计算方法作业参考答案(不断更新).docx
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第一次作业
1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，指出他们有几位有效数字，并写出绝对误差限。
解：
，有5位有效数字，绝对误差限为；
，有2位有效数字，绝对误差限为；
；有4位有效数字，绝对误差限为；
；有5位有效数字，绝对误差限为；
；有1位有效数字，绝对误差限为；
；有4位有效数字，绝对误差限为。
2.要使的近似值的相对误差限小于，要取几位有效数字？
解：
由于，设要取位有效数字，则根据定理1.1.1，有，解得，即要取4位有效数字。
3.序列满足递推关系若，计算到时误差有多大？
这个计算过程数值稳定吗？
解：
，由于有3位有效数字，且，所以的绝对误差限为，因此的绝对误差限为。
很明显这个计算过程不是数值稳定的。
作业中出现的问题：
第一题：
主要是第五个数，不知道它有几位有效数字，很多同学认为有5或者6位有效数字，这是不对的，进而算错绝对误差限。
另外有个别同学分不清有效数字的概念，六个数的有效数字都弄错了。
第二题：
主要是算错，不知道该取3还是4。
第三题：
没有什么大的问题。
有个别同学一个数一个数的算出来了，这是不可取的。
直接迭代误差就行了。
附：
地物1301班和1302班有几个同学花名册上没有名单，我添加上去了。
第二次作业
1.利用二分法求方程在[2,3]内根的近似值，并指出误差。
解：
，当时，，则在[2,3]上有且只有一个根。
取，;
取，;
取，;
取，;
故可取根的近似值为;
误差|≤。
2.证明方程在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于的根需要二分区间多少次？
解：
令，，故，且，故在[0,1]内有唯一的根。
设需要二分区间次，则有，故需要二分区间14次。
3.为求方程在附近的一个根，设将方程改为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：
（1），迭代公式;
（2），迭代公式;
（3），迭代公式。
试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。
解：
设，则，，所以方程在[1.4，1.5]上有根。
（1），，，当时，，所以迭代格式收敛。
（2），，，当时，，所以迭代格式收敛。
（3），，，当时，，所以迭代格式发散。
选择迭代格式
（2），.计算到，具有四位有效数字。
作业中出现的问题：
第一题：
有的同学没有讨论根的存在唯一性，再就是没有二分足够的次数或者分的次数太多，另外不会利用误差公式来计算误差。
第二题：
没有什么大问题，有部分同学算的时候没有减一，导致结果是15次。
第三题：
有的同学选取的区间不对（太大），导致分析收敛性的出错，其次是有的同学利用迭代公式
（1）计算，这样计算的很慢，很繁琐，推荐使用迭代公式
（2）计算比较好，另外计算的时候，没有分清什么是有效数字，导致计算结果不对。
第三次作业
1.求方程在附近的一个根，试分析三种迭代公式的收敛性：
（1），迭代公式;
（2），迭代公式;
（3），迭代公式。
解：
设，则，，所以方程在[1.4，1.5]上有根。
（1），，，当时，，所以迭代格式收敛。
（2），，，当时，，所以迭代格式收敛。
（3），，，当时，，所以迭代格式发散。
选择迭代格式
（2），.计算到，具有四位有效数字。
2.应用牛顿法解方程，导出求立方根的近似公式。
解：
令，则为方程的根，且，则求的牛顿迭代公式为。
当时，取，通过计算可得，取四位有效数字所以。
3.利用割线法求在附近的一个根，取，保留四位有效数字。
解：
令，初值，利用公式
进行迭代：
综上，在附近实根精确到四位有效数字的近似值为1.879。
作业中出现的问题：
第一题：
没有什么大问题。
第二题：
没有什么大问题，有个别同学迭代公式写错了，导致结果出错。
第三题：
主要要是四位有效数字，有很多同学都计算错了。
迭代公式基本没错。
第四次作业
1.在三处的值是容易求得的，试以这三点建立的抛物插值公式，并近似求之值，且给出误差估计。
解：
先给出线性插值函数：
接着利用这三个插值函数构造抛物插值公式：
则我们可以得到的近似值：
下面给出误差估计：
其中
2.已知函数表
1.1275
1.1503
1.1735
1.1972
0.1191
0.13954
0.15932
0.17903
应用Lagrange插值多项式计算的近似值。
解：
则有
作业中出现的问题：
第一题：
没有什么大问题，只是有个别同学计算错误。
另外计算误差的时候，有个别同学算的挺离谱的，还有就是不必计算到4阶导数值，误差公式得记得。
第二题：
没有什么大问题，有个别同学只用了两个插值函数。
少数同学计算错误。
第五次作业
1.若，问：
解：
由差商性质可得
2.已知函数表：
1.615
1.634
1.702
1.828
1.921
2.41450
2.46459
2.65271
3.03035
3.34066
构造出差商表，并利用Newton插值多项式计算在处的值。
解：
由给定的数据做差商表如下：
一阶差商
二阶差商
三阶差商
四阶差商
1.615
2.41450
1.634
2.46459
2.63632
1.702
2.65271
2.76647
1.49598
1.828
3.03035
2.99714
1.18902
-1.44113
1.921
3.34066
3.33667
1.55037
1.25906
8.82415
则Newton插值多项式为
则，
3.给定函数表：
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
1.00
1.257625
1.531000
1.820875
2.12800
试利用Newton向前插值公式计算在处的值。
解：
由给定的数据做差分表如下：
1.00
1.00
1.05
1.257625
0.257625
1.10
1.531000
0.273375
0.01575
1.15
1.820875
0.289875
0.01650
0.00075
1.20
2.12800
0.307125
0.01725
0.00075
0
则Newton向前插值公式为
则
4.设有某实验数据如下：
1.36
1.49
1.73
1.81
1.95
2.16
2.28
2.48
14.094
15.069
16.844
17.378
18.435
19.949
20.963
22.495
试用最小二乘法分别求一次及二次多项式曲线拟合以上数据。
解：
（1）假设，利用数据计算以下和式：
，，，
则有
则有近似一次多项式为
（2）假设，利用数据计算以下和式：
，，，可得方程组：
求解可得：
则有近似二次多项式为
作业中出现的问题：
第一题：
没有什么大问题，会利用公式就行了。
第二题：
没有什么大问题，差商表能构造出来就行，再套公式，还是有个别同学计算错误。
第三题：
没有什么大问题，能构造出差分表会套公式就行，还有就是要记得算那个。
第四题：
主要是计算错误，公式套用倒都是对的，算错的基本上都是算错，进而下面计算也会错。
其实利用excel或者matlab计算就行。
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