小学数学解题技巧大全Word文档格式.docx
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22
十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。
原式＝（30＋8）×
（30－8）
＝302－82＝836。
（8）88×
37
被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。
（9）36×
15
乘数是15的两位数相乘。
被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10；
是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。
＝54×
10＝540。
55×
（10）125×
101
三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。
125＋1＝126。
原式＝12625。
再如348×
101，因为348＋3＝351，
原式＝35148。
（11）84×
49
一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。
原式＝8400÷
2－84
＝4200－84＝4116。
（12）85×
99
两位数乘以9、99、999、…。
在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。
原式＝8500－85＝8415
不难看出这类题的积：
最高位上的两位数（或一位数），是被乘数与1的差；
最低位上的两位数，是100与被乘数的差；
中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。
设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a（a≠0），则
如果被乘数的个位数是1，例如
31×
999
在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。
71×
9999＝709999－70＝709929。
这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为（10a＋1）的形式，由9组成的自然数可表示为（10n－1）的形式，其积为
（10a＋1）（10n－1）＝10n＋1a＋（10n－1）－10a。
（13）1÷
这是一道颇为繁复的计算题。
原式＝0.052631578947368421。
根据“如果被除数不变，除数扩大（或缩小）若干倍，商反而缩小（或扩大）相同倍”和“商不变”性质，可很方便算出结果。
原式转化为0.1÷
1.9，把1.9看作2，计算程序：
（1）先用0.1÷
2＝0.05。
（2）把商向右移动一位，写到被除数里，继续除
如此除到循环为止。
仔细分析这个算式：
加号前面的0.05是0.1÷
2的商，后面的0.05×
0.1÷
1.9中0.05×
0.1＝0.005，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。
这样我们又可把除数看作2继续除，依此类推。
除数末位是9，都可用此法计算。
例如1÷
29，用0.1÷
3计算。
1÷
399，用0.1÷
40计算。
2.估算
数学素养与能力（含估算能力）的强弱，直接影响到人们的生活节奏和工作、学习、科研效率。
已经引起世界有关专家、学者的重视，是个亟待研究的课题。
美国数学督导委员会，提出的12种面向全体学生的基本数学能力中，第6种能力即估算：
“学生应会通过心算或使用各种估算技巧快速进行近似计算。
当解题或购物中需要计算时，估算可以用于考查合理性。
检验预测或作出决定……”
（1）最高位估算
只计算式中几个运算数字的最高位的结果，估算整个算式的值大概在什么范围。
例11137＋5044－3169
最高位之和1＋5－3＝3，结果在3000左右。
如果因为忽视小数点而算成560，依据“一个不等于零的数乘以真分数，积必小于被乘数”估算，错误立即暴露。
例351.9×
1.51
整体思考。
因为51.9≈50，
而50×
1.51≈50×
1.5＝75，
又51.9＞50，1.51＞1.5，
所以51.9×
1.51＞75。
另外9×
1＝9，
所以原式结果大致是75多一点，三位小数的末位数字是9。
例43279÷
79
把3279和79，看作3200和80。
准确商接近40，若相差较大，则是错的。
（2）最低位估算
例如，6403＋232＋1578
3＋2＋8＝13，原式和的末位必是3。
（3）规律估算
和大于每一个加数；
两个真分数（或纯小数）的和小于2；
一个真分数与一个带分数（或一个纯小数与一个带小数）的和大于这个带分数（或带小数），且小于这个带分数（或带小数）的整数部分与2的和；
两个带分数（或带小数）的和总是大于两个带分数（或带小数）整数部分的和，且小于这两个整数部分的和加上2；
奇数±
奇数＝偶数，偶数±
偶数＝偶数，奇数±
偶数＝奇数；
差总是小于被减数；
整数与带分数（或带小数）的差小于整数与带分数（或带小数）的整数部分的差；
带分数（或带小数），与整数的差大于带分数（或带小数）的整数部分与整数的差。
带分数（或带小数）与真分数（或纯小数）的差小于这个带分数（或带小数），且大于带分数（或带小数）减去1的差；
带分数与带分数（或带小数与带小数）的差小于被减数与减数的整数部分的差，且大于这个差减去1；
如果两个因数都小于1，则积小于任意一个因数；
若两个因数都大于1，则积大于任意一个因数；
带分数与带分数（或带小数与带小数）的积大于两个因数的整数部分的积，且小于这两个整数部分分别加1后相乘的积；
例如，
A＜AB＜B。
奇数×
偶数＝偶数，偶数×
偶数＝偶数；
若除数＜1，则商＞被除数；
若除数＞1，则商＜被除数；
若被除数＞除数，则商＞1；
若被除数＜除数，则商＜1。
（4）位数估算
整数减去小数，差的小数位数等于减数的小数位数；
例如，320－0.68，差为两位小数。
最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数，等于这两个数的位数和；
例如，451×
7103
最高位的积4×
7＝28，满10，结果是3＋4＝7（位数）。
在整除的情况下，被除数的前几位不够除，商的位数等于被除数的位数减去除数的位数；
例如，147342÷
27
14不够27除，商是4－2＝2（位数）。
被除数的前几位够除，商的位数等于被除数的位数与除数位数的差加上1。
例如，30226÷
238
302够238除，商是5－3＋1＝3（位数）。
（5）取整估算
把接近整数或整十、整百、……的数，看作整数，或整十、整百…的数估算。
如1.98＋0.97≈2＋1，和定小于3。
12×
8.5≈10×
10，积接近100。
3.并项式
应用交换律、结合律，把能凑整的数先并起来或去括号。
例13.34＋12.96＋6.66
＝12.96＋（3.34＋6.66）
＝12.96＋10＝22.96
＝3－3＝0
例315.74－（8.52＋3.74）
＝15.74－3.74－8.52
＝12－8.52＝3.48
例41600÷
（400÷
7）
＝1600÷
400×
7
＝4×
＝28
4.提取式
根据乘法分配律，可逆联想。
＝（3.25＋6.75）×
0.4＝10×
0.4
＝4
5.合乘式
＝87.5×
10×
1＝875
＝8－7＝1
6.扩缩式
例11.6×
16＋0.4×
36
＝0.4×
（64＋36）
100＝40
例216×
45
7.分解式
例如，14×
72＋42×
76
＝14×
3×
24＋42×
＝42×
（24＋76）
100＝4200
8.约分式
＝3×
7×
2＝42
例2169÷
4÷
28÷
13
=1988
例71988198********8÷
198********91989被除数与除数，分别除
9.拆分式
10.拆积式
例如，32×
1.25×
25
＝8×
（4×
25）
＝10×
100＝1000
11.换和式
例10.1257×
8
＝（0.125＋0.0007）×
＝1＋0.0056＝1.0056
例48.37－5.68
＝（8.37＋0.32）－（5.68＋0.32）
＝8.69－6＝2.69
12.换差式
13.换乘式
例1123＋234＋345＋456＋567＋678
＝（123＋678）×
3
＝801×
3＝2403
例2（6.72＋6.72＋6.72＋6.72）×
＝6.72×
25）＝672
例345000÷
8÷
125
＝45000÷
（8×
125）
1000＝45
例49.728÷
3.2÷
＝9.728÷
（0.8×
4×
80
＝0.9728÷
8＝0.1216
例533333×
33333
＝11111×
99999
（100000－1）
＝1111100000－11111
＝1111088889
综合应用，例如
＝1000＋7＝1007
＝（11.75＋1.25－4.15－0.85）×
125.25（转）
＝[（11.75＋1.25）－（4.15＋0.85）]×
125.25（合）
＝8×
125.25
（125＋0.25）（拆）
125＋8×
0.25＝1002
14.换除式
例如，5600÷
（25×
＝5600÷
7÷
＝800÷
25＝32
15.直接除
17.以乘代加
例17＋4＋5＋2＋3＋6
＝9×
3＝27
如果两个分数的分子相同，且等于分母之和（或差），那么这两个分数的和（或差）等于它们的积。
18.以乘代减
知，两个分数的分子都是1，分母是连续自然数，其差等于其积。
可见，各分数的分子都是1。
第一个减数的分母等于被减数的分母加1。
第二个减数的分母等于被减数的分母与第一个减数的分母的积加1，第n个减数的分母等于被减数的分母与第一、二、……第n-1个减数的分母的连乘积加上1。
（n为不小于2的自然数）其差等于其积
19.以加代乘
一个整数与一个整数部分和分子都是1，分母比整数（另个乘数）小1
20.以除代乘
例如，25×
123678448
＝123678448×
（100÷
4）
＝12367844800÷
4
＝3091961200
21.以减代除
＝1986－662＝1324
3510÷
＝（3510－1170）÷
10＝234
22.以乘代除
例如，2.7÷
24÷
23.以除代除
观察其特点，
24.并数凑整
例如，372＋499
＝372＋500－1＝871
56.7－12.8
＝56.7－13＋0.2＝43.9
25.拆数凑整
例如，476＋302
＝476＋300＋2＝778
9.42－3.1
＝9.42－3－0.1＝6.32
26.加分数凑整
应用“被减数、减数同时增加或减少相同的数，其差不变”的性质，使原来减去一个带分数或带小数，变成减去整数。
例38.37-5.68
=（8.37+0.32）-（5.68+0.32）
=8.69-6=2.69
30.凑公因数
例如，1992×
27.5＋1982×
72.5
＝1992×
27.5＋（1992-10）×
27.5＋1992×
72.5-10×
（27.5＋72.5）-725
=199200-725=198475
或原式=（1982＋10）×
……
31.和差积法
32.直接写得数
观察整数和分数部分，显然原式=3。
33.变数为式
34.分解再组合
例如，（1＋2＋3＋…＋99）＋（4＋8＋12＋…＋396）
＝（1＋2＋3＋…＋99）＋4（1+2+3＋…＋99）
＝5（1＋2+3＋…＋99）
35.先分解再通分
有的学生通分时用短除法，找了许多数试除都不行，而断定57和76为互质数。
判断两个数是否互质，不必用2、3、5、……逐个试除。
把其中一个分解质因数，看另一个数能否被这里的某个质因数整除即可。
57＝3×
19，如果57和76有公有的质因数，只可能是3或19。
用3、19试除，
[57，76]＝19×
4＝228。
26＝2×
13，65和91是13的倍数。
最小公分母为
13×
2×
5×
7＝910。
37.巧用分解质因数
教材中讲分解质因数，主要是为了求几个数的最大公约数和最小公倍数，给通分和约分打基础。
其实，分解质因数在解题中很有用处。
提供新解法，启迪创造思维。
例1184×
75
原式＝2×
46×
5
=46×
（2×
5）2
=138×
100=13800。
38.“1、1”法
一个整数减去一个带分数，可用这个整数减去比减数的整数部分多1的数，再从1中减去分数部分。
为便于记忆，称“1、1”法。
39.“1，9，9…10”法
一个整数减去一个小数（末位不为0），可先减去比小数高位多1的数，再从9中减去其它位数，最后从10中减去末位数。
40.改变运算顺序
例1650×
74÷
65
＝（650÷
65）×
74
＝10×
74＝740
例2176×
98÷
＝176×
（98÷
49）
2＝352
例37÷
13×
52÷
例4102×
99－0.125×
99×
＝102×
99－1×
＝99×
（l00＋１）
＝9900＋99＝9999
41.用数据
熟记一些特殊数据，可使计算简捷、迅速。
例1由37×
3＝111
知37×
6＝111×
2＝222
37×
15＝37×
5＝555
例31000以内（不包括整十、整百）只含因数2或5的2、4、8、16、32、64、128、256、512；
5、25、125、625。
这些数作分母的分数才能化成有限小数，不需试除。
例4特殊分数化小数
分母是5、20、25、50的最简分数，在化为小数时，把分子相应地扩大2、5、4、2倍，再缩小10、100倍。
分母是8的最简分数，分子是1、3，小数的第一位也是1、3。
分母是9的最简分数，循环节的数字和分子的数字相同。
例51～9π
1×
3.14＝3.146×
3.14＝18.84
2×
3.14＝6.287×
3.14＝21.98
3×
3.14＝9.428×
3.14＝25.12
4×
3.14＝12.569×
3.14＝28.26
5×
3.14＝15.7
熟记这些数值，可口算。
3.14×
13=10π+3π=40.82
89=90π-π
=282.6-3.14=279.46
π×
1.58
变为整数，三位数前面补0改为四位数，
这样不会把数位搞错，将结果左端的0去掉，点上小数点得4.9612。
也可从高位算起。
42.想特殊性
仔细审题，知第二个括号里的结果为0，此题得0。
所以可直接得0。
例3（1.9-1.9×
0.9）÷
（3.8－2.8）
除数为1，则商就是被除数。
43.想变式
44.用规律
例1682＋702
两个连续奇（偶）数的平方和，等于这两个数之积的2倍加4的和。
原式＝68×
70×
2＋4
＝9520＋4＝9524。
例2522－512＝52＋51＝103
两个连续自然数的平方差，等于这两个数的和。
例318×
19＋20
任意三个连续自然数，最小数与中间数的乘积加上最大数的和，等于最大数与中间数的乘积减去最小数。
原式＝20×
19－18＝362。
例416×
17－15×
18
四个连续自然数，中间两个的积比首尾两个的积多2。
原式＝2。
设任意四个连续自然数分别为a－1、a、a＋1、a＋2，
则a（a＋1）－（a－1）（a＋2）
＝a2+a-a2-a＋2＝2。
例5一个从第一位开始有规律循环的多位数（包括整数部分是0的纯循环小数），乘以一个与其循环节位数相同的数，其规律适用于一些题的简算。
ABAB×
CD＝（AB×
100＋AB）×
CD
＝AB×
100×
CD＋AB×
＝（CD×
100＋CD）×
AB
＝CDCD×
如：
125×
1616×
78
＝125×
7878×
16
＝（125×
8）×
（5×
2）×
7878
＝78780000
45.基础题法
在基础题上深化。
例如，
观察
（1）的解题过程，
逆用各步的结构特点，
46.巧归纳
例如，1＋2＋…＋100＋99＋…＋1
1～100的和为5050，再加一倍为10100，减去多加的100为10000。
但速度太慢。
有相同的行数和列数，用点或圈列成正方形的数，叫作正方形数。
由图知
1＋2＋3＋2+1＝32，
1＋2＋3＋4+5＋4+3＋2＋1＝52。
不难发现，和为最大加数的平方。
显然，
5＋6＋…＋29＋30＋29＋…＋6＋5
＝302－42-4
＝900－16－4＝880。
【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题
（一）
1.想数码
例如，1989年“从小爱数学”邀请赛试题6：
两个四位数相加，第一个四位数的每一个数码都不小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置。
某同学的答数是16246。
试问该同学的答数正确吗？
（如果正确，请你写出这个四位数；
如果不正确，请说明理由）。
思路一：
易知两个四位数的四个数码之和相等，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，这两个四位数相加的和必为偶数。
相应位数两数码之和，个、十、百、千位分别是17、13、11、15。
所以该同学的加法做错了。
正确答案是
思路二：
每个数码都不小于5，百位上两数码之和的11只有一种拆法5＋6，另一个5只可能与8组成13，6只可能与9组成15。
这样个位上的两个数码，8＋9＝16是不可能的。
不要把“数码调换了位置”误解为“数码顺序颠倒了位置。
”
2.尾数法
例1比较1222×
1222和1221×
1223的大小。
由两式的尾数2×
2＝4，1×
3＝3，且4＞3。
知1222×
1222＞1221×
1223
例2二数和是382，甲数的末位数是8，若将8去掉，两数相同。
求这两个数。
由题意知两数的尾数和是12，乙数的末位和甲数的十位数字都是4。
由两数十位数字之和是8－1＝7，知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。
甲数是348，乙数是34。
例3请将下式中的字母换成适当的数字，使算式成立。
由3和a5乘积的尾数是1，知a5只能是7；
由3和a4乘积的尾数是7－2＝5，知a4是5；
……不难推出原式为
142
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