2绘制根轨迹的基本法则.docx
《2绘制根轨迹的基本法则.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2绘制根轨迹的基本法则.docx(22页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
2绘制根轨迹的基本法则
绘制根轨迹的基本法则
本节讨论根轨迹增益K(或开环增益K)变化时绘制根轨迹的法则。
熟练地掌握这些法则,可以帮助我们方便快速地绘制系统的根轨迹,这对于分析和设计系统是非常有益的。
法则1根轨迹的起点和终点:
根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点;如果开环零点个数m少于开环极点个数n,则有(nm)条根轨迹终止于无穷远处。
根轨迹的起点、终点分别是指根轨迹增益
式(4-9)改写为
K0和时的根轨迹点。
将幅值条件
*
K-
n
l(SPj)|
j1
m
l(sZi)|
i1
可见当s=pj时,K*0;当
s=zi时,K*
法则2根轨迹的分支数,
对称性和连续性
nmPj|
s|11
j1s
(4-11)
m
zi
|1-|
i1s
;当|s|且nm时,
*
K。
根轨迹的分支数与开环零点数
m、开环
极点数n中的大者相等,根轨迹连续并且对称于实轴。
根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时,闭环极点在s平面上的变化轨迹。
因此,
根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致,即根轨迹分支数等于系统的阶数。
实际系
统都存在惯性,反映在传递函数上必有nm。
所以一般讲,根轨迹分支数就等于开环极点数。
实际系统的特征方程都是实系数方程,依代数定理特征根必为实数或共轭复数。
因此根轨迹必然对称于实轴。
由对称性,只须画出s平面上半部和实轴上的根轨迹,下半部的根轨迹即可对称画出。
特征方程中的某些系数是根轨迹增益K的函数,K从零连续变到无穷时,特征方程
的系数是连续变化的,因而特征根的变化也必然是连续的,故根轨迹具有连续性。
法则3实轴上的根轨迹:
实轴上的某一区域,若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数,则该区域必是根轨迹。
设系统开环零、极点分布如图4-5所示。
图中,So是实轴上的点,i(i1,2,3)是各开
环零点到So点向量的相角,j(j1,2,3,4)是各开环极点到So点向量的相角。
由图4-5可见,复数共轭极点到实轴上任意一点(包括S)点)的向量之相角和为2。
对复数共轭零点,
情况同样如此。
因此,在确定实轴上的根轨迹时,可以不考虑开环复数零、极点的影响。
图
4-5中,So点左边的开环实数零、极点到So点的向量之相角均为零,而So点右边开环实数
零、极点到So点的向量之相角均为,故只有落在So右方实轴上的开环实数零、极点,才
有可能对So的相角条件造成影响,且这些开环零、极点提供的相角均为。
如果令i代表So点之右所有开环实数零点到So点的向量相角之和,j代表So点之右所有开环实数
极点到So点的向量相角之和,那么,So点位于根轨迹上的充分必要条件是下列相角条件成
mo
i
i1
no
j(2k
ji
1)
(ko,1,2,)
由于与表示的方向相冋,
mo
于是等效有:
no
i
i1
j(2k
ji
1)
(ko,
1,
2,
)
式中,mo、no分别表示在So右侧实轴上的开环零点和极点个数。
式中(2k1)为奇数。
于是本法则得证。
不难判断,图4-5实轴上,区段Pi,Zi,P4,Z2以及,Z3均为实轴上的根轨迹。
法则4根轨迹的渐近线:
当系统开环极点个数n大于开环零点个数m时,有nm
(4-8)可写成
an1bm1
an
1bm1
sbm1
即有
an1bm1
将上式左端用牛顿二项式定理展开,并取线性项近似,有
s1an1bm1
(nm)s
bm1
以1
1ej(2k1),k0,1,
2,代入上式,有
s
1.2k1
'j
Knmenm
这就是当
s时根轨迹的渐近线方程。
它表明渐近线与实轴的交点坐标为
有
nm
PjZi
j1i1
sK*n_m
本法则得证。
渐近线与实轴夹角为
法则5
根轨迹的分离点:
两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又分离的点,
称为根轨迹的分离点,分离点的坐标d是方程
(4-14)
的解。
证明由根轨迹方程(4-8),有
m
K*(s乙)
1丄0
(sPj)
ji
所以闭环特征方程为
m
K*(sZi)
i1
根轨迹在s平面相遇,说明闭环特征方程有重根出现。
设重根为d,根据代数中重根条
件,有
dn
D(s)-
dsj1
(sPj)
*
K
i
m
(sZi)0
1
或
dn(
(s
Pj)
dK—
m
(sZi)
(4-16)
dsj1
ds
i1
将式(4-16)、
式(4-15)等号两端对应相除、得
d
n
dm
(s
Pj)
(sZi)
ds
j1
dsi1
n
m
(sPj)
(sZi)
j
1
i1
n
m
dIn(s
Pj)
dIn(sZi)
j1
i1
(4-17)
ds
ds
有
n
dln(s
Pj)
mdln(sz)
j1
ds
i1ds
n
1
m
1
于是有
j1
sPj
i1s
Zi
从上式解出的s中,经检验可得分离点d。
本法则得证。
例4-3控制系统开环传递函数为
试概略绘制系统根轨迹。
解将系统开环零、极点标于s平面,如图4-7所示。
根据法则,系统有3条根轨迹分支,且有nm=2条根轨迹趋于无穷远处。
根轨迹绘
制如下:
»例斗-3的计算穆序
rLum='12];
den=conv([10],conv([11],[141));
xiocus(minideii)
法则6根轨迹与虚轴的交点:
若根轨迹与虚轴相交,意味着闭环特征方程出现纯虚
根。
故可在闭环特征方程中令sj,然后分别令方程的实部和虚部均为零,从中求得交点的坐标值及其相应的K值。
此外,根轨迹与虚轴相交表明系统在相应K值下处于临界
稳定状态,故亦可用劳斯稳定判据去求出交点的坐标值及其相应的K值。
此处的根轨迹增
益称为临界根轨迹增益。
例4-4某单位反馈系统开环传递函数为
⑷与虚轴交点:
方法1系统闭环特征方程为
s36s25sK0
D(s)
令sj,则
3
D(j)(j)
2
6(j)
32
5(j)Kj6j5
*
K0
令实部、虚部分别为零,有
2
K60
解得
K0K30
显然第一组解是根轨迹的起点,故舍去。
根轨迹与虚轴的交点为s
增益K*30。
j..5,对应的根轨迹
>》例4=的计算程序程序
[1];
den=conv'f[1,0],aonv([111r[15]));ilciciistiiuniden)
方法2用劳斯稳定判据求根轨迹与虚轴的交点。
列劳斯表为
15
*
6K
(30K*)60
*
K
3
s
2
s
1
s
0
s
当K30时,s行元素全为零,系统存在共轭虚根。
共轭虚根可由
F(s)6s2KJ0
s2行的辅助方程求得:
得sj.5为根轨迹与虚轴的交点。
根据上述讨论,可绘制出系统根轨迹如图4-8所示。
法则7根轨迹的起始角和终止角:
根轨迹离开开
环复数极点处的切线与正实轴的夹角,
称为起始角,以
Pi
表示;根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹
角,称为终止角,以z表示。
起始角、终止角可直接利
用相角条件求出。
例4-5设系统开环传递函数为
K*(s1.5)(s2j)(s2j)
s(s2.5)(s0.5j1.5)(s0.5j1.5)
图i-s根轨还图
试概略绘制系统根轨迹。
解将开环零、极点标于s平面上,绘制根轨迹步骤如下:
⑴实轴上的根轨迹:
1.5,0,,2.5
K=时的一
⑵起始角和终止角:
先求起始角。
设s是由p2出发的根轨迹分支对应
点,s到p2的距离无限小,则矢量p2s的相角即为起始角。
作各开环零、极点到s的向量。
3)
图4T根轨迹的起始角和线止角
同理,作各开环零、极点到复数零点(
2j)的向量,可算出复数零点(2j)
处的终止角2=145(见图4-9)。
作出系统的根轨迹如图4-10所示。
»例4-5Alailab程序zero—[-15-2-i-2+i];
pole-[0-2.5*0.5i-j*1.5-0.5-j*1.5];g=zpk(zero.pol&l);rlocu5法则8根之和:
当系统开环传递函数G(s)H(s)的分子、
分母阶次差(n
m)大于
等于2时,
系统闭环极点之和等于系统开环极点之和。
n
式中,
i
i1
为系统的闭环极点
证明
2,n
设系统开环传递函数为
n
Pi
i1
(特征根)
p1,p2,pn为系统的开环极点。
式中
D(s)
G(s)H(s)
K(szj(s
Z2)(szm)
(S口)(SP2)(sPn)
K*sm
nn
san1s
bm1K*sm1
Kbo
an1
n2
a?
s
(Pi)
i1
a。
(4-18)
m2,即m
n
an1s
n
an1s
n2,系统闭环特征式为
n
(s
n
s
an2s
(an2
K*)sn
a。
)
2
(K*sm
(a。
K
(s
1)(s
K*bm1Sm1
bo)=
bo)
2)(s
另外,根据闭环系统n个闭环特征根
n可得系统闭环特征式为
n
D(s)sn
n1
(i)s
(i)
(4-19)
可见,当nm2时,特征方程第二项系数与K无关。
比较系数并考虑式(4-18)有
nn
(i)(Pi)ani(4-20)
i1i1
式(4-20)表明,当nm2时,随着K的增大,若一部分极点总体向右移动,则另一
部分极点必然总体上向左移动,且左、右移动的距离增量之和为0。
利用根之和法则可以确定闭环极点的位置,判定分离点所在范围。
例4-6某单位反馈系统开环传递函数为
G(s)
K
s(s1)(s2)
试概略绘制系统根轨迹,并求临界根轨迹增益及该增益对应的的三个闭环极点。
解系统有3条根轨迹分支,且有nm=3条根轨迹趋于无穷远处。
绘制根轨迹步骤如下:
⑴轴上的根轨迹:
2,1,0
⑵渐近线:
12,
a1
3
(2k1)
a3
3,
⑶分离点:
1
11
0
d
d1d2
经整理得
3d
26d20
故
d1
1.577d2
0.423
显然分离点位于实轴上
1,0间,故取
d0.423。
由于满足nm2,闭环根之和为常数,当
K增大时,两支根轨迹向右移动的速度
慢于-
支向左的根轨迹速度,因此分离点
d
0.5是合理的。
⑷与虚轴交点:
系统闭环特征方程为
D(s)s3
3s
2
2sK*0
令s
j,则
D(j)(j)3
3(j
)22(j)K
令实部、虚部分别为零,有
解得
32*
j3j2K0
K*320
230
0,2
K*0K*6
显然第一组解是根轨迹的起点,故舍去。
根轨迹与虚轴的交点为1,2jJ2,对应的根轨
***
迹增益为K6,因为当0K6是系统稳定,故K6为临界根轨迹增益,根轨迹
与虚轴的交点为对应的两个闭环极点,第三个闭环极点可由根之和法则求得:
0121231j2f2
系统根轨迹如图4-11所示。
力例斗的计算程序
num-[1];
den=ccnv([lf0]fconv([11],[12]));
docu^nutrLdeti)
根据以上绘制根轨迹的法则,不难绘出系统的根轨迹。
具体绘制某一根轨迹时,这8条法则并不一定全部用到,要根据具体情况确定应选用的法则。
为了便于查阅,将这些法则统一归纳在表4-2之中。
图很執迹图
表4-2绘制根轨迹的基本法则
序号
内容
法则
1
根轨迹的起点和终点
根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点。
2
根轨迹的分支数,
根轨迹的分支数与开环零点数
m和开环极点数n中的大者相等,根轨
对称性和连续性
迹是连续的,并且对称于实轴。
实轴上的某一区域,若其右端开环实数零、
极点个数之和为奇数,则该
3
实轴上的根轨迹
区域必是180根轨迹。
*实轴上的某一区域,若其右端开环实数零、极点个数之和为偶数,贝U
该区域必是0根轨迹。
n
Pj
m
乙
渐近线与实轴的交点
j1
i1
a
n
m
4
根轨迹的渐近线
a
(2k
(180根轨迹)
渐近线与实轴夹角
n
m
*
2k
(0根轨迹)
a
(U1区勺)
n
m
其中
k=0,±
1,±2,…
分离点的坐标d是下列方程
5
根轨迹的分离点
n1m
1
j1dPji
d
Zi
的解
6
根轨迹与虚轴交点坐标
及其对应的K值可用劳斯稳定判据确定,也
根轨迹与虚轴的交点
可令闭环特征方程中s
Lj
的,然后分别令其实部和虚部为零求得
mn
t—
ij
(2k
1)
(k0,1,2,)
7
根轨迹的起始角
i1j1
和终止角
mn
*
ij
i1j1
2k
(k0,1,2,)
8
根之和
nn
iPi
i1i1
(n
m2)
注:
表中,以“*”标明的法则是绘制0根轨迹的法则(与绘制常规根轨迹的法则不同),其余法则不变