M(k)=M(k)+1;
end
end
end
p=M/N
运行结果:
p=
00.00220.11811.0000
p=
00.00330.11291.0000
p=
00.00220.11631.0000
p=
00.00260.11511.0000
实验结论:
当人数为1时,至少两人同一天生日概率模拟值接近0
当人数为2时,至少两人同一天生日概率模拟值接近0.0027
当人数为10时,至少两人同一天生日概率模拟值接近0.1156
当人数为100时,至少两人同一天生日概率模拟值接近1
2设
~
;
(1)当
时,求
,
,
;
(1)当
时,若
,求
;
(2)分别绘制
,
时的概率密度函数图形。
程序:
clear
clc
mu=1.5;
sigma=0.5;
p1=normcdf(2.9,mu,sigma)-normcdf(1.8,mu,sigma)
p2=1-normcdf(-2.5,mu,sigma)
p3=normcdf(0.1,mu,sigma)+(1-normcdf(3.3,mu,sigma))
x=norminv(0.95,mu,sigma)
fx=-2:
.1:
2;
f1=pdf('norm',fx+1,1,0.5);
subplot(311)
plot(fx+1,f1)
title('\mu=1')
f1=pdf('norm',fx+2,2,0.5);
subplot(312)
plot(fx+2,f1)
title('\mu=2')
f1=pdf('norm',fx+3,3,0.5);
subplot(313)
plot(fx+3,f1)
title('\mu=3')
运行结果:
p1=
0.2717
p2=
1.0000
p3=
0.0027
x=
2.3224
结论:
当
时
若
,求
;
3已知每百份报纸全部卖出可获利14元,卖不出去将赔8元,设报纸的需求量
的分布律为
012345
0.050.100.250.350.150.10
试确定报纸的最佳购进量
。
(要求使用计算机模拟)
理论值:
程序:
P=[0.050.100.250.350.150.10];
X=0:
5;
Profit=zeros(1,6);
forx=1:
6
fori=1:
x-1
Profit(x)=Profit(x)+22*X(i)*P(i);
end
fori=x:
6
Profit(x)=Profit(x)+22*(x-1)*P(i);
end
Profit(x)=Profit(x)-8*(x-1);
end
stem(X,Profit)
Profit
运行结果:
Profit=
012.900023.600028.800026.300020.5000
模拟值:
程序:
N=[10,100,1000,10000];
fork=1:
4
need=rand(1,N(k));
fori=1:
N(k)
ifneed(i)>=0&&need(i)<0.05
need(i)=0;
elseifneed(i)>=0.05&&need(i)<0.15
need(i)=1;
elseifneed(i)>=0.15&&need(i)<0.4
need(i)=2;
elseifneed(i)>=0.4&&need(i)<0.75
need(i)=3;
elseifneed(i)>=0.75&&need(i)<0.9
need(i)=4;
elseifneed(i)>=0.9&&need(i)<=1
need(i)=5;
end
end
forx=0:
5
sale=-8*x*ones(1,N(k));
fori=1:
N(k)
ifneed(i)>=x
sale(i)=sale(i)+22*x;
else
sale(i)=sale(i)+22*need(i);
end
end
Profit(x+1)=mean(sale);
end
stem(0:
5,Profit)
Profit
end
运行结果:
Profit=
014.000025.800031.000025.200017.2000
Profit=
012.680023.160028.580024.980018.9600
Profit=
013.032023.644028.822026.344020.5880
Profit=
012.816423.582428.797826.286820.5154
结论:
重复试验次数
0
1百份
2百份
3百份
4百份
5百份
10次
0
14
25.8
31
25.2
17.2
100次
0
12.68
23.16
28.58
24.98
18.96
1000次
0
13.032
23.644
28.822
26.344
20.588
10000次
0
12.8164
23.5824
28.7978
26.2868
20.5154
理论值
0
12.9
23.6
28.8
26.3
20.5
随重复试验的次数增多,模拟值逐渐接近理论值。
观察发现,当购进量为3百份时,利润期望值最高。
4.设总体
,
是来自总体
的一组样本,通过计算机模拟分别画出当
时
的概率密度曲线,观察当
越来越大时的概率密度曲线是否与某正态分布的概率密度曲线接近,以此验证中心极限定理。
程序:
clear
n=[2,4,10,20,100,1000];
m=50000;
fork=1:
length(n)
figure
temp=rand(n(k),m);
One=ones(1,n(k));
X=One*temp;
[p,x]=ksdensity(X);
mu=0.5*n(k);
sigma=sqrt(n(k)/(12));
xx=mu-4*sigma:
.1:
mu+4*sigma;
yy=pdf('norm',xx,mu,sigma);
holdon
plot(x,p,'b',xx,yy,'r--')
legend(['n='num2str(n(k))],['N~('num2str(mu)','num2str(sigma)')'])
title(['n='num2str(n(k))])
end
5.就不同的自由度画出
分布、
分布及F分布的概率密度曲线,每种情况至少画三条曲线,并将
分布的概率密度曲线与标准正态分布的概率密度曲线进行比较。
程序:
figure
x=0:
.01:
5;
y=pdf('chi2',x,1);
plot(x,y,'b')
holdon
y=pdf('chi2',x,2);
plot(x,y,'r')
y=pdf('chi2',x,3);
plot(x,y,'g')
title('\chi^2')
legend('n=1','n=2','n=3')
figure
x=-5:
.01:
5;
y=pdf('t',x,1);
plot(x,y,'b')
holdon
y=pdf('t',x,2);
plot(x,y,'c')
y=pdf('t',x,1000000000000);
plot(x,y,'g')
y=pdf('norm',x,0,1);
plot(x,y,'r--')
title('t')
legend('n=1','n=2','n=1000000000000','N(0,1)')
figure
x=0:
.01:
5;
y=pdf('f',x,10,1000000000000);
plot(x,y,'b')
holdon
y=pdf('f',x,10,10);
plot(x,y,'r')
y=pdf('f',x,10,4);
plot(x,y,'g')
title('F')
legend('m=10,n=1000000000000','m=10,n=10','m=10,n=4')
运行结果:
n=1000000000000时,基本与标准正态重合。
6就正态总体的某一个参数,构造置信区间,以检验置信度。
即通过随机产生100组数据,构造100个置信区间,观察是否有100(1-
)%个区间包含此参数。
程序:
clear
m=100;
mu=1.5;
sigma=3;
alpha=[0.10.050.01];
count(3)=0;
fork=1:
3
fori=1:
100
X=mu+sigma*randn(1,m);%X~N(mu,sigma)
UP=mean(X)+norminv(1-alpha(k)/2,0,1)*sigma/sqrt(m);
DOWN=mean(X)-norminv(1-alpha(k)/2,0,1)*sigma/sqrt(m);
ifDOWNmu
count(k)=count(k)+1;
end
end
end
p=count/100
运行结果:
p=
0.91000.96000.9800
p=
0.92000.93000.9900
p=
0.88000.94001.0000
p=
0.91000.92000.9900
结论:
对参数mu构造置信区间;
当alpha=0.1时,包含mu的区间的概率接近0.9
当alpha=0.05时,包含mu的区间的概率接近0.95
当alpaca=0.01时,包含mu的区间的概率接近0.99
7.对于正态总体,当均值已知时,至少用两种方法构造方差的置信度为95%的置信区间,比较两种方法的优劣。
验证所构造的置信区间置信度为95%
程序:
a=1;
b=0.5;
n=100;
alpha=0.05;
count1=0;
count2=0;
fori=1:
100
X=a+b*randn(1,n);%X~N(a,b)
UP1=sum((X-a).^2)/(chi2inv(alpha/2,n));
DOWN1=sum((X-a).^2)/(chi2inv(1-alpha/2,n));
UP2=n*(mean(X)-a)^2/(chi2inv(alpha/2,1));
DOWN2=n*(mean(X)-a)^2/(chi2inv(1-alpha/2,1));
ifDOWN1
count1=count1+1;
end
ifDOWN2
count2=count2+1;
end
end
count1/100
count2/100
运行结果:
method1=
0.9300
method2=
0.9500
method1=
0.9500
method2=
0.9200
method1=
0.9600
method2=
0.9600
所构造的区间满足置信度95%
用
构造
UP1=
0.3248
DOWN1=
0.1861
UP1=
0.3482
DOWN1=
0.1994
UP1=
0.4066
DOWN1=
0.2329
用
构造
UP2=
222.0616
DOWN2=
0.0434
UP2=
1.9079
DOWN2=
3.7295e-004
UP2=
68.4270
DOWN2=
0.0134
结论:
用
构造
用
构造
第一次
(0.1861,0.3248)
(0.0434,222.0616)
第二次
(0.1994,0.3482)
(3.7295e-004,1.9079)
第三次
(0.2329,0.4066)
(0.0134,68.4270)
……
……
……
用
构造的区间比用
构造的区间长度要长,效果要差。