届海南省新高考高三线上诊断性测试数学试题解析版.docx
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届海南省新高考高三线上诊断性测试数学试题解析版
2020届海南省新高考高三线上诊断性测试数学试题
、单选题
1．已知集合
A
x|3x4，B
x|4
x6，则
（eRA）I
B（
）
A．x|4
x
6
B．
x|4x
3
x|4x
6
C．x|4
x
6
D．
x|4x
3
x|4x
6
【答案】D
【解析】根据补集的运算法则，求出集合A的补集，再求交集即可得解
【详解】
因为Ax|3x4，Bx|4x6，
所以eRABx|4x3x|4x6.故选：
D
【点睛】
此题考查集合的补集运算和交集运算，属于简单题目，考查基础知识的掌握
2．若复数z的虚部小于0，|z|
5，且z
z
4，则iz
（）
A．13i
B．2i
C
．12i
D
．12i
【答案】C
【解析】根据z
z
4可得z
2mi（m
R）
，结合模长关系列方程，
根据虚部小于
0即可得解.
【详解】
由zz4，得
z
2mi（m
R），因为|
z|
m24
5，所以
m1.
又z的虚部小于
0，
所以z2
i，iz1
2i.
故选：
C
【点睛】
此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解
3．“游客甲在海南省”是“游客甲在三亚市”的（）
C．充要条件【答案】B
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】根据三亚与海南省的关系，结合充分条件和必要条件的关系判定.
【详解】因为三亚是海南省的一个地级市，所以如果甲在三亚市，那么甲必在海南省，反之不成立，故选：
B.
【点睛】此题考查充分条件和必要条件的辨析，关键在于弄清概念，准确识别三亚与海南省两者
之间的关系.
答案】
详解】
故选：
C
点睛】
性质，准确列出不等关系求解，需要注意考虑端点处等号能否成立
答案】
详解】
【点睛】本题考查求二项式展开式中指定项的计算问题，属于基础题.
6．现将五本相同的作文本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得三本的概率
是（
）
1
A．6
112
B．C．D．
3129
【答案】
A
【解析】
列出树状图分别分析三人分得书的数目情况，根据古典概型求解.
【详解】
将甲、乙、丙三人分得的作文本的数量用树状图列举如下：
故所求概率P
故选：
A
点睛】
此题考查求古典概型，
关键在于准确得出基本事件总数，利用树状图解决问题通俗易懂，
需要注意此题是五本相同的书
7．如图，在等腰直角ABC中，D，E分别为斜边BC的三等分点（D靠近点B），
过E作AD的垂线，垂足为F，则uAuFuv（
3uuuv
1uuuv
2uuuv
1uuuv
A．AB
AC
B．AB
AC
5
5
5
5
4
uuuv
8uuuv
8uuuv
4uuuv
C．
AB
AC
D．8AB
AC
15
15
15
15
【答案】
D
【解析】
设出等腰直角三角形
ABC的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，
并求得
uuur4uuur
cosDAE，由此得到AFAD，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将
5
uuur4uuuruuuruuur
AFAD表示为以AB,AC为基底来表示的形式.
5
【详解】
设BC6，则ABAC32,BDDEEC2，
故选：
D
【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题
有5个不同的实根，则m的取值范围为（）
答案】A
【解析】作出函数图象，f（x）=1有2个实根，故方程fxm有3个实根，结合函数图象即可得出参数的取值范围.
【详解】
、多选题
9．如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺
炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是（）
A．1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了
B．1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势
C．2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例
D．2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8
日的增长率
【答案】ABC
【解析】根据曲线图可得ABC正确，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例
57
增加了，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，D说法不正确
4437
【详解】
1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例，所以西安所占比
321例为，故A正确；
873
由曲线图可知，1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B正确；
2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了21311697例，故C正确；
98885
2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，2月6日到2
8844
8874775
月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，显然，故D错误.
74373744
故选：
ABC
【点睛】此题考查曲线图，根据图象特征判断选项说法是否正确，关键在于识图，弄清图中的数据变化.
A．fx的最小正周期为π
B．曲线yfx关于（,0）对称
3
C．fx的最大值为3
D．曲线yfx关于x对称
6
【答案】ACD
解析】根据三角恒等变换化简可得f（x）3sin2x，即可得到其最小正周期，
6
对称轴和对称中心以及最值
【详解】
f（x）
sin2x
1sin2x
2
3cos2x
2
3sin2x，
6
则T
，f（x）的最大值为
3，
f（6）
3sin
36
3曲线yf
x关于x对称，
6
f（3）
3sin
2
36
0，曲线y
fx不关于,0对称
3
故选：
ACD
【点睛】此题考查三角函数的性质，根据三角恒等变换求函数解析式，根据性质得最小正周期，对称轴和对称中心以及最值.
x22221
11．已知P是椭圆C:
y21上的动点，Q是圆D:
（x1）2y2上的动点，则
25
（）
A．C的焦距为5B．C的离心率为30
6
C．圆D在C的内部D．PQ的最小值为25
5
【答案】BC
【解析】根据椭圆的性质可得焦距和离心率，求出|PD|的最小距离即可得到圆与椭圆
的位置关系.
【详解】
依题意可得c615，则C的焦距为
25，
e
5
6
30
6
设P（x,y）（6x6），
2
2222x
5
2
6
4
41
则|PD|2（x1）2y2（x1）21
x
6
6
5
5
55
所以圆D在C的内部，且|PQ|的最小值为
4
1
5.
5
5
5.
故选：
BC.
【点睛】
此题考查椭圆的基本量的计算，求椭圆上的点到圆上点的距离的取值范围，利用函数性质求解最值.
12．如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2AA1，E，F分别为AB，BC的中点，异面直AB1与C1F所成角的余弦值为m，则（）
A．m3
3
C．m2
C．m
3
【答案】BC
B．直线A1E与直线C1F共面
D．直线A1E与直线C1F异面
解析】连接EF，A1C1，C1D，DF，易得EF//A1C1，在三角形DC1F中，由余弦
定理求解cosDC1F，即可得到m.
详解】
连接EF，A1C1，C1D，DF，EF//AC，根据长方体性质可得EF//A1C1，
所以直线A1E与直线C1F共面.
设AA12，则AB2AA12，
则DF5，C1F3，C1D6，
故选：
BC
【点睛】
此题考查空间直线的平行关系判断，根据直线平行，求直线的夹角，常用平行直线关系，
利用余弦定理求异面直线夹角，
三、填空题
13．若lgxlgy
0，则4x
9y的最小值为.
【答案】
12
【解析】
由lgx
lgy
0，得
xy
1x
0,y
0，利用基本不等式即可得解.
【详解】
因为lgx
lgy
0，所以xy
1x
0,y
0，
所以4x9y
24x9y12
等号成立的条件为
4x
9y，即x
3
32,y
23时取得最小值.
故答案为：
12
【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，关键在于熟练掌握基本不等式的使用条件，注意考虑等号成立的条件.
2
14．已知P为双曲线C：
x2y1右支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且
4
线段A1A2，B1B2分别为C的实轴与虚轴.若A1A2，B1B2，PF1成等比数列，则PF2.
【答案】6
【解析】根据双曲线方程，可得实轴，虚轴A1A2，B1B2的长，再根据A1A2，B1B2
PF1成等比数列，求出PF1的值，最后根据双曲线的定义求出PF2的值.
【详解】
2
解：
Qx2y1
4
A1A22a2，B1B22b4，
QA1A2，B1B2，PF1成等比数列
2
A1A2PF1B1B2，
解得PF18，
PF282a6
故答案为：
6
点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题
15．四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB1，AC2，AD3，则四面体ABCD的体积为，球O的表面积为
【答案】114
【解析】①根据四面体的特征，利用锥体体积公式求解，②利用补图法可得该四面体的外接球与以AB，AC，AD为长宽高的长方体的外接球相同，求出体对角线长度即直径，即可得解.
详解】
11
所以四面体ABCD的体积V1231，
32
该四面体的外接球与以AB，AC，AD为长宽高的长方体的外接球相同，
直径为该长方体的体对角线长122232
详解】
函数在（,4）单调递减，（4,1）单调递增，
所以f（x）min
27f（4）274，当
e
x
1时，
fx0，
由洛必达法则
lim（x1）3lim
limxlim
xexx
3（x
e
1）2
x
6（x1）6
limxlimx0xexxex
27
故m4e
0.
故答案为：
27
4,0
e
【点睛】此题考查根据导数的几何意义解决切线问题，转化为函数零点问题，常用分离参数讨论函数单调性解决问题.
325
17．在①cosA，cosC，②csinCsinAbsinB，B60o，③c2，
55
1
cosA三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.
8
已知VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a3，，求VABC的
面积S.
【答案】答案不唯一，具体见解析
【解析】若选①，首先根据同角三角函数的基本关系求出sinA，sinC，再根据两角
和的正弦公式求出sinB，由正弦定理求出边b，最后由面积公式求出三角形的面积.若选②，由正弦定理将角化边结合余弦定理求出边c，最后由面积公式求出三角形的面积.
若选③，由余弦定理求出边b，由同角三角函数的基本关系求出sinA，最后由面积公
式求出三角形的面积.
【详解】
解：
选①
3，
25
∵cosA
cosC
5
5
∴sinA
4
sinC
5，
5
5
∴sinB
sin
AC
sinAcosCcosAsinC
42535115
5
55525
选②
csinCsinAbsinB，
∴由正弦定理得c2ab2.
3.
5
解得b2或b2（舍去）
点睛】
本题考查利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式解三角形，属于基础题
四、解答题
18．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，E为AB的中点，
建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，
E2,1,0，C0,2,0，
uuur
2,1,0，DA2,0,0.
x,y,z，
2xy3z0
2xy0
【答案】
（1）证明见解析
（2）361
61
【解析】
（1）通过证明PDAD，ADCD即可证明线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量方法求解线面角的正弦值【详解】
（1）证明：
因为E为AB的中点，AE1，
所以CDAB2，
所以CD2PD2PC2，从而PDCD.又PDCE，CDICEC，所以PD底面ABCD，所以PDAD.因为四边形ABCD是正方形，所以ADCD.
又CDIPDD，所以AD平面PCD.
（2）解：
以D为坐标原点，则A2,0,0，P0,0,3，
uuuruuur
所以PE2,1,3，ECr
设平面PCE的法向量为n
uuurruuurr则PEnECn0，即
ruuur
令x3，得nr3,6,4.cosrn,uDuAurrnDuuAur361，
|n||DA|61
故DA与平面PCE所成角的正弦值为361.
61
【点睛】
此题考查证明线面垂直，求直线与平面所成角的正弦值，关键在于熟练掌握线面垂直的判定定理，熟记向量法求线面角的方法.
19．某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.
购买金额（元）
0,15
15,30
30,45
45,60
60,75
75,90
人数
10
15
20
15
20
10
（1）根据以上数据完成22列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于
60元与性别有关.
不少于60元
少于60元
合计
男
40
女
18
合计
（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次
中奖概率为p（每次抽奖互不影响，且p的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80
元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望
附：
参考公式和数据：
2
2nadbc
K，nabcd.abcdacbd
附表：
k0
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
2
PK2⋯k0
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
【答案】
（1）见解析，有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
（2）分布列见解析，数学期望75
解析】
（1）完善列联表，计算K2
1440
247
3.841得到答案.
2）先计算
1
1
2
4
p，分别计算PX
65
，PX70
，PX75
3
27
9
9
8
PX8027，得到分布列，计算得到答案详解】
1）22列联表如下：
不少于60元
少于60元
合计
男
12
40
52
女
18
20
38
合计
30
60
90
所以X的分布列为
X
65
70
75
80
PX
1
2
4
8
27
9
9
27
1248
EX6570758075.
279927
【点睛】本题考查了列联表，分布列，意在考查学生的应用能力和计算能力.
20．在数列an，bn中，a1b11，an13anbn3n1，bn13bnan3n1.
等差数列
cn
的前两项依次为
a2，b2.
（1）求
cn
的通项公式；
（2）求数列
anbncn的前n项和Sn.
【答案】
（1）
cn8n10
（2）
Sn（4n
9）2n2
36
【解析】
（1）
根据递推公式计算
a22，
b26，
利用等差数列公式计算得到答案
（2）将题目中两式相加得到an1bn12anbn，故anbn是首项为2，公比为
2的等比数列，计算得到通项公式，再利用错位相减法计算得到答案.
【详解】
（1）∵a1b11，∴a22，b26，则cn的公差为d628
故cn的通项公式为cn28（n1）8n10.
（2）an13anbn3n1，①
bn1
3bnan
3n
1，
②
①
②得an1
bn1
2
anbn.
又a1
b12，从而
an
bn是首项为2，公比为2的等比数列，
故an
bn2n.
an
bn
cn8n102n
Sn
226
22
L
（8n10）2n，
2Sn
222
6
23
L（8n10）2n1，
Sn2Sn482223L2n（8n10）2n1，
即Sn482n14（8n10）2n1（188n）2n136，
即Sn（4n9）2n236.
【点睛】
本题考查了通项公式，错位相减法，变换得到an1bn12anbn是解题的关键.
21．如图，已知点F为抛物线C：
y22px（p0）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，MN16.
（1）求抛物线C的方程.
（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）y28x
（2）存在唯一的点P2,0，使直线PM，PN关于x轴对称
【解析】
（1）当直线l的倾斜角为45°，则l的斜率为1，则直线方程为yxp，联
2
立直线与抛物线方程，利用韦达定理可得x1x23p，根据焦点弦公式
MNx1x2p，求出p的值，即可得到抛物线方程.
（2）假设满足条件的点P存在，设Pa,0，当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为
ykx2（k0），联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，因为直线PM，
PN关于x轴对称，所以kPMkPN0，即可求出a的值.当直线l与x轴垂直时，由
抛物线的对称性，易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可
【详解】解：
（1）当直线l的倾斜角为45°，则l的斜率为1，
QFp2,0，l的方程为yx2p.
2
由2得x23pxp24y2px,
设Mx1,y1，Nx2,y2，则x1x23p，
∴MNx1x2p4p16，p4，
∴抛物线C的方程为y28x.
（2）假设满足条件的点P存在，设Pa,0，由
（1）知F2,0，
①当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为ykx2（k0），由y2kx2,得k2x24k28x4k20，
y28x,
22222
4k284k24k264k2640，
4k28
x1x22，x1x24.
k2
∵直线PM，PN关于x轴对称，
kx22
x2a
∴a2时，此时P2,0.
②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，
易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.综上，存在唯一的点P2,0，使直线PM，PN关于x轴对称.
【点睛】
本题考查抛物线的焦点弦公式的应用，直线与抛物线的综合问题，属于中档题
22．已知函数
x2lnx1sinx1，函数gxax1blnx
a,bR,ab0）
1）讨论gx的单调性；
3）证明：
当x1时，fxx22x2esinx
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