高数各大学必考题.doc

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曲线积分与曲面积分习题详解

习题9-1

1计算下列对弧长的曲线积分：

（1），其中是抛物线上点到之间的一段弧；

解:

由于由方程

（）

给出，因此

.

（2），其中是圆中到之间的一段劣弧；

解:

的参数方程为：

，于是

．

（3），其中是顶点为及的三角形的边界；

解:

是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有

，

由于:

，，于是

，

故，

而,，于是

．

故

，

同理可知（），，则

．

综上所述．

（4），其中为圆周；

解直接化为定积分．的参数方程为

（）,

且

．

于是

．

（5），其中为折线段，这里,,,的坐标依次为,

解如图所示，

．

线段的参数方程为，则

，

故

．

线段的参数方程为，则

故

，

线段的参数方程为，则

，

故

所以

．

（6），其中为空间曲线.

解:

在平面的投影为：

，即，从而

.

利用椭圆的参数方程得的参数方程为

由于

.

则

.

2设一段曲线上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．

解依题意曲线的线密度为，故所求质量为，其中

．则的参数方程为

，

故

，

所以

．

3求八分之一球面的边界曲线的重心，设曲线的密度。

解设曲线在坐标平面内的弧段分别为、、，曲线的重心坐标为，则曲线的质量为．由对称性可得重心坐标

．

故所求重心坐标为．

4.计算半径为、中心角为的圆弧对于它的对称轴的转动惯量（设线密度）.

解:

如右图建立坐标系，则

.

为了便于计算，利用的参数方程

于是

习题9-2

1设为面内一直线（为常数），证明

。

证明：

设是直线上从点到点的一段，其参数方程可视为

，（），

于是

。

2计算下列对坐标的曲线积分：

（1），其中为上半椭圆，其方向为顺时针方向；

解

.

（2），其中为抛物线上从点到点的一段弧。

解将曲线的方程视为以为参数的参数方程，其中参数从变到。

因此

。

（3），其中是曲线从对应于时的点到时的点的一段弧；

解

的方程为，则有

．

的方程为，则

．

所以．

（4）是从点沿上半圆周到点的一段弧；

解

利用曲线的参数方程计算．的参数方程为:

，在起点处参数值取，在终点处参数值相应取0，故从到0．则

=．

（5），其中沿右半圆以点为起点，经过点到终点的路径；

解利用曲线的参数方程计算．的参数方程为:

，在起点处参数值取，在终点处参数值相应取，则

。

（6），其中是螺旋线：

,从到上的一段；

解

（7），其中为从点到点的直线段；

解直线的方程为

化成参数方程得

，，，从变到。

所以

。

（8），为椭圆周且从轴正方向看去，取顺时针方向。

解的参数方程为

，，，从变到，

。

3设轴与重力的方向一致，求质量为的质点从位置沿直线移到时重力所作的功。

解因为力

所以

。

4.设为曲线,,上相应于从变到的一段有向弧，把第二型曲线积分化成第一型曲线积分.

解，故，于是

，

，

，

所示

。

习题9-3

1当为面内的一个闭区域时,曲面积分与二重积分有什么关系?

答当为面内的一个闭区域时，在面上的投影就是，于是有

。

2．设光滑物质曲面的面密度为，试用第一型曲面积分表示这个曲面对于三个坐标轴的转动惯量，和.

解在曲面上点处取一微小面积（面积元素），它可看作是面密度为的质点，其质量为，它对于轴的转动惯量为

.

于是整个曲面对轴的转动惯量为

.

同理可知曲面对轴和轴的转动惯量分别为

，。

3计算曲面积分，其中是

（1）锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面；

解锥面与平面的交线为，即锥面在面上的投影区域为圆域。

而

，，

，

因此

。

（2）面上的直线段绕轴旋转一周所得到的旋转曲面。

解旋转曲面为，故

，

所以

，

其中是在坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，于是

。

4计算下列曲面积分:

（1），其中是左半球面,；

解.

（2）,其中是锥面被柱面所截得的有限部分；

解被截得的曲面在面上的投影区域是圆心在点直径为的圆域，即，由曲面的方程得，，，于是

。

（注：

这里要用到被积函数的奇偶性：

。

）

（3），其中是抛物面在面上方的部分：

；

解抛物面在面上方的部分在面上的投影为圆域,,故

.

（4），其中是上半球面,；

解上半球面在面上的投影为圆域,

故

.

.

（5），其中为平面在第一卦限的部分；

解将曲面的方程改写为，则

，从而

，

图9－12

在上的投影区域为,故

．

（6），其中是柱面被平面﹑所截得的部分.

解将曲面分成丙个曲面:

和，﹑在面上的投影区域都为,先算.由于

，

从而

，

.

同理可求得

.

所以

.

5求抛物面壳（）的质量，此壳的密度为。

解在抛物面壳（）上取一小块微小曲面,其质量整个抛物面壳的质量为.在面上的投影为圆域,,故

.

习题9-4

1当为面内的一个闭区域时,曲面积分与二重积分有什么关系?

答当为面内的一个闭区域时,的方程为。

若在面上的投影区域

为，那么

，

当取上侧时，上式右端取正号;当取下侧时，上式右端取负号。

2计算下列第二型曲面积分:

（1），其中是椭球面的的部分，取椭球面的外侧为正侧；

解当时，椭球面的方程是

于是

令，则

.

（2），其中是以坐标原点为中心，边长为2的立方体整个表面的外侧；

解把分成下面六个部分:

的上侧；

的下侧；

的前侧；

的后侧；

的右侧；

的左侧.

因为除﹑处,其余四片曲面在面上的投影都为零,故有

；

同理可得

；.

于是所求的曲面积分为

.

（3），其中为旋转抛物面介于之间部分的下侧；

解由两类曲面积分之间的联系，可得

，

在曲面上，有

。

故

。

再依对坐标的曲面积分的计算方法，得

。

注意到

，

故

。

（4），其中为，的上侧；

解在面上的投影为半圆域，，

=

==

由对称性=，=

∴原式==

（5），其中是由平面，，，所围成的四面体的表面的外侧。

解如右图所示，因为闭曲面取外侧，所以取下侧，取后侧，取左侧，取上侧。

于是

由于，和都是直角边为1的等腰直角三角形区域，故

。

3把对坐标的曲面积分

化成对面积的曲面积分，这里为平面在第一卦限的部分的上侧。

解平面的上侧的法向量为，其方向余弦是

于是

4.已知稳定流体速度，求单位时间内流过曲面的流量，法向量方向与轴正向是钝角.

解如右图所示，依题设，所求的流量为

其中积分曲面是有向曲面，取下侧。

由第二型曲面积分的计算方法可知

.

5.设是上半球面，≥，速度场为，是上的单位法向量，它与轴的夹角为锐角，试求曲面积分.

解容易求得法向量：

，又速度场为，故

.

这里.

习题9-5

1.利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:

（1）星形线（）；）

解

。

（2）圆，（）；

解设圆的参数方程为,从变到.那么

。

2利用格林公式计算下列曲线积分:

（1）,其中是圆,方向是顺时针方向；

解由格林公式，，于是

其中是圆域。

设，则

。

（2），其中是圆，方向是逆时针方向；

解设闭曲线所围成闭区域为，这里

，，，，

由格林公式，得

。

（3），其中是依次连接三点的折线段，方向是顺时针方向。

解令，，则，且线段，由1变化到-1，故有

．

其中为所围成的闭区域．

（4），其中为常数，为圆上从点到点的一段有向弧；

解如右图所示，设从点到点的有向直线段的方程为

，从变到。

则与曲线构成一闭曲线，设它所围成闭区域为，令

，，

，，

由格林公式，得

。

而

，

故

。

（5），其中，为圆周取逆时针方向，是沿的外法线方向导数。

解由于，其中是在曲线上点处的切线的方向角，故．根据两类曲线积分之间的联系及格林公式，有

．

因为为圆周，所以所围成的圆的面积，因此

。

3.计算曲线积分,其中为

（1）椭圆,取逆时针方向；

（2）平面内任一光滑的不经过坐标原点的简单正向闭曲线.

解

（1）令，，则当时，，

但积分曲线所围区域包含点，在该点不具有连续的偏导数，因此不能直接应用格林公式计算，需要将奇点去掉，为此作半径足够小的圆:

，使位于的内部，如图右所示．的参数方程为

，，，

取逆时针方向．于是

，

其中表示的负方向．由格林公式则有

，

其中为与所围成的闭区域．故

．

（2）分两种情况计算。

①闭曲线内部不包含坐标原点，设它所围成的闭区域为，那么由格林公式得

；

②闭曲线内部包含坐标原点，仿

（1）可得

.

4利用高斯公式计算下列曲面积分：

（1）,其中是由平面及三个坐标面围成的立方体的表面的内侧（）；

解由高斯公式，，于是

其中是由平面及三个坐标面围成的立方体区域。

则

。

（2），其中为柱面及平面及所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。

解这里，，，由高斯公式得

。

（3），其中为曲面及平面﹑所围成的空间区域的整个边界的外侧。

解这里，，，用高斯公式来计算，得

，

其中是曲面及平面所围成的空间闭区域．

（4），其中为锥面介于平面﹑之间的部分的下侧，﹑﹑是在点处的法向量的方向余弦。

解这里，，，由高斯公式得

。

5利用高斯公式计算三重积分

，

其中是由，，及所确定的空间闭区域。

解如下图所示，的边界由闭曲面

所围成，取的外侧。

令,那么由高斯公式得

。

在面上，只有和的投影面积不为零，其它都为零。

故

，

而

，

，

故

。

同理可得，。

所以

。

6利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：

（1），其中为平面与三个坐标面的交线，其正向为逆时针方向，与平面上侧的法向量之间符合右手规则；

解由斯托克斯公式得

其中是平面，取上侧。

由曲面积分的计算法，得

，

，

，

故

。

（2），其中为以点﹑﹑为顶点的三角形沿的方向。

解由斯托克斯公式得

其中是平面，取上侧。

由曲面积分的计算法，得

，

，

，

故

。

（3）其中为圆柱面与平面（）的交线，若从轴的正向望去,的方向是逆时针方向.

解如右图所示，平面上由曲线

所围成的区域记为，并由的方向确定的的

的方向是上侧（即的方向与的方向构成右手系）。

曲面（平面）的单位法向量为，即，由Stokes公式，有

。

习题9-6

1．求曲线积分，其中是圆的上半圆周，取顺时针方向.

解令，，则在整个面内恒成立，因此，曲线积分在整个面内与路线无关。

故可取沿轴上的线段（如右图所示）积分，即，于是，，有

.

2证明下列曲线积分在整个面内与路径无关，并计算积分值:

（1）；

解令，，则在整个面内恒成立，因此，曲线积分在整个面内与路径无关。

为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有

。

（2）；

解令，，则在整个面内恒成立，因此，在整个面内与路径无关。

为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有

。

（3），其中和为连续函数。

解令，，则在整个面内恒成立，因此，曲线积分在整个面内与路径无关。

为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有

。

3验证下列在整个面内为某一函数的全微分，并求出这样的一个：

（1）；

解令，

，

∴原式在全平面上为某一函数的全微分，取

，

==

（2）；

解因为，，所以在整个面内恒成立，因此，：

在整个面内，是某一函数的全微分，即有

。

于是就有

（4）

（5）

由（4）式得

（6）

将（6）式代入（5）式，得

（7）

比较（7）式两边，得

于是（其中是任意常数）

代入（6）式便得所求的函数为

。

（3）。

解令，，则在全平面上有

，满足全微分存在定理的条件，故在全平面上，

是全微分．

下面用三种方法来求原函数：

解法1运用曲线积分公式，为了计算简单，如图9－10所示，可取定点，动点与，于是原函数为

．

取路径:

，得

．

解法2从定义出发，设原函数为，则有，两边对积分（此时看作参数），得

（*）

待定函数作为对积分时的任意常数，上式两边对求偏导，又，于是

，

即，从而（为任意常数），代入（*）式，得原函数．

4可微函数应满足什么条件时，曲线积分

与路径无关？

解令，，则

，。

当，即或在整个面内恒成立时，曲线积分在整个面内与路径无关。

5.求函数使得

.

解由知，可令

，则

再令

，

则

从而

.

于是

。

习题9-7

1若球面上每一点的密度等于该点到球的某一定直径的距离的平方，求球面的质量。

）

解法1设球面方程为，定直径选在轴，依题意，球面上点的密度为，从而球面的质量为．由对称性可知

，

其中为上半球面，，，故

，

其中是在坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，于是得

=，

是一个无界函数的反常积分，按反常积分的计算方法可得

，

故

。

解法2设球面方程为，定直径在轴上，依题意得球面上点的密度为，从而得球面的质量为，由轮换对称性可知：

，故有

．

2设某流体的流速为，求单位时间内从圆柱：

（）的内部流向外侧的流量（通量）。

解通量

。

3求向量场的散度。

解这里，故

v。

4求向量场Aijk（为常数）沿有向闭曲线（从轴的正向看依逆时针方向）的环流量。

解设所求的环流量,则

其中的参数方程为

于是

。

总习题A

一、填空题

1．设为柱面与平面的交线，从轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分.（2011考研数学一）

2．设曲线为圆周,则．

3．设为任意一条分段光滑的闭曲线，则曲线积分．

4．设是以原点为球心,为半径的球面,则．

5．设为球面的下半部分的下侧,则曲面积分．

6．向量场

的旋度．

二、选择题

1．设是从原点沿折线至点的折线段,则曲线积分

等于（C）．

A．．B．．C．．D．．

2．若微分为全微分，则等于（B）．

A．．B．．C．．D．．

3．空间曲线的弧长等于（D）．

A．．B．．C．．D．．

4．设为上半球面，为在第一卦限的部分，则下列等式正确的是（D）．

A．．B．．

C．．D．．

5．设为球面的外侧，则积分等于（A）．

A．．B．．C．．D．．

三、计算题

1．计算其中为抛物线和直线所围成的闭曲线；

解　设，其中，，于是

　　。

2．计算,其中为右半圆以点为起点,点为终点的一段有向弧；

解法１设曲线的参数方程为

，其中从变到，

故

。

解法2作有向线段，其方程为

，其中从变到，

则有向曲线与有向线段构成一条分段光滑的有向闭曲线，设它所围成的闭区域为，由格林公式，有

，

即

，

而

，

故

。

3．计算,其中为平面在第一卦限中的部分；

解将曲面投影到面上，得投影区域为，此时曲面方程可表示为

，

于是

，

。

4.计算,其中是球面的上半部分并取外侧；

解作有向曲面，并取下侧，设两曲面和所围成的闭区域为，由高斯公式，得

。

5．验证：

在整个面内,是某一函数的全微分,并求出一个这样的函数.。

解因为,,所以在整个面内恒成立,因此,在整个面内,是某一函数的全微分,即有

.

于是就有

（1）

（2）

由

（1）式得

（3）

其中是以为自变量的一元函数，将（3）式代入

（2）式,得

（4）

比较（4）式两边,得

于是

（其中是任意常数）,

代入（3）式便得所求的函数为

.

四、计算曲线积分,其中为闭曲线，若从轴正向看去,取逆时针方向.

解曲线的参数方程为

从变到，

于是

。

五、计算曲面积分,其中是线段绕轴旋转一周所得的旋转曲面．

解的方程为

，

在面上的投影区域为，且

，

。

六、计算曲面积分,其中为上的抛物线绕轴旋转一周所得的旋转曲面介于和之间的部分的下侧．

解的方程为

，取下侧。

作有向曲面，并取上侧，设两曲面和所围成的闭区域为，由高斯公式，得

，

这里。

七、设一段锥面螺线上任一点处的线密度函数为,求它的质量．

解依题意，锥面螺线在点处的线密度函数为

，

故锥面螺线的质量为

。

八、设具有一阶连续导数,积分在右半平面内与路径无关,试求满足条件的函数．

解令，，依题意，有

，

即

，

故

，其中是任意常数。

再由条件可得，故为所求的函数。

九、设空间区闭域由曲面与平面围成,其中为正常数,记表面的外侧为,的体积为,证明：

．

证明这里，，，，由高斯公式得

。

另一方面，（或）在面上的投影区域为，故

，

所以

。

十、已知曲线的方程为，起点为，终点为，计算曲线积分.（2010考研数学一）

解设曲线，则。

于是

总习题B

一、填空题

1．设是的方程的上侧,则（2008考研数学一）

2．设的方程,则

3．设为正向圆周，则曲线积分的值为．

4．设是曲面介于和之间的部分,则曲面积分

的值为．

5．设是由锥面与半球面围成的空间闭区域,是的整个边界的外侧,则．

6．设,则矢量场通过曲面上半部分的流量．

二、计算题

1．设空间曲线为曲面与的交线，

（1）若曲线的线密度为，试计算曲线的质量;

解:

显然，曲线是空间圆，由曲线的方程消去，得到曲线在面上的捕风投影是椭圆，其参数方程为

其中。

故

（2）计算．

解:

同理可算得

，，

故。

2．计算,其中为椭圆,其周长为．

解:

。

3．计算,其中为正的常数,为从点沿曲线到点的弧．

解

.

4．计算曲面积分,其中是圆柱面介于平面与之间的部分.

解：

将分成两部分，即，，则,且和在面上的投影区域都为，于是

.

5．计算曲面积分,其中是球面的外侧．

解：

，再利用高斯公式可求得.

三﹑确定常数,使在右半平面上的向量

为某二元函数的梯度,并求．

解:

依题意，有

由，，得。

故

，由此可得.

四、计算,,其中为曲面的上侧．

解:

令则，于是，。

为了应用高斯公式，补充两个曲面

以原点为球心，1为半径的上半球面的下侧，

，介于圆和椭圆之间，取下侧，

在所围成的空间闭区域上应用高斯公