高考圆锥曲线题型归类总结.doc
《高考圆锥曲线题型归类总结.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考圆锥曲线题型归类总结.doc(14页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
圆锥曲线的七种常考题型
题型一:
定义的应用
1、圆锥曲线的定义:
(1)椭圆
(2)双曲线
(3)抛物线
2、定义的应用
(1)寻找符合条件的等量关系
(2)等价转换,数形结合
3、定义的适用条件:
典型例题
例1、动圆M与圆C1:
内切,与圆C2:
外切,求圆心M的轨迹方程。
例2、方程表示的曲线是
题型二:
圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):
1、椭圆:
由分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
2、双曲线:
由系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;
3、抛物线:
焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
典型例题
例1、已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是
例2、当k为何值时,方程表示的曲线:
(1)是椭圆;
(2)是双曲线.
题型三:
圆锥曲线焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题
1、常利用定义和正弦、余弦定理求解
2、,四者的关系在圆锥曲线中的应用
典型例题
例1、椭圆上一点P与两个焦点的张角,
求的面积。
例2、已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且,.求该双曲线的标准方程
题型四:
圆锥曲线中离心率,渐近线的求法
1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式,可求离心率,渐进线的值;
2、a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式,可求离心率,渐进线的最值或范围;
3、注重数形结合思想不等式解法
典型例题
例1、已知、是双曲线()的两焦点,以线段为边作正三角形,若边的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是()
A. B. C. D.
例2、双曲线的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为
A.(1,3) B. C.(3,+) D.
例3、椭圆:
的两焦点为,椭圆上存在
点使.求椭圆离心率的取值范围;
例4、已知双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
题型五:
点、直线与圆锥的位置关系判断
1、点与椭圆的位置关系
点在椭圆内
点在椭圆上
点在椭圆外
2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题:
>0相交
=0相切(需要注意二次项系数为0的情况)
<0相离
3、弦长公式:
4、圆锥曲线的中点弦问题:
1、韦达定理:
2、点差法:
(1)带点进圆锥曲线方程,做差化简
(2)得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系
典型例题
例1、双曲线x2-4y2=4的弦AB-被点M(3,-1)平分,求直线AB的方程.
例2、已知中心在原点,对称轴在坐标轴上的椭圆与直线l:
x+y=1交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=2,O为坐标原点,OC的斜率为,求椭圆的方程。
题型六:
动点轨迹方程:
1、求轨迹方程的步骤:
建系、设点、列式、化简、确定点的范围;
2、求轨迹方程的常用方法:
(1)直接法:
直接利用条件建立之间的关系;
例1、如已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4,求P的轨迹方程.
(2)待定系数法:
已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。
例2、如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为
(3)定义法:
先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;
例3、由动点P向圆作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=600,则动点P的轨迹方程为
例4、点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______
例5、一动圆与两圆⊙M:
和⊙N:
都外切,则动圆圆心的轨迹为
(4)代入转移法:
动点依赖于另一动点的变化而变化,并且又在某已知曲线上,则可先用的代数式表示,再将代入已知曲线得要求的轨迹方程:
例6、如动点P是抛物线上任一点,定点为,点M分所成的比为2,则M的轨迹方程为__________
(5)参数法:
当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。
例7、过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点,则弦AB的中点M的轨迹方程是
题型七:
(直线与圆锥曲线常规解题方法)
一、设直线与方程;(提醒:
①设直线时分斜率存在与不存在;②设为y=kx+b与x=my+n的区别)
二、设交点坐标;(提醒:
之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”)
三、联立方程组;
四、消元韦达定理;(提醒:
抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单)
五、根据条件重转化;常有以下类型:
①“以弦AB为直径的圆过点0”(提醒:
需讨论K是否存在)
②“点在圆内、圆上、圆外问题”
“直角、锐角、钝角问题”“向量的数量积大于、等于、小于0问题”
>0;
③“等角、角平分、角互补问题”斜率关系(或);
④“共线问题”
(如:
数的角度:
坐标表示法;形的角度:
距离转化法);
(如:
A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等);
⑤“点、线对称问题”坐标与斜率关系;
⑥“弦长、面积问题”
转化为坐标与弦长公式问题(提醒:
注意两个面积公式的合理选择);
六、化简与计算;
七、细节问题不忽略;
①判别式是否已经考虑;②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.
基本解题思想:
1、“常规求值”问题:
需要找等式,“求范围”问题需要找不等式;
2、“是否存在”问题:
当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解;
3、证明定值问题的方法:
⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无关;⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。
4、处理定点问题的方法:
⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明
5、求最值问题时:
将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决;
6、转化思想:
有些题思路易成,但难以实施。
这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验;
7、思路问题:
大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来,即可自然而然产生思路。
典型例题:
例1、已知点,直线:
,为平面上的动点,过点作直线的垂线,垂足为,且.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)已知圆过定点,圆心在轨迹上运动,且圆与轴交于、两点,设,,求的最大值.
例2、如图半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆心,且OD⊥AB,Q为线段OD的中点,已知|AB|=4,曲线C过Q点,动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N,且M在D、N之间,设=λ,求λ的取值范围.
例3、设、分别是椭圆:
的左右焦点。
(1)设椭圆上点到两点、距离和等于,写出椭圆的方程和焦点坐标;
(2)设是
(1)中所得椭圆上的动点,求线段的中点的轨迹方程;
(3)设点是椭圆上的任意一点,过原点的直线与椭圆相交于,两点,当直线,的斜率都存在,并记为, ,试探究的值是否与点及直线有关,并证明你的结论。
例4、已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆相交于,两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:
直线过定点,并求出该定点的坐标.
例5、已知椭圆两焦点、在轴上,短轴长为,离心率为,是椭圆在第一
象限弧上一点,且,过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆
于A、B两点。
(1)求P点坐标;
(2)求证直线AB的斜率为定值;
典型例题:
例1、
由①、②解得,.
不妨设,,
∴,.
∴
,③
当时,由③得,.
当且仅当时,等号成立.
当时,由③得,.
故当时,的最大值为.
例2、解:
(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,O为原点,建立平面直角坐标系,
∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2>|AB|=4.
∴曲线C为以原点为中心,A、B为焦点的椭圆.
设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1.
∴曲线C的方程为+y2=1.
(2)设直线l的方程为y=kx+2,
代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.
Δ=(20k)2-4×15(1+5k2)>0,得k2>.由图可知=λ
由韦达定理得
将x1=λx2代入得
两式相除得
①
M在D、N中间,∴λ<1 ②
又∵当k不存在时,显然λ=(此时直线l与y轴重合)
综合得:
1/3≤λ<1.
例3、解:
(1)由于点在椭圆上,得2=4,…2分
椭圆C的方程为,焦点坐标分别为……4分
(2)设的中点为B(x,y)则点………………………5分
把K的坐标代入椭圆中得……………7分
线段的中点B的轨迹方程为………………………8分
(3)过原点的直线L与椭圆相交的两点M,N关于坐标原点对称
设,
在椭圆上,应满足椭圆方程,得……10分
==……………………………13分
故:
的值与点P的位置无关,同时与直线L无关,………………14分
例4、解:
(Ⅰ)椭圆的标准方程为.…………(5分)
(Ⅱ)设,,
联立得,
又,
因为以为直径的圆过椭圆的右焦点,
,即,
,,
.
解得:
,,且均满足,
1、当时,的方程为,直线过定点,与已知矛盾;
2、当时,的方程为,直线过定点.
所以,直线过定点,定点坐标为.…………(14分)
例5、解
(1)。
,设
则
点在曲线上,则
从而,得,则点的坐标为
(2)由
(1)知轴,直线PA、PB斜率互为相反数,设PB斜率为,
则PB的直线方程为:
由得
设则
同理可得,则
所以:
AB的斜率为定值
例6、解:
(1)由,
得……………………3分
∴夹角的取值范围是()……6分
(2)
………8分
………………10分
∴当且仅当
或…………12分
椭圆长轴
或
故所求椭圆方程为.或…………14分