变式训练2 为选拔运动员参加比赛，测得7名选手的身高（单位：
cm），其茎叶图分布为：
记录的平均身高为177cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数字记为x，那么x的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
例3 甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽测10个，它们的尺寸（单位：
mm）分别为：
甲：
10。
2 10。
1 10。
9 8。
9 9。
9 10。
3 9。
7 10
9．9 10。
1
乙：
10。
3 10。
4 9。
6 9。
9 10。
1 10 9。
8 9。
7
10．2 10
分别计算上面两个样本的平均数与标准差．如果图纸上的设计尺寸为10mm，从计算结果看，用哪台机床加工这种零件较合适．
变式训练3 某班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：
求全班的平均成绩和标准差．
A级
1．现从80件产品中随机抽出10件进行质量检验，下面说法正确的是（ ）
A．80件产品是总体B．10件产品是样本
C．样本容量是80D．样本容量是10
2．期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M∶N的值为（ ）
A。
B．1C。
D．2
3．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11。
5，15。
5），2；[15。
5，19。
5），4；[19。
5，23。
5），9；[23。
5，27。
5），18；[27。
5，31。
5），11；[31。
5，35。
5），12；[35。
5，39。
5），7；[39。
5，43。
5），3；根据样本的频率分布估计，大于或等于31。
5的数据约占（ ）
A。
B。
C。
D。
4．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为（ ）
A．32B．0。
2C．40D．0。
25
5．已知一组数据4。
7，4。
8，5。
1，5。
4，5。
5，则该组数据的方差是________．
6．若6个数的标准差为2，平均数为1，则此六数的平方和为________．
7．一组数据的方差为s2，将这组数据中的每个数据都扩大2倍，所得一组新数据的方差为________．
B级
8．根据甲、乙两名篮球运动员某赛季9场比赛得分的茎叶图，可知（ ）
A。
甲运动员的成绩好，乙运动员发挥稳定
B．乙运动员的成绩好，甲运动员发挥稳定
C．甲运动员的成绩好，且发挥更稳定
D．乙运动员的成绩好，且发挥更稳定
9．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：
小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17。
5，30]，样本数据分组为[17。
5，20），[20，22。
5），[22。
5，25），[25，27。
5），[27。
5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22。
5小时的人数是（ ）
A．56B．60C．120D．140
10．将容量为n的样本中的数据分为6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和为27，则n＝______．
11．从甲、乙两个班中各随机选出15名同学进行随堂测验，成绩的茎叶图如图所示，则甲、乙两班的最高成绩分别是______，______．从图中看，________班的平均成绩较高．
12．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．（从小到大排列）
13．某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：
甲：
102，101，99，98，103，98，99；
乙：
110，115，90，85，75，115，110。
（1）这种抽样方法是哪一种？
（2）将两组数据用茎叶图表示；
（3）将两组数据进行比较，说明哪个车间产品较稳定．
14．甲乙两位同学进行投篮比赛，每人玩5局．每局在指定线外投篮，若第一次不进，再投第二次，依此类推，但最多只能投6次．当投进时，该局结束，并记下投篮次数．当6投不进，该局也结束，记为“×”．当第一次投进得6分，第二次投进得5分，第三次投进得4分，依此类推．第6次不投进，得0分．两人投篮情况如下：
第1局
第2局
第3局
第4局
第5局
甲
5次
×
4次
5次
1次
乙
×
2次
4次
2次
×
请通过计算，判断哪个投篮的水平高？
专题3 数据的数字特征 用样本估计总体
典型例题
例1 解
（1）频率分布表如下：
分组
频数
频率
[1。
30，1。
34）
4
0。
04
[1。
34，1。
38）
25
0。
25
[1。
38，1。
42）
30
0。
30
[1。
42，1。
46）
29
0。
29
[1。
46，1。
50）
10
0。
10
[1。
50，1。
54]
2
0。
02
合计
100
1。
00
频率分布直方图如图所示．
（2）纤度落在[1。
38，1。
50）的可能性即为纤度落在[1。
38，1。
50）的频率，即为0。
3＋0。
29＋0。
10＝0。
69＝69%。
纤度小于1。
42的可能性即为纤度小于1。
42的频率，即为0。
04＋0。
25＋0。
30＝0。
59＝59%。
变式训练1 25
解析 60～70的频率为0。
04×10＝0。
4，设容量为x，则＝0。
4，所以x＝100，所以70～90之间的人数为100×（0。
015＋0。
01）×10＝25。
例2 C [从茎叶图可知，甲五次成绩中一次茎为8，一次茎为9，而乙五次成绩中，茎8和茎9各两次，故可知x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定．]
变式训练2 D [由茎叶图可知＝7，解得x＝8。
]
例3 解 甲＝（10。
2＋10。
1＋10。
9＋8。
9＋9。
9＋10。
3＋9。
7＋10＋9。
9＋10。
1）＝10（mm）。
乙＝（10。
3＋10。
4＋9。
6＋9。
9＋10。
1＋10＋9。
8＋9。
7＋10。
2＋10）＝10（mm）．s甲＝
＝＝0。
477（mm）．
s乙＝
＝＝0。
245（mm）．
∵甲＝乙＝10，s甲>s乙，∴乙比甲稳定，用乙较合适．
变式训练3 解 设第一组20名学生的成绩为xi（i＝1，2，…，20），第二组20名学生的成绩为yi（i＝1，2，…，20），依题意有：
＝（x1＋x2＋…＋x20）＝90，＝（y1＋y2＋…＋y20）＝80，
故全班平均成绩为：
＝（x1＋x2＋…＋x20＋y1＋y2＋…＋y20）
＝（90×20＋80×20）＝85；
又设第一组学生成绩的标准差为s1，第二组学生成绩的标准差为s2，则s＝（x＋x＋…＋x－202），
s＝（y＋y＋…＋y－202），
（此处，＝90，＝80），又设全班40名学生的标准差为s，平均成绩为（＝85），
故有s2＝（x＋x＋…＋x＋y＋y＋…＋y－402）
＝（20s＋20s＋202＋202－402）
＝（62＋42＋902＋802－2×852）＝51。
所以s＝。
强化提高
1．D [本题考查的对象是80件产品的质量，故总体是80件产品的质量；个体是1件产品的质量；样本是所抽取的10件产品的质量，故样本容量是10。
故选D。
]
2．B [∵N＝＝M，∴M∶N＝1。
]
3．B [根据所给的数据的分组和各组的频数知道，大于或等于31。
5的数据有[31。
5，35。
5），12；[35。
5，39。
5），7；[39。
5，43。
5），3，可以得到共有12＋7＋3＝22，∵本组数据共有66个，
∴大于或等于31。
5的数据约占＝，故选B。
]
4．A [频率等于长方形的面积，所有长方形的面积和等于1，设中间长方形的面积等于S，则S＝（1－S），S＝，设中间一组的频数为x，则＝，得x＝32。
]
5．0。
1
解析 ＝＝5。
1，则方差s2＝[（4。
7－5。
1）2＋（4。
8－5。
1）2＋（5。
1－5。
1）2＋（5。
4－5。
1）2＋（5。
5－5。
1）2]＝0。
1。
6．30
解析 由s＝
＝＋x＋…＋x）－\o（x,\s\up6（－））2），
即2＝＋x＋…＋x）－1），
得x＋x＋…＋x＝30。
7．4s2
解析 根据题意可得，因为方差公式
s2＝，
所以，s2＝＝4s2。
8．C [由茎叶图可知，甲运动员的得分大部分集中在14～18分之间，而乙运动员的得分相对比较散且在低分区的较多，故甲篮球运动员比赛得分更稳定，甲运动员的成绩好．]
9．D [设所求人数为N，则N＝2。
5×（0。
16＋0。
08＋0。
04）×200＝140，故选D。
]
10．60
解析 由已知，得×n＝27，即×n＝27，解得n＝60。
11．96 92 乙
解析 由茎叶图可知，甲班的最高分是96，乙班的最高分是92。
甲班的成绩集中在（60，80）内，乙班的成绩集中在（70，90）内，故乙班的平均成绩较高．
12．1，1，3，3
解析 假设这组数据按从小到大的顺序排列为x1，x2，x3，x4，
则
∴
又s＝
＝
＝＝1，
∴（x1－2）2＋（x2－2）2＝2，
同理可求得（x3－2）2＋（x4－2）2＝2，
由x1，x2，x3，x4均为正整数，且（x1，x2），（x3，x4）均为圆（x－2）2＋（y－2）2＝2上的点，
分析知x1，x2，x3，x4应为1，1，3，3。
13．解
（1）根据系统抽样的定义可知，每隔30分钟抽取一包产品，抽取的时间间隔相同，满足系统抽样的定义，
∴这种抽样方法是系统抽样．
（2）将两组数据用茎叶图表示如图：
（3）甲的平均数为（102＋101＋99＋98＋103＋98＋99）＝100。
乙的平均数为（110＋115＋90＋85＋75＋115＋110）＝100。
由茎叶图中的数据可知甲的成绩主要集中在90和100附近，乙的成绩比较分散，∴甲比乙稳定．
14．解 依题意，甲乙得分情况如下表：
第1局
第2局
第3局
第4局
第5局
甲
2
0
3
2
6
乙
0
5
3
5
0
因为甲得分平均数＝2。
6，乙得分平均数＝2。
6，甲得分的标准差≈1。
96，乙得分的标准差≈2。
24，所以，甲得分平均数＝乙得分平均数，甲得分的标准差<乙得分的标准差，故甲投篮的水平高．
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