界(侧面方向余弦分别为为任意的;在下端面方向余弦分别为)。
应用一般的应力边界条件,将应力和面力分量、方向余弦分别代入下式
直杆的侧面和下端的应力边界条件都能满足,因此,所给应力分是是本问题的解
8-2设有任意形状的空间弹性体,在全部边界上(包括在孔洞边界上)受有均布压力q,试证应力分量能满足一切条件,因而就是正确的解答。
解:
应力应满足平衡微分方程,相容方程及应力边界条件(在上),多连体还应满足位移单值条件。
(1)平衡条件,很显然,应力分量满足平衡微分方程
(2)相容条件:
,应力分量也满足贝尔特拉米相容方程。
(3)应力边界条件。
考虑一般的应力边界条件:
法线的方向余弦为边界面为任意斜面,受到法向压力q的作用。
同样,满足应力的边界条件。
(4)位移单值条件,为了考虑多连体中的位移单值条件,由应力求出对应的位移,然后再检查是否满足单值条件。
将应力分量代人教材中式(7一12),得形变分量表达式
,
将形变分量代入几何方程,得
积分得位移分量的表达式
其中的分别是和和的待定函数,可以通过几何方程的后三个式子求出。
满足上述三个等式,只可能每个等式的左右两边等于同一个常数。
积分以后得
代入位移分量表达式得
其中分量分别表示位移和刚体转动,与形变无关。
多连体上各
个点的位移分量都是的线性函数,所以满足位移单值条件。