高等数学（少学时）（第二版） 第5章 定积分及其应用 第５章教案 （本章节完整）.doc

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《高等数学》（少学时）教案

数学史话

在一切理论成就中，未必再有什么象１７世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了．如果在某个地方我们看到了人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是在这里．

―――恩格斯

积分的起源

中国古代数学家对面积、体积问题进行过大量研究，其中一些工作可以被看作积分思想的萌芽．公元263年，魏晋间杰出数学家刘徽为《九章算术》作注，在关于面积、体积的多处注文中体现了初步的积分思想．14世纪20年代至40年代，牛津大学默顿学院（MertonCollege）的一批逻辑学家和自然哲学家在研究所谓“形态幅度”时，得到一个重要结果：

如果一个物体在给定的一段时间内进行匀加速运动，那么它经过的总距离s等于它在这段时间内以初速度v0和末速度vt的平均速度（既在这一段时间的中点的瞬时速度）进行匀速运动所经过的距离．14世纪中叶，法国学者奥而斯姆（N.Oresme,约1323-1382）应用他的均匀变化率概念和图解表示法给出了上述例题的几何证明．他的证明虽然在近代意义下不太严格，但基本思想与后来的定积分相当接近．17世纪上半叶，欧洲一些数学家继承并发展了历史上的“不可分量”方法以处理面积、体积问题，成为积分方法的直接先导．意大利数学家卡瓦列里的《用新的方法推进连续体的不可分量几何学》（1635）标志着求积方法的一个重要进展．在这部著作中，卡瓦列里提出了一个较为一般的求积方法．大约在1637年，法国数学家费马（P.deFermat,1601-1665）完成了一篇手稿《求最大值和最小值的方法》．在积分概念与方法的早期发展中，这一工作占有极其重要的地位．费马不仅成功地克服了卡瓦列里不可分量方法的致命弱点，而且几乎采用了近代定积分的全部过程．

1666年10月，牛顿完成了他在微积分学方面的开创性论文《流数短论》，在这篇短文中，牛顿不仅讨论了如何借助反微分来解决积分问题，即微积分基本定理，而且明确指出反微分“总能做出可以解决的一切问题”．与牛顿的积分概念不同，莱布尼兹的积分的曲线下面积的分割求和或者说是微分的无穷和，也就是今天所说的定积分．明确地将积分等同于高为y、宽为dx的一些无穷小矩形之和．1686年莱布尼兹发表了他的第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》，这篇论文论述了积分与微分或切线问题的互逆关系，正是在这篇论文中，积分号“”第一次出现于印刷出版物上．后来获得普遍的接受并沿用至今．

定积分是组成积分学的另一基本部分，它与不定积分在概念上有根本的区别又有密切的联系．定积分在工程和科学技术领域内有着广泛的应用．本章将从实际例题出发引出定积分概念，然后讨论定积分的性质、计算方法及定积分在几何、物理等方面的应用．

5.1定积分的概念与性质

5.1.1两个实例

1.曲边梯形的面积

在直角坐标系下，由闭区间上的连续曲

线（，直线

（即轴）所围成的平面图形叫作曲边梯形

（如图5-1）．在轴上区间内的线段叫作曲

边梯形的底．

下面讨论曲边梯形面积的计算问题．

在初等数学中，我们知道矩形面积＝底高，将曲边梯形和矩形作比较，区别在于：

矩形的四边是直的，而曲边梯形有一边是曲的．这样就导致曲边梯形的高是随的变化而变化的，计算其面积就有难度．但由于曲线是连续的，所以，当点在区间上变化很小时，则相应的高也就变化不大．基于这种想法，可以用一组垂直于x轴的直线将曲边梯形分割成若干个小

曲边梯形，然后对每一个小曲边梯形都作一个相应的

小矩形，用小矩形的面积来代替小曲边梯形的面积．

这样用这些矩形的面积和就可以近似地代替曲边梯形

的面积．显然，分割得越细，近似程度就越好，

当这种分割无限加细，即把区间无限细分，使

每个小区间长度趋于零，则所有小矩形的面积之和的

极限就是曲边梯形的面积．

根据以上分析，我们可按如下步骤计算曲边梯形图5—2

的面积，如图5-2所示

（1）分割：

任取分点把区间分成n个小区间

．

小区间段的长度．

图５－１

图５－２

过每个分点作轴的垂线，把曲边梯形AabB分成n个小曲边梯形，每个小曲边梯形的面积记为．

（2）近似代替：

在每个小区间内任取一点，以为高，为底作小矩形，用此小矩形的面积来近似代替小曲边梯形的面积，即

．

（3）求和：

把这n个小矩形的面积加起来，就得到曲边梯形的面积S的近似值，即

记为

（4）取极限：

若用表示所有小区间长度的最大者，当时，和式的极限就是曲边梯形的面积，即

可见曲边梯形的面积是一个和式的极限．

2.变速直线运动的路程

设一物体作直线运动，已知速度是时间的连续函数，求在时间间隔上物体所经过的路程．

我们知道，对于匀速直线运动，有公式：

路程＝速度时间．现在速度不是常量，因此，不能直接使用这个公式计算路程．然而物体运动的速度变化是连续的，在很短的时间内，速度变化很小，可近似于匀速．因此，完全可以用类似于求曲边梯形面积的方法来计算路程．

（1）分割：

任取分点把区间分成n个小时间段．第个小区间段的长度．物体在该时间段内经过的路程记为．

（2）近似代替：

在每个小时间段上任取一时刻，并以时刻的速度代替时间段上的各时刻的速度，得到在时间内经过的路程的近似值，即

（3）求和：

把这n个小时间段经过的路程相加，就得到变速直线运动路程的近似值，即

记为.

（4）取极限：

若用表示所有小区间长度的最大者，当时，和式的极限就是曲边梯形的面积，即

可见变速直线运动的路程也一个和式的极限．

5.1.2定积分定义

定义设函数为区间上有的有界函数．任意取分点

将区间分成n个小区间，其长度记为

，．

在每个小区间上，任取一点，得相应的函数值，作乘积

，

把所有这些乘积加起来，得和式

记，当时，如果上述和式的极限存在，则称函数在区间上可积，并将此极限值称为函数在上的定积分．记作

，即

．

其中称为被积函数，称为被积表达式，叫做积分变量，

为积分区间，为积分下限，为积分上限．符号读作函数从到的定积分．

根据定积分的定义，上面两个例子都可以表示为定积分：

（1）曲边梯形的面积S是曲边函数在区间上的定积分，即

；

（2）变速直线运动的路程S是速度函数在时间间隔上的定积分，即

.

关于定积分的定义，作以下几点说明：

（1）定积分值是一个常数，它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的符号无关，即

．

（2）可以证明，闭区间上连续函数或只有有限个第一类间断点的函数是可积的．

（3）该定义是在积分下限小于积分上限的情况下给出的， 如果时，规定：

5.1.3定积分的几何意义

1.当时，定积分在几何上表示曲线与直及轴所围成的曲边梯形的面积（图5-1）．

2.当时，定积分在几何上表示曲线与直线及轴所围成的曲边梯形的面积的负值（图5-3）．

3.若函数在上有正有负时，定积分在几何上表示曲线与直线及轴所围成的各种图形面积的代数和，在轴上方的图形面积取正值，在轴下方的图形面积取负值（图5-4）．

图５－３

图５－４

5.1.4定积分的基本性质

性质1常数因子可以提到积分号外面来，即

性质2两个函数的代数和的定积分等于定积分的代数和，即

性质3如果被积函数（K为任意常数），则

特别地，当=1时

性质4（积分对区间的可加性）如果积分区间被分成两个小区间及，则

性质5若在上有≤，则

≤

这个性质说明，若比较两定积分的大小，只要比较被积函数的大小即可．

性质6（估值定理）若M和m分别是函数在上的最大值和最小值，则

≤≤

性质7（定积分中值定理）如果在区间内连续，则在内至少存在一点≤≤，使得

它的几何解释是；一条连续曲线

在上曲边梯形面积等于以区间长度

为底，中一点的函数值为高的矩形面积，如图5-5所示．

利用几何意义说明性质．

图5-5

【例1】利用定积分的性质，比较与积分值的大小.

解在区间上，满足不等示，0≤≤

因此，≤，由定积分的性质5，得

≤

【例2】估计下列定积分的值：

（1）

（2）

解

（1）因为4≤≤9，所以2≤≤3，从而有

5≤≤6

由性质6知

5（9-4）≤≤6（9-4）

即

25≤≤30

（2）首先，求在区间上的最大值和最小值，为此，求，令，得驻点．

比较驻点，区间端点的函数值

得最小值最大值

由性质6知

小结：

定积分的概念和性质

5.2牛顿－莱布尼兹公式

在上节我们给出了定积分的定义，那么怎样计算定积分呢？

因为定积分定义为和式的极限，如果用定义来计算，往往是非常复杂的，有时甚至无法计算．因此，我们必须寻求计算定积分的简单而有效的方法．这就是牛顿－莱布尼兹公式或称微积分的基本公式．

5.2.1变上限定积分

定义设函数在区间上连续，为上的任意一点，则积分存在，将称为变上限定积分，它是上限变量的函数．记作，即

．

变上限定积分有下面的重要性质．

定理1若函数在区间上连续，则变上限定积分

在区间上可导，并且它的导数等于被积函数，即

定理1告诉我们，变上限定积分是函数在区间上的一个原函数，这就肯定了连续函数的原函数总是存在的，所以，上述定理也称为原函数存在定理．

【例1】求下列函数的导数：

（1）

（2）

（3）（4）

解

（1）根据定理1，得

（2）根据定理1，得

（3）积分上限是，它是的函数，所以，变上限定积分是的复合函数，由复合函数求导法则，得

（4）由于积分的上下限都是变量，先把它拆成两个积分之和，然后再求导．

5.2.2牛顿－莱布尼兹公式

定理2如果函数在区间上的连续，是在上的任一原函数，则

证明：

已知是在上的一个原函数，而

也是在上的一个原函数，故有

即=

将代入，得

=

于是有

即

所以

将代入，得

=

将改为，得

=

上式称为牛顿－莱布尼兹公式，也称为微积分基本公式．该公式充分表达了定积分与不定积分之间的内在联系，它把定积分的计算问题转化为求原函数问题，从而为定积分计算提供了一个简单而有效的方法．

为方便起见，我们把记为或，这样，上述公式就可写成如下形式：

【例2】

解

【例3】

解

＝

【例4】

解

＝

【例5】设求

解利用定积分对区间的可加性，得

小结：

莱布尼兹公式．

5.3定积分的换元积分法与分部积分法

在计算定积分时，如果利用不定积分的基本公式或第一类换元积分法就可以求得被积函数的原函数，则可直接利用牛顿－莱布尼兹公式求得定积分的解．但是，如果用第二类换元积分法或分部积分法求出定积分中被积函数的原函数之后，再利用牛顿－莱布尼兹公式求定积分，这种方法往往是很麻烦的，本节我们来介绍计算定积分的换元积分法与分部积分法．

5.3.1定积分的换元积分法

先看下面的例题．

【例1】求．

解首先求，用不定积分换元积分法．

令，则，于是

其次应用牛顿－莱布尼兹公式得

＝

如果在换元的同时，根据所设的代换，相应地改变定积分的上下限：

当时，相应地，则不必将换回，就能求得定积分．即

定理1如果函数在区间上连续，设在区间上单调且在该区间上连续，并满足

（1）；

显然后一种算法要简单，因为中间略去了把新变量换回原变量这一步骤．

考虑：

定积分的换元法与不定积分的换元法有什么不同？

（2）当从变到时，总有，则

上式称为定积分的换元公式．

【例2】求

解令，则，从而

当时，时，

【例3】求

解　　令，则，则

当时，时，

　　　　　　＝

【例４】证明

解令

当时，时，

要注意“换元同时换限”以及不一定小于．

【例５】设函数在区间上连续，求证：

（1）当为偶函数时，有

（2）当为奇函数时，有

证明由定积分对区间的可加性，得

对积分作变换当时，时，，则有

于是

（1）当为偶函数时，有，则

（2）当为奇函数时，有，则

【例６】求

解易知为奇函数，因此

5.3.2定积分的分部积分法

定理2设函数在区间上有连续导数，则有

即

此例可当作公式来应用．

【例７】求

解设则

＝

【例８】求

解

【例９】求

解

＝

＝＝

【例１０】求

解先用换元法，再用分部积分法．

【例１１】求

解

＝

＝

＝

所以

2

即

小结：

定积分的换元法与分部积分法．

＊5.4广义积分

前面所讲的定积分，积分区间都是有限闭区间，并且被积函数在该积分区间上都是有界函数，这样的定积分称为常义积分．但是在实际问题中，有时还得考虑无限区间上的定积分或无界函数的定积分，因此有必要将定积分概念推广到上述情况，这两类被推广的定积分统称为广义积分．

5.4.1无限区间上的广义积分

定义1如果函数在区间上连续，取如果极限

，

存在，则称此极限为函数在无限区间上的广义积分，记为，

即

这时也称广义积分收敛；否则称广义积分发散．

同理，可以定义广义积分

（）

与

=+

可见，求广义积分的基本思路是：

先计算常义积分，再取极限．

【例1】判断广义积分的敛散性．

解

因此，广义积分发散．

【例2】求

解

＝

＝

＝

＝－1

【例3】求

解

【例4】证明广义积分，当时收敛，当时发散．

证明当时，

当时，

综上所述，广义积分当时收敛，当≤1时发散．

5.4.2无界函数的广义积分

定义2如果函数在区间上连续，且

．取，如果极限

存在，则称此极限为函数在无限区间上的广义积分，记为，即

＝

这时也称广义积分收敛；否则称广义积分发散．

同理，如果函数在区间上连续，且．取，则称为在区间上的广义积分，记为

如果上述极限存在，则称广义积分收敛；若该极限不存在，则称广义积分发散．

若函数在区间上除去点以外连续，且，则当和都收敛时，称广义积分收敛，且

+，

否则称广义积分发散．

【例5】求

解因为，所以它是无界函数的广义积分，则

＝

【例6】讨论积分的敛散性．

解因为所以它是无界函数的广义积分，则

所以广义积分发散．

小结：

广义积分的定义和运算．

5.5定积分的应用

本节将讨论定积分在几何与物理方面的一些应用．在讨论前，我们先介绍一下利用定积分解决实际问题的微元法．

5.5.1定积分的微元法

在5.1中利用定积分表达曲边梯形面积时，我们采用了分割、近似代替、求和、取极限这样四步，建立了所求面积的定积分．其中，关键的一步是：

在任意小区间

上求出窄曲边梯形面积的近似值：

，然后求和取极限，就得到所求面积，并表示为定积分

由于的值与对应区间的分法及的取法无关，因此将任意小区间简单地记为，区间长度则为，若取，则以点x出的函数值f（x）为高、dx为底的矩形面积f（x）dx为段所对应的窄曲边梯形的面积的近似值，即

我们将上式右端称为面积的微元（或面积元素）,记作dS．于是

可见面积就是面积微元在区间

上的积分．这种找出微元，并求它在相应区间

上的积分的方法称为微元法．

一般地，需要建立某量F的积分表达式的步骤是：

（1）确定积分变量及积分区间

（2）在内任取一微小区间，

找出部分量的近似值，即量F的微元；

（3）求在区间上的积分，即得所求量F的精确值．

下面我们用微元法讨论定积分在实际问题中的一些应用．

5.5.2定积分在几何中的应用

1.平面图形的面积

（1）求由曲线与直线及轴所围成的平面图形的面积．

图5-6

由上一节知道：

如果≥0，则的微元是

如果在上不是非负的，那么它的面积的微元应是以为高、为底的矩形面积，即

于是，不论是否为非负的，总有

【例1】求由曲线与直线及

轴围成的平面图形的面积．

解如图5-7．

（2）求由两条曲线、与两条直线所围成的平面

图形的面积．

如图5-8，如果≥，则面积的微元是

如果，则面积A的微元是

因此不论什么情况，总有