第二章：一元函数微分学(下).doc
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评注：
曲线的水平渐近线最多有两条．
[例2.7]填空
⑴曲线的水平渐近线方程为；
⑵曲线的斜渐近线方程为．
解：
⑴由于.
故曲线的水平渐近线方程为．
⑵因为，
，
于是所求斜渐近线方程为．
评注：
如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握．这里应注意两点：
⑴当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；⑵若当时，极限不存在，则应进一步讨论或的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线．
十、曲率、曲率半径
曲线上任一点处的曲率及曲率半径分别为
（当．
●●常考题型及其解法与技巧
一、函数形态的研究
Ⅰ研究函数的单调增减性
这里包括判断或证明函数的单调增减性、求函数的单调增减区间等．其方法主要依据函数单调性判别定理．
[例2.2.1]判断函数在区间内的单调增减性．
解：
显然，当时，．为了判定的符号，只需考查函数
的符号．
易得，
又，所以当时，，即单调增加．由此可知当时，，从而，故在区间内的单调减少．
[例2.2.2]求函数的单调增减区间．
解：
函数的定义域为．
当时，；当时，；
当时，
由于不存在，
所以不存在．
从由在内的导数为零和导数不存在的点为．
当时，，故函数在上单调增加；
当时，，故函数在上单调增加；
当时，，故函数在上单调减少．
[例2.2.3]设在区间内二阶可导，且．证明：
函数在区间和内分别是单调增加的．
证明：
为证在区间和内分别是单调增加的，只需证明在相应的区间内．即只要证明．
令，则
，
由条件可知，当时，当时，所以为函数的极小值，并且为的唯一驻点，故是的最小值，所以在区间和内，从而在区间和内，证毕．
Ⅱ研究函数的极值
函数的极大值和极小值统称为函数的极值．这里包括讨论函数的极值、求函数的极值等．讨论或求函数的极值通常有两种方法，一是应用极值的第一充分条件，二是应用极值的第二充分条件．需要指出的是，有时要根据极值的定义进行讨论．
[例2.2.4]求函数的极值．
解：
函数的定义域为．
所以定义域内函数的导数为零和不存在的点只有驻点．
当时，；当时，．故函数在点取得极大值．
[例2.2.5]⑴已知在的某个邻域内可导，且，则在点处
（A）存在且（B）不存在
（C）取得极大值（D）取得极小值
⑵设在的某个邻域内可导，且，则
（A）不是函数的极值，但是曲线的拐点；
（B）不是函数的极值，也不是曲线的拐点；
（C）是函数的极小值；
（D）是函数的极大值
解：
⑴由题设，根据极限的保号性知在的某邻域内必有，即，
所以在取极小值．
又由可得，所以，即，所以（A）、（B）不正确
因此应选（D）．
⑵由于，所以可得存在的一个去心邻域，使得都有，因此当时，；当时，
从而是函数的极大值，故应选（D）．
[例2.2.6]设函数对一切满足微分方程
且在处连续，
（Ⅰ）证明：
若在点处有极值，则该极值为极小值；
（Ⅱ）若在点处有极值，问该极值是极大还是极小？
证明：
（Ⅰ）若在点处有极值，所以，又因为函数对一切满足微分方程
所以，故在点处，有极小值；
（Ⅱ）若在点处有极值，则，且
由于在处连续，所以
因此若在点处有极值，该极值还是极小值．
[例2.2.7]设函数在点的邻域内有定义，且
其中为正整数，
试讨论在点处的极值
解：
由题设，故=，其中，从而有，
在的足够小的邻域内，与同号，因此在点的足够小邻域内有：
⑴如果为偶数，则与同号，于是时，为极大值；当时，为极小值；
⑵如果为奇数，则当变化经过点时，变号，所以在处
不取极值．
[例2.2.8]设且，求的极值．
解：
由可得
（1）
（2）
由
（1）、
（2）可得，所以
故函数在其定义域内导数为零和导数不存在的点为，
又因为
所以，因此是函数的极小值点，是函数的极大值点．
由，可得
由于，所以
因此函数极小值为，极大值为．
Ⅲ研究曲线的凹凸性
这里包括判断或证明曲线的凹凸性，求曲线的凹凸区间和拐点．与函数极值情形类似，若函数在定义域内连续，则曲线的拐点只可能出现在和不存在的点处．
[例2.2.8]⑴已知函数当时满足且，则
（A）是函数的极大值；（B）是函数的极小值；
（C）是曲线的拐点；
（D）不是函数的极值，点也不是曲线的拐点．
⑵设函数在点的某邻域内具有连续的二阶导数，且，则
（A）点为的零点（B）点为的极值点
（C）当时，为拐点
（D）当时，为拐点
解：
⑴由题设知，这表明在时，存在，于是在时连续．由上式知在时连续，且．
由于
所以不是函数的极值,但是曲线的拐点．故应选（C）．
⑵构造函数，则，但点不是的零点，也不是的极值点，所以（A），（B）不正确；
由，可知存在，当时，
即与同号，因此当时，；当时，
故为拐点．
同样的方法可知，当时，不是拐点．所以应选（D）．
[例2.2.9]⑴求曲线的凹凸区间和拐点；
⑵设函数由参数方程确定，求曲线向上凸的的取值范围为；
⑶设函数由方程确定，是判断曲线在点附近的凹凸性．
解：
⑴由知曲线在定义域内连续．
当时，有
当时，由
知函数在处的导数不存在，从而二阶导数也不存在．
令得．于是点和点把定义域分为三个子区间．
当时，，故曲线是凸的；
当时，，故曲线是凹的；
当时，，故曲线是凸的．点和是曲线的两个拐点．
⑵由于，
显然；
所以曲线向上凸的的取值范围为或者
⑶由于，
从而在处，，
所以曲线在点附近是凸的．
Ⅳ求渐近线
曲线的渐近线共有三类分别是：
水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线．
[例2.2.10]函数的全部渐近线为．
解：
显然，所以是垂直渐近线；
显然无水平渐近线；
又，
所以曲线的斜渐近线为．
[例2.2.11]曲线，渐近线条数为
（A）0（B）1（C）2（D）3
解：
显然是垂直渐近线；
又因为，所以直线是水平渐近线；
又因为
所以是一条斜渐近线，故应选（D）．
Ⅴ求曲率
[例2.2.12]设曲线经过原点且在原点与轴相切，其中二阶可导，又，则此曲线在原点的曲率．
解：
由于二阶可导，曲线经过原点且在原点与轴相切，所以
（1）
又因为，所以，即
（2）
由
（2）、
（1）可得
因此曲线在原点的曲率．
[例2.2.13]心形线在点处的曲率．
解：
由于，
所以，
所以．
二、一元函数最值问题
Ⅰ求函数的最值
函数的最大值和最小值统称为最值．求函数的最值要注意以下几点：
（1）若函数在上连续，则它在该区间上必有最大值和最小值．求出在内的全部极值和区间两端点处的函数值，则其中最大者即是在上的最大值，最小者就是在上的最小值．
（2）若函数在开区间、半开区间或无穷区间内连续，求函数最值时，需求出区间内函数的全部极值和区间端点处函数的单侧极限．如果单侧极限最大，则函数在该区间内没有最大值；如果单侧极限最小，则函数在该区间内没有最小值．
（3）若函数在一区间（闭、开或半开）上连续，且在该区间内只有一个极值（极大值或极小值），则此极值（极大值或极小值）也就是在该区间上的最值（最大值或最小值）
[例2.2.14]设常数），求此函数在以0与为端点的闭区间上的最大值和最小值．
解：
，令，得
（1）当时，区间内无驻点，且，从而最大值为，最小值为；
（2）当时，区间内无驻点，且，从而最大值为，最小值为；
（3）当时，是内的唯一驻点，由于，所以为最小值，因此，比较大小确定最大值．
若，则最小值为，最大值为；
若，则最大值为，最小值为．
[例2.2.14]若不等式对一切成立，则常数的最小取值为
（A）（B）（C）（D）
解：
原不等式可变形为
下面求函数在区间上的最大值．
因为，从而可得在定义域内导数为零和不存在的点为这一个点，而且，所以是在区间上的最大值，故最小应取2．故应选（C）．
Ⅱ最值的应用问题
[例2.2.15]做半径为R的球的内接正圆锥，问此圆锥的高为何值时，圆锥的体积最大？
解：
设圆锥的底半径为，高为，圆锥体积为
由于，所以
令，得惟一驻点．
又，故是极大值，也是上的最大值．
此时，最大值．
[例2.2.16]周长为的等腰三角形，绕其底边旋转形成旋转体，求所得旋转体为最大的那个等腰三角形．
解：
如图，设等腰三角形腰为，底为，则．
而旋转体的体积为：
（）
因为，所以
．
令，得惟一解，而，得．
又由于，所以所得体积为最大的那个等腰三角形的腰为，底为．
三、有关中值定理命题的证明
Ⅰ验证中值定理及有关中值的计算
验证中值定理正确与否，一定要验证两点：
①定理的条件是否满足；②若条件满足，求出定理结论中的值．
[例2.2.17]试考察函数在闭区间上是否满足拉格朗日中值定理的条件？
若满足，则求出该定理中结论的值．
解：
因为，
所以在处连续，又在内都连续，从而在闭区间上连续．
又函数在开区间内可导，而在处，由于
所以在点处也可导，因而在开区间内可导．
总之在闭区间上满足拉格朗日中值定理的条件．根据拉格朗日中值定理，存在使得：
．
而．
分别令，得：
，以及舍去．
所以，在开区间内，满足拉格朗日中值定理的．
Ⅱ欲证结论：
在内至少存在一点，使为的函数
对于此类型的命题证明的一般思路：
①利用倒推法（或常数变易法）构造辅助函数；②找的一个子区间，使；③对在区间上使用罗尔定理，可得到所证结论．
[例2.2.18]设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，求证至少存在一点，使得．
分析：
将欲证结论中换成得，，即
上式两端求不定积分可得，即，故可构造辅助函数．
证明：
令，则在上连续，在内可导，且
，
所以在闭区间上满足罗尔定理的条件，故至少存在一点，使得，
从而．
[例2.2.19]设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且
．
证明对任何满足的常数，存在，使．
分析：
将欲证结论中的换成得，，两端求不定积分可得
，即
故可构造辅助函数．
证明：
令，则在上连续，在内可导，且
，
从而，根据闭区间上连续函数的性质得：
存在，使得，从而在闭区间上满足罗尔定理的条件，于是存在，使，即命题成立．
[例2.2.20]设在上连续，在内可导，，，证明至少存在一点使．
分析：
将欲证结论中的换成变量得，恒等变形为
上式两端求不定积分可得，从而
故可构造辅助函数．
证明：
令，则．
由于在上连续，根据积分中值定理
，
又在上连续，在内可导，且，所以根据罗尔中值定理可得：
至少存在一点，使，从而．
Ⅲ欲证结论：
在内至少存在，使得某个关于的等式成立（可能相等）
对于此类型命题证明的一般思路：
①将所证等式变形使其一端只含，另一端仅含；②观察含的关系式（是某一个函数在求导所得，还是两个不同的函数在点导数的商），选择使用拉格朗日或柯西中值定理，得到一个关于的关系式；③观察含的关系式，选择使用拉格朗日或柯西中值定理，得到一个关于的关系式；④由上述得到的两个关系式可推出所证结论．
[例2.2.21]设在上连续，在内可导，证明存在使
分析：
欲证结论的左端仅含，且是在点的导数，所以首先对在上使用拉格朗日中值定理，得到一个关于得关系式；欲证结论的右端仅含，且是与在点导数的商，故应对函数与在上使用柯西中值定理得到一个关于得关系式．
证明：
由题设在上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在，使
（1）
又，在上满足柯西中值定理的条件，故存在，使
（2）
合并
（1）与
（2）可得．
[例2.2.22]设在闭区间上连续，在开区间内可导，且，证明在内存在两点，使得．
分析：
将欲证关系式恒等变形为，这时等式左端仅含，且是函数在点的导数；右端只含，且是函数在点的导数．
证明：
对函数在区间上使用拉格朗日中值定理．从而存在，使得，即
（1）
对函数在区间上使用拉格朗日中值定理．从而存在使得
（2）
由
（1）、
（2）可得．
Ⅳ欲证结论：
在内至少存在一点，使
对于此类型命题证明的一般思路：
①找的一个子区间，使
；②对在区间上使用罗尔定理．
[例2.2.23]设在上连续，在内二阶可导，且，
试证至少存在一点．
证明：
对分别在上使用罗尔定理可得，存在使得
对在区间上使用罗尔定理可得，存在，使得．
Ⅴ欲证结论：
在内至少存在，使得某个关于的等式成立
对于此类型命题证明的一般思路：
①在内找一个点；②分别在区间和使用拉格朗日中值定理或柯西中值定理得到一个关于的关系式和一个关于的关系式（此时）；③将上面得到的两个关系式作某种运算，从而得出结论．
[例2.2.24]已知函数在上连续，在内可导，且，证明
（Ⅰ）存在，使得；
（Ⅱ）存在两个不同的点，使得．
证明：
（Ⅰ）令，则
在上连续，又因为，所以，因此根据零点定理可得，存在，使得，即
．
（Ⅱ）对分别在区间上使用拉格朗日中值定理可得
，
所以．
Ⅵ已知条件中出现了高阶导数，且最高阶导数连续的等式证明
对于此类型命题证明的一般思路：
①将函数在适当点展开成阶泰勒公式（根据已知条件或欲证结论选取展开的点；为的最高阶导数的阶数值减一）；②令展开式中的变量分别取一些特殊点得到一些关系式，对得到的这些关系式进行适当的运算，从而推出结论．
[例2.2.25]设在上具有三阶连续导数，且，证明，使得．
证明：
将处展开为二阶泰勒公式，则
上式中令分别取得
上两式相减得
由于连续，所以存在，使得
故，使得．
[例2.2.26]设在上有三阶导数，且，证明在内至少有一点，使得．
证明：
将在处展开为二阶泰勒公式
即
上式中，令得
，
由于，所以．
评注：
涉及二阶及二阶以上导数的证明题通常要用泰勒公式完成．
四、方程根的讨论
Ⅰ证明方程在内至少有一个实根
对于此类型命题证明的一般思路有两条：
思路一：
①构造辅助函数（一般，将方程移项，一端为零，另一端全部为）；②找的一个子区间，使；③将在区间使用零点定理即可．
思路二：
①构造辅助函数（将方程移项，一端为零，则另一端的原函数为）；②找的一个子区间，使；③对在区间上使用罗尔定理，可得到所证结论
评注：
对此类题应先分析思路一，如思路一不能解决问题再用思路二．
[例2.2.27]已知函数在闭区间[0，1]上可导，且
证明存在，使得．
证明：
令，则在上连续，且，
又因为，所以根据极限的保号性定理可得存在，使得
，因此，
对在上使用零点定理可得，存在，使得，即
．
[例2.2.28]设常数满足条件，
证明方程在0与1之间至少有一个实根．
证明：
令，则
在上连续，在内可导，且，所以在0与1之间至少有一个点，使得
，即
所以方程在0与1之间至少有一个实根．
[例2.2.29]设在上连续，且不恒为零，在上可导，，且，证明
（Ⅰ）在内有零点；
（Ⅱ）若在内可导，则在内有零点．
证明：
（Ⅰ）令，则在上连续，在上可导，由拉格朗日中值定理可得在内至少存在一点，使得，即，所以在内有零点．
（Ⅱ）先证明在内至少有两个零点．假设只有一个不妨记为
则在区间上都不变号，所以由积分第一中值定理可得：
，其中，．
由于所以
从而
因此由可得，，而，所以．
对在以为端点的闭区间上使用罗尔定理可得，存在一点，使得
这与矛盾．
所以在内至少有两个零点，不妨假设是在内的零点，对在区间上使用罗尔定理可得：
在内有零点．
Ⅱ证明方程在内有唯一实根
对于此类型命题证明的一般思路：
①先利用零点定理或罗尔定理证明方程至少有一个实根；②用单调性或用反证法证明方程至多有一个实根．
[例2.2.30]设在上二次可微，且则方程在内只有一个实根．
证明：
将在点展开为一阶泰劳公式
由于，所以．因此存在使得．
由于在上连续，且，所以根据零点定理，可得在内至少有一个零点，即方程在内至少有一个实根．
又因为，所以函数在上单调递减，而，故，从而在上单调减少，因此方程在内至多有一个实根．
综上所述，方程在内只有一个实根．
[例2.2.31]设函数在闭区间上可微，对上的每一个点，函数的值都在开区间内，且，证明在开区间内有且仅有一个，使得．
证明：
（存在性）令，则在上连续，由于，所以
，由零点定理可得在区间内至少有一个使得，即．
（唯一性）若存在两个点，，使得，则由拉格朗日中值定理知，至少存在一点使得．这与的题设矛盾．
因此，在内有且仅有一点使得．
Ⅲ讨论或确定方程不同实根的个数
对于此类型题解题的一般思路：
①构造辅助函数（一般，将方程移项，一端为零，则另一端为）；②求函数的单调区间；③在每一个小区间上利用广义零点定理判定方程是否有根（如有则只有一个）．
[例2.2.32]方程在上实根的个数为
（A）（B）1（C）2（D）不少于3
解：
令，则，从而定义域内导数为零和导数不存在的点为，所以函数只有两个单调区间，分别为．
由于，所以根据广义零点定理及函数单调性可得函数在内各有一个零点，因此方程只有两个实根，故应选（C）．
[例2.2.33]设为常数，讨论方程的实根的个数，及每个根所在的范围．
解：
原方程等价于，令，则
的定义域为，又，所以定义域内为零和不存在的点为．
列表讨论如下：
0
2
由表及广义零点定理可见：
当时，方程有三个实根，分别在内；
当时，方程没有实根；
当时，方程有唯一实根；
当时，方程有唯一实根，在内；
当时，方程有两个实根，在内一个，另一个为．
Ⅳ已知方程不同实根个数确定方程中参数的取值范围
对于此类型题解题的一般思路：
①构造辅助函数（一般，将方程移项，一端为零，则另一端为）；②求函数的单调区间；③根据方程不同实根个数利用广义零点定理建立不等式或不等式组；④解不等式或不等式组即可．
[例2.2.34]当A在区间内取值时．方程
有四个不相等的实根．
解：
令，则
，所以是驻点．
列表讨论如下
2
由于方程有四个不同的实根，所以必须满足．
[例2.2.35]设当时，方程，只有一个解，求的取值范围．
解：
令则该函数定义域为，而
当时，，函数在时单减，因为，所以方程此时有唯一解；
当时定义域内和不存在的点为
当时，列表讨论如下
因为方程只有一个实根，由表及广义零点定理可得：
，即
综上或时，方程（），只有一个解．
五、不等式的证明
关于不等式的证明方法虽然很多，但主要有下列几种
法一：
利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式
此法解题的一般思路：
①对所证明的不等式变形，使其一端变为或者的形式；②若在①中其一端出现的形式，则对函数在区间上使用拉格朗日中值定理；若在①中其一端出现的形式，则对函数、在区间上使用柯西中值定理；③根据中值定理中得到的的关系式及的取值范围，推出所证不等式．
法二：
利用单调性证明不等式
此法解题的一般思路：
①构造辅助函数（一般方法是移项：
使不等式一端为零，另一端为所构造的辅助函数）；②利用单调性判定定理，判定在所讨论范围内的单调性；③求在所讨论范围的某个端点的函数值或极限值，从而推出不等式．
法三：
利用最大、最小值证明不等式
此法解题的一般思路：
①构造辅助函数（一般方法是移项，使不等式一端为零，另一端为所构造的辅助函数）；②求在所讨论范围上的最大值或最小值；③若在区间上的最大值为，则（）；若在区间上的最小值为，则（）．
法四：
利用泰勒公式证明不等式
此法解题的一般思路：
①将函数在适当的点展开成比的最高阶导数低一阶的泰勒公式；②根据已知条件所给的最高阶导数的取值范围，对展开式进行放缩．
评注：
上述这些方法在某些题中会交替使用，而且对某些题而言，证明方法也不是唯一的．
Ⅰ证明在区间上
此类型的不等式的证明一般用单调性来完成．
[例2.2.36]证明当时，有不等式．
证明：
令．
显然在时连续，且，所以在时单调增加．
又，所以当时，有，即当时，有不等式．
[例2.2.37]证明当时，．
证明：
由于，
令，则，
因此上单调增加，又因为，所以上成立，从而上单调增加，而，故，即
当时，．
评注：
利用单调性证明不等式时，常要比较与的大小，若不能直接判断它们的大小，此时可用二阶导数来判断．若还有困难，则用三阶导数来判断．
Ⅱ证明在区间上，
此类型的不等式的证明一般用最大值、最小值法完成
[例2.2.38]证明当．
证明：
令．则
，，
当时，；当时，所以为在区间上的最小值．
又因为，所以在
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