听课手册 第57讲用样本估计总体Word文件下载.docx
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4.样本的数字特征
（1）众数、中位数、平均数
数字特征
定义与求法
优点与缺点
众数
一组数据中重复出现次数 的数
众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数,但显然它对其他数据信息的忽视使它无法客观地反映总体特征
中位数
将一组数据按大小依次排列,把处在 位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫作这组数据的中位数
中位数等分样本数据所占频率,它不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是优点,但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点
平均数
如果有n个数据x1,x2,…,xn,那么这n个数的平均数=
平均数与每一个样本数据都有关,可以反映出更多的关于样本数据全体的信息,但平均数受数据中极端值的影响较大,使平均数在估计总体时可靠性降低
（2）标准差、方差
①标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示,s=,其中xi（i=1,2,3,…,n）是样本数据,n是样本容量,是 .
②方差:
标准差的平方s2,s2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2].
（3）平均数、方差的性质:
①若数据x1,x2,…,xn的平均数为,则mx1+a,mx2+a,mx3+a,…,mxn+a的平均数是m+a.
②若数据x1,x2,…,xn的方差为s2,则x1+a,x2+a,…,xn+a的方差也为s2,ax1,ax2,…,axn的方差为a2s2.
题组一 常识题
1.[教材改编]2000辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图10-57-1所示,则时速（单位:
km/h）在[50,60）的频率为 ,此范围内的汽车大约有 辆.
图10-57-1
图10-57-2
2.[教材改编]某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图10-57-2所示,从茎叶图的分布情况看, 运动员的发挥更稳定, 运动员的水平较高.（填“甲”或“乙”）
图10-57-3
3.[教材改编]若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分的茎叶图如图10-57-3所示,则这组数据的中位数是 ,平均数是 .
题组二 常错题
◆索引:
频率分布直方图与茎叶图的识图不清;
对方差、平均数的统计意义的认识有误.
4.某人到甲、乙两市各7个小区调查空置房情况,将调查得到的小区空置房的套数绘制成了如图10-57-4所示的茎叶图,则调查中甲市空置房套数的中位数为 ,乙市空置房套数的中位数为 .
图10-57-4
图10-57-5
5.某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图10-57-5所示,分组为[20,30）,[30,40）,[40,50）,[50,60],其中支出（单位:
元）在[50,60]内的学生有30人,则n的值为 .
6.甲、乙、丙三人投掷飞镖,他们的成绩（环数）的频数条形统计图如图10-57-6所示,则甲、乙、丙三人成绩的方差,,的大小关系是 .
图10-57-6
7.若数据x1,x2,x3,…,xn的平均数=5,方差s2=2,则数据3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的平均数为 ,方差为 .
探究点一 频率分布直方图
例1[2018·
内蒙古包头一模]从某食品厂生产的面包中抽取100个,测量这些面包的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:
质量指标
值分组
[75,85）
[85,95）
[95,105）
[105,115）
[115,125]
频数
8
22
37
28
5
（1）在图10-57-7上作出这些数据的频率分布直方图.
（2）估计这种面包质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（3）根据以上抽样调查数据,能否认为该食品厂生产的这种面包符合“质量指标值不低于85的面包至少要占全部面包的90%”的规定?
图10-57-7
[总结反思]
（1）绘制频率分布直方图时的两个注意点:
①制作好频率分布表后,可以利用各组的频率之和为1来检验该表是否正确;
②频率分布直方图的纵坐标是,而不是频率.
（2）由频率分布直方图进行相关计算时,需掌握的两个关系式:
①×
组距=频率;
②=频率,此关系式的变形为=样本容量,样本容量×
频率=频数.
变式题[2018·
河南八市测评]某校对高二
（1）班的数学期末考试成绩进行了统计,发现该班学生的分数都在90到140之间,其频率分布直方图如图10-57-8所示.若分数在130~140的人数为2,则分数在100~120的人数为（ ）
A.12B.28
C.32D.40
图10-57-8
图10-57-9
（2）[2018·
陕西榆林二中月考]某学校为了调查学生在学科教辅书方面的支出情况,抽出了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图10-57-9所示,分组为[10,20）,[20,30）,[30,40）,[40,50],其中支出（单位:
元）在[30,40）的同学比支出在[10,20）的同学多26人,则n的值为 .
探究点二 茎叶图
例2某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）,绘制了如图10-57-10所示的茎叶图.
甲部门
乙部门
3
59
4
0448
97
122456677789
97665332110
6
011234688
98877766555554443332100
7
00113449
6655200
123345
632220
9
011456
10
000
图10-57-10
（1）分别求出该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数;
（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率;
（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.
[总结反思]茎叶图的识别与绘制需注意:
（1）“叶”的位置上的数字只能是一位数,而“茎”的位置上的数字位数一般不需要统一;
（2）重复出现的数据要重复记录,不能遗漏,特别注意“叶”的位置上的数据.
变式题
（1）[2018·
石家庄二中三模]“五四青年节”活动中,高三
（1）班和高三
（2）班进行了3场知识辩论赛,比赛得分情况的茎叶图如图10-57-11所示,其中高三
（2）班得分有一个数字被污损,无法确认,假设这个数字x具有随机性,那么高三
（2）班的平均得分大于高三
（1）班的平均得分的概率为（ ）
A.B.
C.D.
图10-57-11
图10-57-12
（2）某老师从自己所带的两个班级中各抽取6人,记录他们的期末考试成绩（单位:
分）,得到如图10-57-12所示的茎叶图.已知甲班6名同学成绩的平均数为82,乙班6名同学成绩的中位数为77,则x-y=（ ）
A.3B.-3
C.4D.-4
探究点三 样本的数字特征
例3某市有210名初中生参加数学竞赛预赛,随机调阅了60名学生的答卷,将这60名学生的成绩（满分10分）进行统计,绘制如下表格:
成绩
1分
2分
3分
4分
5分
6分
7分
8分
9分
10分
人数
15
21
12
（1）求样本的平均值和标准差（精确到0.01）;
（2）若规定预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛,试估计有多少名学生可以参加复赛.
[总结反思]平均数与方差都是重要的数字特征,是对总体的一种简明的描述,它们所反映的情况有着重要的实际意义,平均数、中位数、众数描述其集中趋势、平均水平,方差和标准差描述其波动大小、稳定性.
例4为了弘扬民族文化,某中学举行了“我爱国学,传诵经典”考试,并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本,其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生,得到成绩的频率分布直方图如图10-57-13所示.
（1）若该所中学共有2000名学生,试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数.
（2）①试估计这次参加考试的学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）;
②若在样本中,利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人,再从中抽取3人赠送一套国学经典,试求恰好抽中2名优秀生的概率.
图10-57-13
[总结反思]利用频率分布直方图估计样本的数字特征的方法:
①中位数:
在频率分布直方图中,中位数左边和右边的小矩形的面积相等,由此可以估计中位数的值.
②平均数:
平均数的估计值等于每个小矩形的面积分别乘小矩形底边中点的横坐标之和.
③众数:
最高的矩形的中点的横坐标.
重庆诊断]记5个互不相等的正实数的平均值为,方差为A,去掉其中某个数后,记余下4个数的平均值为,方差为B,则下列说法中一定正确的是（ ）
A.若=,则A<
BB.若=,则A>
B
C.若<
则A<
BD.若<
则A>
福建龙岩质检]如图10-57-14是由某校高三
（1）班上学期期末数学考试成绩整理得到的频率分布直方图,由此估计该班学生成绩的众数、中位数（精确到0.1）分别为（ ）
图10-57-14
A.105,103B.115,125
C.125,113.3D.115,113.3
完成课时作业（五十七）
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