2≤a≤2+2．
22
（3）（2017年苏北四市一模）已知A、B是圆C:
x2+y2=1上的动点，AB=3，P是圆
C:
（x-3）2+（y-4）2
=1上的动点，则PA+PB的取值范围是．[7,13]
1
略解：
取AB的中点M，则C1M=
2
1
，所以M在以C1圆心，半径为
2
的圆上，且
PA+PB=2PM，转化为两圆上动点的距离的最值．
（4）若对任意α∈R，直线l：
xcosα＋ysinα＝2sin（α＋π）＋4与圆C：
（x－m）2＋（y－3m）2
6
＝1均无公共点，则实数m的取值范围是．（-1,5）
22
略解：
直线l的方程为：
（x-1）cosα＋（y-3）sinα＝4，M（1,3）到l距离为4，所以l是
以M为圆心半径为4的定圆的切线系，转化为圆M与圆C内含．
00
注：
直线l：
（x-x0）cosα＋（y-y0）sinα＝R为圆M：
（x-x）2+（x-y）2=R2的切线系．
例2（2017年南通市一模）在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为．
解：
法一（标解）：
设BC的中点为M（x,y），
因为OB2=OM2+BM2=OM2+AM2，y
所以4=x2+y2+（x-1）2+（y-1）2，BM
C
22
化简得⎛x-1⎫
+⎛y-1⎫
=3，A
ç2⎪ç
2⎪2
⎝⎭⎝⎭
x
所以点M的轨迹是以⎛11⎫为圆心，32为半径的
2
⎝⎭
⎡6-
圆，所以AM的取值范围是
2
2，6+
2⎤，所
⎢22⎥例2
⎣⎦
以BC的取值范围是⎡6-
2，6+
2⎤．
⎣⎦
法二：
以AB、AC为邻边作矩形BACN，则BC＝AN，由矩形的几何性质（矩形所在平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方
和相等），有OB2+OC2=OA2+ON2，所以ON＝6，
故N在以O为圆心，半径为6的圆上，所以BC的取值范围是⎡6-
2，6+
2⎤．
⎣⎦
变式1（2014年常州高三期末卷）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:
x2+y2=16，点
P（1,2），M、N为圆O上两个不同的点，且PM⋅PN=0，若PQ=PM+PN，则PQ的
最小值为．33-5y
2222
变式2已知圆C1：
x+y
=9，圆C2：
x+y
=4，定点A
P（1,0），动点A,B分别在圆C1和圆C2上，满足∠APB=90，
则线段AB的取值范围．[23-1,23+1]
B
OPx
变式3已知向量a、b、c满足a=3,b=2,c=1,（a-c）⋅（b-c）=0，则a-b范围
为．[23-1,23+1]
策略二动点P对两定点A、B张角是900（k
PA⋅kPB
=-1，或PA⋅PB=0）确定隐形圆
例3
（1）（2014年北京卷）已知圆C：
（x-3）2+（y-4）2=1和两点A（-m,0），B（m,0），
若圆上存在点P，使得∠APB=90，则m的取值范围是．[4,6]
略解：
由已知以AB为直径的圆与圆C有公共点．
（2）（海安2016届高三上期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（−1，0），
Q（2，1），直线l：
ax+by+c=0其中实数a，b，c成等差数列，若点P在直线l上的射影为H，则线段QH的取值范围是．[2,32]
解：
由题意，圆心C（1，－2）在直线ax＋by＋c＝0上，可得a－2b＋c＝0，即c＝2b－a．
直线l：
（2a－b）x＋（2b－c）y＋（2c－a）＝0，即a（2x＋y－3）＋b（4－x）＝0，
⎧2x+y-3=0,
由⎨
⎩4-x=0
，可得x＝4，y＝－5，即直线过定点M（4，－5），
由题意，H在以PM为直径的圆上，圆心为A（5，2），方程为（x－5）2＋（y－2）2＝50，
∵|CA|＝42，∴CH最小为52－42＝2，CH最大为42＋52＝92，
∴线段CH长度的取值范围是[2，92]．
（3）（通州区2017届高三下开学初检测）设m∈R，直线l1：
x+my=0与直线
l2：
mx-y-2m-4=0交于点P（x0,y0），则x0
2+y2
+2x0
的取值范围
0
是．[12-410,12+410]
略解：
l1过定点O（0，0），l2过定点A（2，-4），则P在以OA为直径的圆上（除去一点），变式（2017年南京二模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：
kx－y＋2＝0与
直线l2：
x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距
离的最大值为．32
策略三两定点A、B，动点P满足PA⋅PB=λ确定隐形圆
例4
（1）（2017年南通密卷3）已知点A（2,3），点B（6,-3）
，点P在直线3x-4y+3=0上，
若满足等式AP⋅BP+2λ=0的点P有两个，则实数λ的取值范围是．
解：
设P（x，y），则AP=（x-2,y-3），BP=（x-6,y+3），
根据AP⋅BP+2λ=0，有（x-4）2+y2=13-2λ⎛λ<13⎫.由题意
ç2⎪
⎝⎭
圆：
（x-4）2+y2=13-2λ⎛λ<13⎫圆与直线3x-4y+3=0相交，
ç2⎪
⎝⎭
3⋅4-4⋅0+3
圆心到直线的距离d==3<
32+42
13-2λ，所以λ<2.
（2）（2016年盐城三模）已知线段AB的长为2，动点C满足CA⋅CB=λ（λ为常数），
且点C总不在以点B为圆1
2
为半径的圆内，则负数λ的最大值是.-3
4
略解：
动点C满足方程x2+y2=λ+1.
策略四两定点A、B，动点P满足PA2+PB2是定值确定隐形圆
例5
（1）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：
（x－a）2＋（y－a＋2）2＝1，点A（0，2），若圆C上存在点M，满足MA2＋MO2＝10，则实数a的取值范围是．[0，3]
略解：
M满足的方程为x2+（y-1）2=4，转化为两圆有公共点
（2）（2017年南京、盐城一模）在∆ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c，若
a2+b2+2c2=8，则∆ABC面积的最大值为．25
5
解：
以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建系.
设A（-c,0），B（c,0），C（x,y），则由a2+b2+2c2=8，
22
得（x-c）2+y2+（x+c）+y2+2c2=8，即x2+y2=4-5c2，
22
所以点C在此圆上，S≤cr=c
4-5c2=1
4
（4-5c2）5c2≤25
224
5445
策略五两定点A、B，动点P满足PA=λ（λ>0,λ≠1）确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）
PB
例6
（1）
略解：
点P满足圆的方程为x2+y2=4，转化到直线与圆相交.
（2）（2016届常州一模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：
x2＋y2＝1，
O1：
（x－4）2＋y2＝4，动点P在直线x+
3y-b=0上，过点P作圆O，O1的两条切线，
切点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P有且仅有两个，则b的取值范围
．⎛－20,4⎫
ç3⎪
⎝⎭
例7（2017年南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．
（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截
成功；（参考数据：
sin17°≈
3，33≈5.7446）
6
（2）问：
无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？
并说明理由．
北l
领海公海
B
30°
A
解：
（1）略
（例7）
（2）如图乙，以A为原点，正北方向所在的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy．
则B（2，23），设缉私艇在P（x，y）处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私
船相遇，则PA=3，即
x2+y2
=3．l
PB（x-2）2+（y-23）
领海公海
整理得，（
9）（
93）9
22
x-4
+y-4
=4，B
所以点P（x，y）的轨迹是以点9，93为圆心，
44
60
2为半径的圆．
Ax
图乙
因为圆心（9，93）到领海边界线l：
x=3.8的距离为1.55，大于圆半径3，
442
所以缉私艇能在领海内截住走私船．策略六由圆周角的性质确定隐形圆
例8
（1）已知a,b,c分别为∆ABC的三个内角A,B,C的对边，a=2，
（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC则∆ABC面积的最大值为．3
略解：
cos∠A＝1，∠A＝60°，设∆ABC的外接圆的圆心为O，外接圆的半径为23，则
23
O到BC的距离为3，则边BC上的高h的最大值为3+23=3，则面积的最大值
333
为3．
（2）（2017年常州一模）在△ABC中，∠C＝45o，O是△ABC的外心，若OC=mOA+nOB（m，
n∈R），则m＋n的取值范围是．[-
2,1）
略解：
∠AOB＝2∠C＝90°，点C在以O为圆心，半径OA的圆上（在优弧AB上）．
三、同步练习
1．已知直线l:
x-2y+m=0上存在点M满足与两点A（-2,0）,B（2,0）连线的斜率之积为-1，
则实数m的取值范围是．[-25,25]
2．（2016年泰州一模）已知实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，则
b
a-2c
的取值范围
为．[-
3,3]
33
3．已知θ,t∈R，则（cosθ-t-2）2+（sinθ-t+2）2的取值范围是．[22-1,22+1]
4．已知圆C:
（x-3）2+（y-4）2=1和两点A（-m,0）,B（m,0）（m>0）．若圆C上存在点P，使得PA⋅PB=1，则m的取值范围是．[15,35]
7．（2016年无锡一模）已知圆C:
（x-2）2+y2=4，线段EF在直线l:
y=x+1上运动，点P
为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A、B，使得PA⋅PB≤0，则线段EF长度的最大值是．14
8．如图，已知点A（－1,0）与点B（1,0），C是圆x2＋y2＝1上的动点（与点A,B不重合），连接BC并延长至D，使得|CD|
＝|BC|，则线段PD的取值范围．（2,2）
3
9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-t，0）（t>0），B（t，0），点C满足AC⋅BC=8，
且点C到直线l：
3x-4y+24=0的最小距离为9，则实数t的值是．1
5
10．（2013年江苏卷第17题改编）在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0,0），A（0,3）如果
圆C:
（x-a）2+（y-2a+4）2=1上总存在点M使得MA=2MO，则圆心C的横坐标a的取值范围是．[0,12]
5
11．已知向量a、b、c满足a=
2，b=a⋅b=3，若（c-2a）（2b-3c）=0
，则b-c的最大
值是．1+2
12．设点A,B是圆x2+y2=4上的两点，点C（1,0），如果∠ACB=90，则线段AB长度的取
值范围为．[7-1,7+1]
13．在∆ABC中，BC＝2，AC＝1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、
D两点在直线AB的两侧）．当∠C变化时，线段CD长的最大值为．3
1
14．（2016年南通三模）在平面直角坐标系xOy中，圆C:
（x-1）2+y2=2，
圆C:
（x-m）2+（y+m）2=m2，若圆C上存在点P满足：
过点P向圆
作两条切线
12C1
PA、PB，切点为A、B，∆ABP的面积为1，则正数m的取值范围是．
解：
设P（x，y），设PA，PB的夹角为2θ．
△ABP的面积S=1PA2sin2θ=PA2⋅
2⋅PA
=1．
2PC1
PC1
由322
2PA
=PC1
=PA
+2，解得PA=2，
所以PC1=2，所以点P在圆（x-1）
2+y2
=4上．
所以m-2≤
（m-1）2+（-m）2≤m+2，解得1≤m≤3+23．
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