迭代法解线性方程组-数值分析实验报告 (1).doc
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数学与计算科学学院
《数值分析》课程设计
题目：
迭代法解线性方程组
专业：
信息与计算科学
学号：
1309302-24
姓名：
谭孜
指导教师：
郭兵
成绩：
二零一六年六月二十日
一、前言：
（目的和意义）
1.实验目的
①掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和步骤。
②了解雅可比迭代法，高斯-赛德尔法和松弛法在求解方程组过程中的优缺点。
2.实验意义
迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方程组的重要方法。
迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。
比较雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代方法和松弛法，举例子说明每种方法的试用范围和优缺点并进行比较。
二、数学原理：
设有方程组
…①
将其转化为等价的，便于迭代的形式
…②
（这种转化总能实现，如令）,
并由此构造迭代公式
…③
式中B称为迭代矩阵，f称为迭代向量。
对任意的初始向量，由式③可求得向量序列，若，则就是方程①或方程②的解。
此时迭代公式②是收敛的，否则称为发散的。
构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B的性
1.雅可比迭代法基本原理
设有方程组
…①
矩阵形式为,设系数矩阵A为非奇异矩阵，且
从式①中第i个方程中解出x，得其等价形式
…②
取初始向量，对式②应用迭代法，可建立相应的迭代公式：
…③
也可记为矩阵形式：
…④
若将系数矩阵A分解为A=D-L-U，
式中
，
，
。
则方程Ax=b变为
得
于是
于是式中④中的。
式③和式④分别称为雅克比迭代法的分量形式和矩阵形式，分量形式用于编程计算，矩阵型式用于讨论迭代法的收敛性。
2.高斯—赛德尔迭代法
高斯—赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法，其迭代公式为
（i=1,2,…,n）
也可以写成矩阵形式
仍将系数矩阵A分解为
则方程组变为
得
将最新分量代替为旧分量，得
即
于是有
所以
3.超松弛迭代法
设已知第k次迭代向量，及第k+1次迭代向量的前i-1个分量，（j=1,2,…i-1）,现在研究如何求向量的第i个分量。
首先，有高斯—赛德尔迭代法求出一个值，记为
（i=1,2,…n）
再将第k次迭代向量的第i个分量与进行加权平均，
得，即：
于是的SOR迭代公式
（i=1,2,…n）…①
或
（i=1,2,…n）…②
当=1时，式①即为高斯—赛德尔迭代法；
当0<<1时，式①称为低松弛方法，当某些方程组用高斯—赛德尔迭代法不收敛时，可以用低松弛方法获得收敛；
当>1时，式①称为超松弛方法，可以用来提高收敛速度。
将式②写成矩阵的形式，得：
即
于是得SOR迭代的矩阵表示
式中
三、举例说明及代码
例1：
解下面方程组.（雅克比迭代方法、高斯-赛德尔和松弛法的比较）
解：
先计算迭代矩阵：
BJ与BG的特征值跟收敛半径为
所以，用雅可比迭代法求解，迭代过程收敛，而用高斯-塞德尔迭代法求解，迭代过程发散。
取x0=（0;0;0）,为达到精度10-5，取w=0.1。
雅可比迭代法
松弛法
3
184
代码：
1.雅可比迭代法
function[x,k]=jacobi（A,b,x0,esp）%k为迭
A=input（'InputA='）;
b=input（'Inputb='）;
x0=input（'Inputx0='）;
esp=1.0e-5;
k=0;
n=length（b）;
x=x0;
whilemax（abs（b-A*x0））>esp&k<=500;fori=1:
n
sum=0;
forj=1:
n
ifj~=i
sum=sum+A（i,j）*x0（j）;end
end
x（i）=（b（i）-sum）/A（i,i）;end
x0=x;
k=k+1;
ifk>500
fprintf（'迭代达到上限'）
return
end
end
k
InputA=[12-2;111;221];
Inputb=[111]';
Inputx0=[000]'
运行结果：
k=
3
ans=
-3
3
1
2.高斯-赛德尔迭代法
clear;clc;
A=[12-2;111;221];
b=[111]';
N=length（b）;%解向量的维数
fprintf（'库函数计算结果：
'）;
x=inv（A）*b%库函数计算结果
x=zeros（N,1）;%迭代初始值
%-----（A=D-E-F）------
D=diag（diag（A））;
E=-tril（A,-1）;%下三角
F=-triu（A,1）;%上三角
B=inv（D-E）*F;g=inv（D-E）*b;
eps=0.0001;%相邻解的距离小于该数时，结束迭代
%--------开始迭代-------
fork=1:
1000%最大迭代次数为100
fprintf（'第%d次迭代：
',k）;
y=B*x+g;
fprintf（'\n与上次计算结果的距离（2范数）:
%f?
\n',norm（x-y）^2）;ifnorm（x-y）break;
end
x=y
end
x
运行结果：
（因为发散结果不能确定）
3.松弛迭代法
w=0.1;dalt=1.0e-5;
A=[12-2;111;221];
b=[111]';
r=size（b）;a=b;
x0=zeros（3,1）;
x=x0;
r=r
（1）;m=0;e=1;
fort=1:
r
a（t）=A（t,t）;
A（t,t）=0;
A（t,:
）=A（t,:
）/a（t）;
end
b=b./a;
root=[0x']
whilee>dalt
root=m;
e=0;
fori=1:
r
t=x（i）;
x（i）=（1-w）*x（i）+w*（b（i）-A（i,:
）*x）;
root=[rootx（i）];
t=abs（x（i）-t）;
ift>e
e=t;
end
end
root
m=m+1;
end
运行结果：
root=
184.0000-3.00013.00001.0000
例2：
（超松弛法）达到同样的精度10-5，松弛因子的不同，会使得收敛速度大大不同（w取1.0—1.9）
代码：
w=1;dalt=1.0e-5;
A=[4111;1-411;11-41;111-4];
b=[1;1;1;1];
r=size（b）;a=b;
x0=zeros（4,1）;
x=x0;
r=r
（1）;m=0;e=1;
fort=1:
r
a（t）=A（t,t）;
A（t,t）=0;
A（t,:
）=A（t,:
）/a（t）;
end
b=b./a;
root=[0x']
whilee>dalt
root=m;
e=0;
fori=1:
r
t=x（i）;
x（i）=（1-w）*x（i）+w*（b（i）-A（i,:
）*x）;
root=[rootx（i）];
t=abs（x（i）-t）;
ift>e
e=t;
end
end
root
m=m+1;
end
运行结果整理：
松弛因子
迭代次数
松弛因子
迭代次数
1.0
7
1.6
32
1.1
8
1.7
3368（不收敛）
1.2
10
1.8
1946（不收敛）
1.3
13
1.9
1372（不收敛）
1.4
17
1.5
23
例3：
用三种方法分别计算下列方程组并进行比较：
解：
雅克比迭代法
1）改写成等价形式
2）构造迭代公式，即为雅可比迭代公式
3）取初始向量，即代入上式，求出
依次迭代，计算结果如下表：
要求精度
迭代次数
方程组的近似解
0.01
7
（1.0994,1.1994,1.2993）
0.001
9
（1.0999，1.1999,1.2999）
0.0001
13
（1.1000,1.2000,1.3000）
高斯-赛德尔迭代法
1）原方程组改为等价方程组
2）构造迭代公式，即为高斯-赛德尔迭代公式
3）取初始向量，即代入上式，求出
迭代计算下去，得下表.
要求精度
迭代次数
方程组的近似解
0.01
4
（1.0931，1.1957,1.2978）
0.001
5
（1.0991,1.1995,1.2997）
0.0001
7
（1.1000,1.2000,1.3000）
超松驰迭代法（取松驰因子）.
利用SOR方法，构造迭代公式
与高斯-赛德尔方法相同，初值为.迭代计算结果列于下表.
要求精度
迭代次数
方程组的近似解
0.01
5
（1.0986,1.1998,1.0331）
0.001
7
（1.0999,1.2000,1.2999）
0.0001
8
（1.1000,1.2000,1.3000）
代码：
1.雅可比迭代法
function[x,k]=jacobi（A,b,x0,esp）%k为迭
A=input（'InputA='）;
b=input（'Inputb='）;
x0=input（'Inputx0='）;
esp=1.0e-5;
k=0;
n=length（b）;
x=x0;
whilemax（abs（b-A*x0））>esp&k<=500;fori=1:
n
sum=0;
forj=1:
n
ifj~=i
sum=sum+A（i,j）*x0（j）;end
end
x（i）=（b（i）-sum）/A（i,i）;end
x0=x;
k=k+1;
ifk>500
fprintf（'迭代达到上限'）
return
end
end
k
InputA=[10-1-2;-110-2;-1-15];
Inputb=[7.28.34.2]';
Inputx0=[000]'
运行结果：
k=
13
ans=
1.1000
1.2000
1.3000
2.高斯-赛德尔迭代法
clear;clc;
A=[1031;2-103;1310];
b=[14-514]';
N=length（b）;%解向量的维数
fprintf（'库函数计算结果：
'）;
x=inv（A）*b%库函数计算结果
x=zeros（N,1）;%迭代初始值
%-----（A=D-E-F）------
D=diag（diag（A））;
E=-tril（A,-1）;%下三角
F=-triu（A,1）;%上三角
B=inv（D-E）*F;g=inv（D-E）*b;
eps=0.0001;%相邻解的距离小于该数时，结束迭代
%--------开始迭代-------
fork=1:
100%最大迭代次数为100
fprintf（'第%d次迭代：
',k）;
y=B*x+g;
fprintf（'\n与上次计算结果的距离（2范数）:
%f?
\n',norm（x-y）^2）;ifnorm（x-y）break;
end
x=y
end
x
运行结果：
k=
7
x=
1.0000
1.0000
1.0000
3.松弛迭代法
w=1.3;dalt=1.0e-2;
A=[10,-1,-2;-1,10,-2;-1,-1,5];
b=[7.2,8.3,4.2]';
r=size（b）;a=b;
x0=zeros（3,1）;
x=x0;
r=r
（1）;m=0;e=1;
fort=1:
r
a（t）=A（t,t）;
A（t,t）=0;
A（t,:
）=A（t,:
）/a（t）;
end
b=b./a;
root=[0x']
whilee>dalt
root=m;
e=0;
fori=1:
r
t=x（i）;
x（i）=（1-w）*x（i）+w*（b（i）-A（i,:
）*x）;
root=[rootx（i）];
t=abs（x（i）-t）;
ift>e
e=t;
end
end
root
m=m+1;
end
运行结果：
root=
0000
root=
00.93601.20071.6475
root=
1.00001.23961.30831.2602
root=
2.00001.06181.15221.2896
root=
3.00001.10251.21201.3069
root=
4.00001.10261.19851.2982
root=
5.00001.09861.19981.3001
例4：
用三种方法分别计算下列方程组并进行比较：
解：
雅克比迭代法
2）改写成等价形式
2）构造迭代公式，即为雅可比迭代公式
3）取初始向量，即代入上式，求出
依次迭代，计算结果如下表：
要求精度
迭代次数
方程组的近似解
0.01
21
（1.1986,1.3939,1.5977,0.7962）
0.001
32
（1.1996,1.3998,1.5994,0.7999）
0.0001
53
（1.2000,1.4000,1.6000,0.8000）
高斯-赛德尔迭代法
1）原方程组改为等价方程组
2）构造迭代公式，即为高斯-赛德尔迭代公式
3）取初始向量，即代入上式，求出
迭代计算下去，得下表.
要求精度
迭代次数
方程组的近似解
0.01
8
（1.1880,1.3843,1.5873,0.7936）
0.001
14
（1.1991,1.3988,1.5990,0.7995）
0.0001
19
（1.1999,1.3999,1.5999,0.7999）
超松驰迭代法（取松驰因子）.
利用SOR方法，构造迭代公式
与高斯-赛德尔方法相同，初值为.迭代计算结果列于下表.
要求精度
迭代次数
方程组的近似解
0.01
6
（1.1961,1.3984,1.5987,0.7994）
0.001
8
（1.1998,1.4000,1.6002,0.8000）
0.0001
12
（1.2000,1.4000,1.6000,0.8000）
代码：
1.雅可比迭代法
function[x,k]=jacobi（A,b,x0,esp）%k为迭
A=input（'InputA='）;
b=input（'Inputb='）;
x0=input（'Inputx0='）;
esp=1.0e-2;
k=0;
n=length（b）;
x=x0;
whilemax（abs（b-A*x0））>esp&k<=500;fori=1:
n
sum=0;
forj=1:
n
ifj~=i
sum=sum+A（i,j）*x0（j）;end
end
x（i）=（b（i）-sum）/A（i,i）;end
x0=x;
k=k+1;
ifk>500
fprintf（'迭代达到上限'）
return
end
end
k
InputA=[2-100;-12-10;0-12-1;00-12];
Inputb=[1010]';
Inputx0=[1111]'
运行结果：
k=
21
ans=
1.1986
1.3939
1.5977
0.7962
2.高斯-赛德尔迭代法
clear;clc;
A=[2-100;-12-10;0-12-1;00-12];
b=[1010]';
N=length（b）;%解向量的维数
fprintf（'库函数计算结果：
'）;
x=inv（A）*b%库函数计算结果
x=ones（N,1）;%迭代初始值
%-----（A=D-E-F）------
D=diag（diag（A））;
E=-tril（A,-1）;%下三角
F=-triu（A,1）;%上三角
B=inv（D-E）*F;g=inv（D-E）*b;
eps=0.01;%相邻解的距离小于该数时，结束迭代
%--------开始迭代-------
fork=1:
100%最大迭代次数为100
fprintf（'第%d次迭代：
',k）;
y=B*x+g;
fprintf（'\n与上次计算结果的距离（2范数）:
%f?
\n',norm（x-y）^2）;ifnorm（x-y）break;
end
x=y
end
x
运行结果：
k=
8
x=
1.1880
1.3843
1.5873
0.7936
3.松弛迭代法
w=1.4;dalt=1.0e-2;
A=[2-100;-12-10;0-12-1;00-12];
b=[1010]';
r=size（b）;a=b;
x0=ones（4,1）;
x=x0;
r=r
（1）;m=0;e=1;
fort=1:
r
a（t）=A（t,t）;
A（t,t）=0;
A（t,:
）=A（t,:
）/a（t）;
end
b=b./a;
root=[0x']
whilee>dalt
root=m;
e=0;
fori=1:
r
t=x（i）;
x（i）=（1-w）*x（i）+w*（b（i）-A（i,:
）*x）;
root=[rootx（i）];
t=abs（x（i）-t）;
ift>e
e=t;
end
end
root
m=m+1;
end
运行结果：
root=
01.00001.00001.70000.7900
root=
1.00001.00001.49001.61600.8152
root=
2.00001.34301.47531.65690.8338
root=
3.00001.19551.40661.60550.7903
root=
4.00001.20641.40571.59500.8004
root=
5.00001.20141.39521.59890.7991
root=
6.00001.19611.39841.59870.7994
四、实验结果比较和分析
由例1可得，如果高斯-塞德尔迭代法不收敛，雅可比迭代法收敛，松弛法的迭代因子没取好，雅可比迭代法收敛更快。
由例2可得对于松弛法，不同的收敛因子，会得到不同的收敛结果。
由例3可得，如果雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法同时收敛，松弛法的松弛因子选定较差，高斯-塞德尔迭代法的收敛速度比较快。
由例4可得，当松弛法的松弛因子取得比较好时，在三种方法同时收敛的情况下，松弛法收敛比较快。
五、成员分工：
组长：
谭孜任务：
查找资料，完善整个设计文档
成员：
李德辉任务：
上机操作，输出结果及调试
成员：
叶青青任务：
整篇文档的设计及部分代码的修改
成员：
琚超人任务：
整理完成结果分析
六、参考文献
[1]李庆扬、王能超、易大义《数值分析第5版》清华大学出版社
[2]宋岱才SOR迭代法的一个收敛性定理
[3
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