西安交通大学电介质物理姚熹张良莹课后习题答案第一章.doc
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第一章静电场中的电介质
1-1半径为a的球带电量为q，电荷密度正比于距球心的居里。
求空间的电位和电场分布。
解：
由题意可知，可设
再由于，代入可以求出常数
即所以
当时由高斯定理可知
；
当时由高斯定理可知
1-2电量为q的8个点电荷分别位于边长为a的立方体的各顶角。
求其对以下各点的电距：
（1）立方体中心；
（2）某一面的中心；（3）某一顶角；（4）某一棱的中点。
若8个点电荷中4个为正电荷、4个为负电荷，重新计算上述问题
解：
由电矩的定义
（一）八个电荷均为正电荷的情形
（1）立方体的在中心：
八个顶点相对于立方体中心的矢量和为，故
（2）某一面心：
该面的四个顶点到此面心的矢量和
，对面的四个顶点到此点的矢量和故；
（3）某一顶角：
其余的七个顶点到此顶点的矢量和为：
故；
（4）某一棱的中心；八个顶点到此点的矢量和为故；
（二）八个电荷中有四个正电荷和四个负电荷的情形与此类似；
1-3设正、负电荷q分别位于（0，0，/2）、（0，0，－/2），如图所示。
求场点P处电势计算的近似表达式，试计算在场点（0，0，），（0，0，）处电势的近似值，并与实际值比较
解：
P点的电势可以表示为：
==
其中,
取场点分别为P1（0,0,）P2（0,0,）
则对于P1点来说,
=
对于P2来说
==
多极展开项去前两项
=
其中=1，
把P1（r=）点和P2（r=）点代入上式可得
=
=
比较可得P1点，实际值近似值
P2点，实际值近似值
1-4分别绘出电偶极子、电四极子和电八极子的图形，并给出其相应的电偶
极子强度，电四极子强度，电八极子强度。
解：
参考课本P21图1-10
偶极子强度;四极子强度;八极子强度
1-5试证明位于（0，0，）的点偶极子（方向沿Z轴）在场点的的展开式为=
解：
点电荷的多极展开式为
=[+......]
对于正电荷+q来说=/2
=[+......]
对于负电荷-q来说=/2
=[+......]
=+......]
=+......]
=+...]
=
证毕
1-6
（1）试证明电偶极子（＝）在电场E中的转矩势能分别为：
；=-
（2）指出偶极子在电场中的平衡位置、稳态平衡位置。
（3）当和E的夹角从变到时，求电场力所做的功和偶极子的势能变
化。
解
（1）转矩
=
=2q=q=
势能W=-q=-q=-
（2）M=0,=0,平衡位置
=0,W=-E能量最低，稳态平衡
=,W=E能量最大，不稳定
（3）电场力做功，是减少因此d为负
A=
势能变化△W=W2-W1=
因此：
保守力做功等于势能增量的负值
A=-△W
1-7两个电偶极子、相距，讨论两偶极子间的相互作用能。
解：
先假定两个偶极子均与R成角，其他情形与此类似
W=-=▽
偶极子在处的电势为
=▽=
W=▽=
=
=
=
1-8什么是电介质的极化？
介质极化是由哪些因素决定的？
答案略
1-9什么叫退极化场？
试用极化强度P来表示一个介电常数的为的平板介质电容器的退极化场，宏观平均电场和极板上的重点电荷电场。
解：
极化电荷形成的电场来削弱自由电荷建立的电场为退极化电场
=
-=
1-10在均匀电场中放一个半径为a的导体球，求球的感应电荷在远场处的电
势及球内的电势、电场。
由此证明导体球的引入，对于远场来言相当于引入了一个电偶极子。
并求出导体球的极化率。
解：
导体球外▽2=0r>a
边界条件为：
（1）由于导体球为一个等势体因此r=a=
（2）=
有A1=-E0An=0（n）代入边界条件可知：
B0=aBn0（n）
-E0a+B1/a=0因此B1=
所以
如果导体球接地则从而有
所以极化电荷产生的电势，电场为
=-▽P
导体球的偶极矩为：
导体球的极化率为：
1-11试证明在电场中引入一偶极矩为的分子，则该分子具有的极化势能
为，其中为分子的极化率。
解：
假定分子固有偶极矩沿分子长轴取向
分子在电场感生偶极矩的长轴和短轴方向上的分量分别为
其中
=
=（）=（△）
分子的势能为固有偶极矩势能（-）和感生偶极矩（-）之和
1-12H2O分子可以看成是半径为R的离子与两个质子（）组成，如图所示，其中，间夹角为2，试证明分子偶极矩值为
=
解：
分子的固有偶极矩为：
由于O2-受到H++H+的作用，使之发生位移极化,使O2-的正负电荷中心发生位
移为x
原子核的库仑吸引力=-
2H+产生的电场力为：
由于=F
所以
此时的分子偶极矩为：
=
感生偶极矩为由于，
所以
总的偶极矩为=+
1-13在无限大电介质（）中有均匀电场，若在该介质中有一半径为a、介电常数为介质球，求球内外的电势、电场及介质球内电偶极矩。
讨论
介质球带来的影响，并将结果推广到：
（1）＝1
（2）＝1
解：
由题意可解得：
-▽
-▽=
（1）当时；空腔球
（2）当时；
1-14
（1）求沿轴向均匀极化的介质棒中点的退极化场，已知细棒的截面积为
，长度为，极化强度为P，如图（a）所示。
（2）一无限大的电介质平板，其极化强度为P，方向垂直于平板面。
求板
中点O处的退极化场。
已知板厚为d，如图（b）所示。
（3）求均匀极化的电介质球在球心的产生的退极化场。
已知球半径为r，
极化强度为P，如图（c）所示。
（4）从
（1）、
（2）、（3）的计算结果，可以给出什么样的结论（电介质
地退极化场的大小与电介质的纵、横线度的关系）？
解（a）有题意可知：
q=s=Ps
重点处的场强为：
由于存在因此
（b）由于
所以：
（c）
可见沿着极化方向，纵向尺度越大，横向尺度越小，退极化电场越弱；反之，纵向尺度越小，横向尺度越大，退极化电场越强。
1-15试证明，昂沙格有效电场也适用于非极性介质，即昂沙格有效电场概括了
洛伦兹有效电场。
解：
对于非极性电介质来说有即
（由于，）
再由于
所以：
这是昂沙格有效电场等于洛仑兹有效电场。
证毕
1-16为什么说克－莫方程师表征介质宏、微观参数的关系式。
由该方程可以看出，随材料密度的提高，将如何变化。
并给出克－莫佯谬；即当密度到一定值时；密度再提高时。
并论证这在实际情况中使不可能的。
解：
有克-莫方程
其中是宏观参数，为电介质微观粒子极化性质的微观极化参数；
故称克-莫方程为介质宏微观参数的关系式；
由摩尔极化表征：
由此式可得，当介质密度升高到，，则有
当介质密度升高到，>1，则有<0
对于电介质来说显然不可能为无穷大和为负值.
1-17已知CO2在T＝300K时，，，n=1.000185，求其固有的偶极矩。
解：
对于COT=300K时，=1.0076，n=1.000185,
n0=
光频时克-莫方程
对于极性气体来说，克-莫方程则为：
=29.410-30
所以：
1-18在某一种偶极子气体中，若每个偶极子的极化强度为1Debye，计算在室温下使此气体达到取向极化饱和值时所需要的电场。
解：
由题意可知
<>=再令<>=0.1%
则有
1-19（XO）H2C－CH2（OX）这类分子由两个理想基团“CH2OX”通过一个碳碳单
键“C－C”相连接。
已知每个分子基团“－CH2OX”的偶极矩为2.50Debye
，相对中间碳键成45o角。
在标准状态下对该气体实验测量表明为1.01
光学折射率为1.0005，试确定两个分子基团间的相对取向。
解：
由于
由
所以=117.7o
1-20已知He原子（单原子气体）的极化率为，计算在标准状态下，其介电常数及折射率n，并与实验数据，n＝1.000035相比较。
解：
对于非极性气体来说有：
其中，
所以与实验数据相符合
1-21试说明为什么TiO2晶体具有较高的
答案略
1-22试证明对非极性气体电介质，式中p为气体压力，T为气体的温度。
解：
由题意可知：
近似有
所以有当T不变时把对p求导可得：
>0
当p不变时把对T求导可得:
<0
1-23介电常数为的电介质充满整个空间，且其中存在均匀电场E0（见图（a））今在其中引入一个介电常数为的电介质球，图（b）（c）（d）为三种情况，其中线条为电力线，讨论三种情况下的介电常数与的关系及其相互作关系。
解：
由题意可知：
（b）内部电场大，球内电场对外产生向外
的斥力，退极化场与方向一致；
（c）退极化电场与方向相反，削弱
了原电场；
（d）E很小，当，相当与金属导体
球，球体对电场产生屏蔽。
1－24对于离子晶体，若两个离子间的斥力取波恩函数时，试证明一对正、
负离子的位移极化率为，其中Ro为两离子间的距离，n
为波恩函数中的常数。
答案略
1－25列举一些材料的极化类型以及在各种频率下所能发生的极化形式。
答案略
思考题
第一章
1－1什么是电介质的极化？
表征介质极化的宏观参数是什么？
答：
电介质在电场作用下，在介质内部感应出偶极矩、介质表面出现
束缚电荷的现象称为电介质的极化。
其宏观参数为介电常数。
1－2什么叫退极化电场？
如何用极化强度P表示一个相对介电常数为的
平行板介质电容器的退极化电场、平均宏观电场、电容器极板上充电
电荷所产生的电场。
答：
在电场作用下平板电介质电容器的介质表面上的束缚电荷所产
的、与外电场方向相反的电场，起削弱外电场的作用，所以称为
退极化电场。
退极化电场：
平均宏观电场：
充电电荷所产生的电场：
1－3氧离子的半径为，计算氧的电子位移极化率。
提示：
按公式，代入相应的数据进行计算。
1－4在标准状态下，氖的电子位移极化率为。
试求出氖的
相对介电常数。
解：
氖的相对介电常数：
单位体积的离子数：
N＝
而
所以：
1－5试写出洛伦兹有效电场表达式。
适合洛伦兹有效电场时，电介质的介
电常数和极化率有什么关系？
其介电常数的温度系数的关系式又如
何表示。
解：
洛伦兹有效场：
和的关系：
介电常数的温度系数为：
1－6若用表示球内极化粒子在球心所形成的电场，试表示洛伦兹有效电
场中＝0时的情况。
解：
＝0时，洛伦兹的有效场可以表示为
1－7试述K－M方程赖以成立的条件及其应用范围。
答：
克－莫方程赖以成立的条件：
其应用的范围：
体心立方、面心立方、氯化钠型以及金刚石结构
的晶体；非极性以及弱极性液体介质。
1－8有一介电常数为的球状介质，放在均匀电场E中。
假设介质的引入
不改变外电场的分布，试证：
解；按照洛伦兹有效电场模型可以得到：
在时
所以
1－9如何定义介电常数的温度系数？
写出介电常数的温度系数、电容量温
度系数的数学表达式。
答：
温度变化一度时，介电常数的相对变化率称为介电常数的温度
系数。
，
1－10列举一些介质材料的极化类型，以及举出在给中不同的频率下可能发
生的极化形式。
答：
如高铝瓷，其主要存在电子和离子的位移极化，而掺杂的金红石
和钛酸钙陶瓷却除了含有电子和离子地位移极化外，还存在电子和离
子的弛豫极化。
在光频区将会出现电子和离子的位移极化，在无线电
频率区可出现弛豫极化、偶极子的转向极化和空间电荷极化。
1－11什么是瞬间极化、缓慢式极化？
它们所对应的微观机制各代表什么？
答：
极化完成的时间在光频范围内的电子、离子的位移极化称为瞬时
极化。
而在无线电频率范围的弛豫极化、自发式极化都称作缓慢式极
化。
电子、离子的位移极化的极化完成时间非常短，在
范围内，当外电场在光频范围内时，极化能跟的上外电场的变化，不
会产生极化损耗。
而弛豫极化的完成所需要的时间比较长，当外电场
的频率比较高时，极化将跟不上外电场的频率变化，产生极化滞后的
现象，出现弛豫极化损耗。
1－12设一原子半径为的球体，电子绕原子核均匀分布，在外电场E作用
下，原子产生弹性位移极化，试求出其电子位移极化率。
答案参考课本简原子结构模型中关于电子位移极化率的推导方法。
1－13一平行板真空电容器，极板上的自由电荷密度为,现充以介电系数为
的介质。
若极板上的自由电荷面密度保持不变，则真空时：
平行板
电容器的场强E＝______，电位移D＝______，极化强度P______；充
以介质时：
平行板电容器的场强E＝______，电位移D＝______，极
化强度P______，极化电荷所产生的场强______。
解：
，，
，，
1－14为何要研究电介质中的有效电场？
有效电场指的是什么？
它由哪几部
分组成？
写出具体的数学表达式。
参考课本有效电场一节。
1－15氯化钠型离子晶体在电场作用下将发生电子、离子的位移极化。
试解
释温度对氯化钠型离子晶体的介电常数的影响。
解：
温度对介电常数的影响可以利用式：
对温度求导可得：
由上式可以看出，由于电介质密度的减少使得电子位移极化率以及离
子位移极化率所贡献的极化强度都减少，第一项为负值。
但是温度的
升高又使得离子晶体的弹性联系减弱，离子位移极化加强，也就是第
二项为正值。
然而第二项又与第一项相差不多。
所以氯化钠型离子晶
晶体的介电常数是随着温度的升高尔增加，但增加的非常缓慢。
1－16试用平板介质电容器的模型（串、并联形式），计算复合介质的介电
系数（包括双组分、多组分）。
解：
串联时：
，，
，
可得
同理可得并联时：
1－17双层介质在直流电场的作用下，其每一层电场在电压接通的瞬间、稳
态、电压断开的情形下是如何分布的？
作图表示（注意e、g的大小；
电场的方向）。
答案略
1－18一平行板真空电容器，极板上的电荷面密度为。
现
充以相对介电常数为的介质，若极板上的自由电荷密度保持不变
，计算真空和介质中的E、P、D给为多少？
束缚电荷产生的场强为多
少？
解：
真空时：
介质中：
1－19一平行板介质电容器，其板间距离，，介电系数＝
2，外界的恒压电源。
求电容器的电容量C；极板上的自由电荷q；
束缚电荷；极化强度P；总电矩；真空时的电场以及有效电场
。
解：
1－20边长为10mm、厚度为1mm的方形平板介质电容器，其电介质的相对
介电系数为2000，计算相应的电容量。
若电容器外接的电压，
计算：
（1）电介质中的电场；
（2）每个极板上的总电量；
（3）存储在介质电容器中的能量。
答案略
1－21通常可以给介质施加的最大电场（不发生击穿）为左右，试
分析在此情况下，室温时可否使用朗日凡函数的近似式。
答案略
1－22求出双层介质中不发生空间电荷极化的条件。
答案略
1－23下面给出极性介质的翁沙格有效电场表示式如下：
试证明：
上式已经包括了非极性介质的洛伦兹有效电场的形式。
答案略
22
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