六年级下册数学讲义小学奥数精讲精练 第十三讲 两个计数原理无答案全国通用.docx

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六年级下册数学讲义小学奥数精讲精练第十三讲两个计数原理无答案全国通用

第十三讲两个计数原理

在日常生活和生产实践中要经常遇到排队、分组的有关计数问题。

例如，有

4名学生与1位老师排成一排照相，如果老师必须站在中间，问有多少种排法？

某条航线上共有6个航空站，这条航线上共有多少种不同的飞机票？

如果不同的两站间票价都不同，那么有多少种不同的票价？

这种计数问题都涉及到两个基本原理：

乘法原理和加法原理。

下面我们就来讨论这两个基本原理。

1．乘法原理

先看一个例子。

例1从甲地到乙地有2条路可走，乙地到丙地又有3条路可走。

问从甲地经乙地到丙地，可以有多少种不同的走法？

分析与解：

如果用a1，a2表示从甲地到乙地的两条路，用b1，b2，b3表示从乙地到丙地的三条路（图13－1）。

从图中可以看出，从甲地经乙地到丙地共有以下6种走法：

解这个问题可以分成两个步骤来考虑：

第一步，先从由甲地到乙地的两条路中任意选一条（有2种选法；第二步，再从乙地到丙地的三条路中任意选一条（有

3种选法），相互搭配后，共有六种不同走法，正好是每一步骤的选法种数（2与3）的乘积。

这个具体问题的解法，给了我们一个重要的启示：

如果撇开这里所说的“从甲地到乙地”，“从乙地到丙地”这些具体内容，而把它们一般地看成要完成一件事的两个步骤，并且把这里所说的“有2条路”，“有3条路”一般地说成“有

m1种方法”，有m2种方法”。

这样，就可以得到如下结论：

如果做一件事需要分两个步骤进行，做第一步有m1种不同方法，第二步有

m2种不同方法，那么完成这件事共有

N＝m1×m2种不同的方法。

更一般地，还可得出这样的结论：

如果做一件事需要分n个步骤进行，做第一步有m1种不同方法，做第二步有

m2种不同方法，……，做第n步有mn种不同方法，那么完成这件事共有

N＝m1×m2×…×mn种不同方法。

我们把上面这个结论叫做乘法原理。

例2一天中午，某学生食堂供应4种主食、6种副食。

小李到食堂吃饭，主、副食各选一种，问他有多少种不同的选法？

分析与解：

我们把一种主食与一种副食的搭配看成一种选法。

完成这件事可分两步进行：

第一步选主食，有4种方法：

第二步选副食，有6种方法，根据乘法原理，小李共有4×6＝24种不同的选法。

例3用1，2，3，4这四个数字

（l）可以组成多少个两位数？

（2）可以组成多少个没有重复数字的两位数？

分析与解：

（1）我们把组成1个两位数看成是在排好顺序的两个位置

上分别填上两个数字。

第一步可以从1，2，3，4这四个数中任选一个填在十位上，有4种不同的方法；第二步同样可以从1，2，3，4中任选一个填在个位上

（数字允许重复，例如，22也是符合条件的两位数），也有4种不同的方法。

根

据乘法原理，用1，2，3，4这四个数字可以组成

4×4＝16

个两位数。

它们是11，12，13，14

21，22，23，24，

31，32，33，34，

41，42，43，44。

（2）采用与例3

（1）相同的分析方法，第一步可以从1，2，3，4这四个数字中任选一个填在十位上，有4种不同方法；第二步。

由于数字不能重复，所以

只能从剩下的三个数字中任选一个填在个位上，有3种不同方法。

根据乘法原理，

用1，2，3，4这四个数字可以组成

4×3＝12

个没有重复数字的两位数。

2．加法原理

例4从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘轮船，还可以乘飞机。

在一天中，从甲地到乙地有4班火车，2班轮船，1班飞机。

那么在一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？

分析与解：

我们把乘坐不同班次的火车、轮船或飞机称为不同的走法。

因此，从甲地到乙地乘火车有4种走法，乘轮船有2种走法，乘飞机有1种走法。

由于每一种走法都能从甲地到达乙地，所以一天中从甲地到乙地共有

4＋2＋l＝7

种不同的走法。

同样，我们可以从这个问题的解答中得到启示，作出如下的一般结论：

如果完成一件事有n类办法，只在选择任何一类办法中的一种方法，这件事就可以完成。

又已知在第一类办法中有m1种不同方法，在第二类办法中有m2种不同方法，……，在第n类办法中有mn种不同方法，那么完成这件事共有

N＝m1＋m2＋…＋mn

种不同的方法。

我们称这一结论为加法原理。

例5书架上有6本故事书，5本画报，7本科普读物，

（l）小芳从书架上任取一本，有多少种不同取法？

（2）小芳从这三种书籍中各取一本，有多少种不同取法？

分析与解：

（l）小芳从书架上任取一本书有三类办法，第一类办法是从故事书中任取一本，可以有6种不同取法；第二类办法是从画报中任取一本，可以有5种

不同方法；第三类办法是从科普读物中任取一本，可以有7种不同方法。

根据加法原理，小芳任取一本共有

6＋5＋7＝18

种不同取法。

（2）小芳要取三本不同种类的书，完成这件事可以分三步进行。

第一步，取一本故事书，有6种方法；第二步，取一本画报，有5种方法；第三步，取一本

科普读物，有7种方法。

根据乘法原理，完成这件事共有

6×5×7＝210

种不同的方法。

例5说明，在这类计数问题中，要注意区分运用乘法原理与加法原理的不同条件。

在有些问题中，这两个基本原理还要结合起来使用。

例6如图13－2，从甲地到乙地有4条不同的道路，从乙地到丙地有两条不同的

道路，从甲地到丙地有3条不同的道路，问从甲地到丙地共有多少种不同走法？

分析与解：

完成从甲地到丙地这件事，有两类办法。

第一类办法是从甲地经乙地到达丙地，这类办法可以分两步进行：

第一步从甲地到乙地，有4种走法；第二步从乙地到丙地，有两种走法。

根据乘法原理，这类办法共有4×2＝8种不同方法。

第二类办法是从甲地直接到达丙地，有3种不同走法。

再根据加法原理，从甲地到达丙地共有

4×2＋3＝11

种不同走法。

3．例题分析

例7

（1）有5个人排成一排照相，有多少种排法？

（2）5个人排成一排照相，如果某人必须站在中间，有多少种排法？

分析与解：

（1）5个人排成一排，从左到右共5个位置。

第一个位置可从5个人

中任选1人，有5种选法；第二个位置只能从剩下的4人中任选1人，有4种选法。

同理，第三、第四、第五个位置分别有3种、2种、1种选法。

每个位置上站了一人就是一种排法。

根据乘法原理，共有

5×4×3×2×1＝120

种排法。

（2）这里，限定某人必须站在中间，他的位置固定了，而其余4人可以任意站位。

仿照

（1）中的分析可知共有

4×3×2×1＝24

种排法。

说明：

自然数1到n的连乘积叫做n的阶乘，用n！

表示。

例如5！

＝1×2×3×4

×5，4！

＝1×2×3×4。

于是，例7中的两个式子可简写作5！

＝120，4！

＝24。

例8某条航线上共有8个航空站，这条航线上共有多少种不同的飞机票？

如果不同的两站间票价都不同，那么有多少种不同的票价？

分析与解：

每一种飞机票可看作起点在前、终点在后两城市间的顺序排列。

第一步，确定起点城市，有8种选法；第二步确定终点城市，当起点选定后，终点只

有7种选法。

根据乘法原理，共有

8×7＝56

种不同的排列方法。

因此，这条航线上需要准备56种不同的飞机票。

由于两个城市按照起点在前、终点在后的顺序排列有2种，所以有两种飞机票。

而它们的票价是一样的。

因此，这条航线上应有56÷2＝28种不同的票价。

说明：

从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从n个不同的元素中取m个不同的元素的一个排列。

所有排列的种数叫做排列数。

例8中求飞机票种数问题，就是求从8个不同元素中，任取两个不同的元素的排列种数问题，一般可以运用乘法原理来求排列数。

例9用0，l，2，3这四个数，可以组成多少个没有重复数字的四位数？

解法一：

一个四位数可以看作是四个数字的一个排列。

由于“0”不能作千位数，所以千位数只能从1，2，3，这三个数中任取一个，有3种选法。

再考虑到没有重复数字这一条件，百位、十位、个位三个位置分别有3种、2种、1种选法。

根据乘法原理，可以组成

3×3×2×1＝18

个没有重复数字的四位数。

解法二：

如果把数字0，1，2，3全部取出来排列，根据乘法原理，共有

4×3×2×1＝24

种不同的排列。

其中“0”在千位上的排列（这种排列不能看成四位数）有

3×2×1＝6

种。

所以符合条件的四位数就是

24－6＝18（个）

例10现有红、黄、蓝三种颜色的小旗各一面，用它们挂在旗杆上作信号（顺序不同时表示的信号也不同），总共可以作出多少种不同信号？

分析与解：

作出的信号可以按照挂出的小旗面数分成三类：

（l）只有一面小旗作信号，这样作出的信号有3种；

（2）用二面小旗作信号，由乘法原理，作出的信号有3×2＝6种；

（3）用三面小旗作信号，由乘法原理，作出的信号有3×2×1＝6种。

根据加法原理，总共可以作出

3＋6＋6＝15种不同的信号。

习题十三

1．有6名同学参加象棋决赛，得冠军和亚军的名单有几种可能的情况？

2．一个口袋装有6个小球，另一个口袋装有5个小球，所有小球的颜色都不相同。

（1）从两个口袋中任取一个小球，有多少种不同的取法？

（2）从两个口袋中各取一个小球，有多少种不同的取法？

3．某市电话号码是五位数，每一数位上的数码可以是0，l，2，…8，9中的任意一个（数字可以重复出现，如00000也算一个电话号码）那么这个城市最多有多少个电话号码？

4．在“希望杯”足球赛中，共有27支小足球队参赛。

（l）如果这27个队进行单循环赛（两队间只比赛一次，称作一场），需要比赛多少场？

（2）如果这27个队进行淘汰赛，最后决出冠军，共需比赛多少场？

5．如上图，从A地到B地有两条路；从B地到D地有两条路；从A地到C地只有一条路；从C地到D地有3条路。

那么从A地到D地有多少种不同走法？

6．5件不同的商品陈列在橱窗内，排成一排。

（1）如果某件商品不放在中间，有几种不同排法？

（2）如果某件商品不能放在两端，有几种不同排法？

7．有四封不同的信，随意投入三个信筒里，有多少种不同投法？

8．下图中共有4×4＝16个小方格，要把A，B，C，D四个不同的棋子放在方格里，每行和每列只能出现一个棋子，共有多少种放法？