企业产品最优品种数量确定.docx
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企业产品最优品种数量确定
企业产品最优品种数量确定
一、导?
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言
现实中有趣的现象引发人们的思考，比如如果存在规模经济，为什么企业向市场提供多品种的同类商品？
显然，用范围经济无法解释这一现象。
再比如，历史地考察，企业向市场提供产品的品种数越来越多，是什么力量驱使这一发展？
企业如何确定最优产品品种数量？
经济学家对这一问题的思考主要有两条思路（Eaton and Lipsey, 1989）：
其一是区位思路（address branch），该思路假设消费者偏好分布于某些参数的连续空间内，不同消费者在这个空间内具有不同的最佳位置，即此空间内有不同区位，不同消费者具有不同区位。
企业通过确定恰当的产品差异性和价格实现自身利润最大化。
霍特林（Hotelling, 1929）提供了这一思路研究的基本范式。
在霍特林之前，古诺模型（Cournot’s model）讨论了生产同质产品的两寡头企业间的产量竞争，伯兰特模型（Bertrand’s model）讨论了生产同质产品的两寡头企业间的价格竞争。
霍特林的区位模型（Hotelling’s address branch model）研究了生产同质产品的两寡头企业间的竞争，在这个市场中，买方按地理位置分散，企业通过改变位置和价格进行竞争。
用这种方法，商品被理解为其具有的特征（与需求相关的特性）包；在区位类比分析中，根据商品具有的特征的相对数量，某一特定的商品被认作为定位于一个特征空间中。
每个消费者被认为具有他（她）自己最喜欢的或理想的特征的混合，这些特征都位于该消费者特征空间。
如果消费者的偏好经常变化，则它们将广泛地分散于特征空间中；如果这些偏好比较相似，则它们将聚集于一个小的区域内。
消费者借助相对价格距他们理想要求的相对距离，在产品类中选择他们将买那些（个）产品。
于是，对于产品类中某一特定产品的需求依赖于它的价格、消费者区位分布、以及其他产品的价格和区位（Lancaster, 1989, pp.1057）。
Lerner和Singer （1941）把霍特林模型拓展为两个以上寡头企业间的竞争。
在兰卡斯特（Lancaster, 1966）的产品品质模型中，霍特林的消费者区位分布被产品品质所替代。
兰卡斯特认为，产品由多种品质所组成的，某一特定产品具有特定的品质组合比例。
其二是非区位思路（non-address branch），该思路假设事先存在一个所有可能商品的集合，消费者对差异性产品的偏好限定在该商品集合。
企业所要解决的问题是：
产品选择和产品数量选择，即根据利润最大化原则，在所有可能商品的集合中选择一个子集（哪些商品生产，哪些商品不生产），继而确定该子集中商品的生产量。
对这问题的研究，我们可以追溯到马歇尔。
马歇尔认为（Marshall, 1919, pp.216），“……几乎每一种横向扩张趋向于增加大规模生产的内在经济，但是通常，产品种类的增加减少了在这个方向上的收益。
”换言之，产品种类的增加减少了效率。
大厂商生产那些最需要的产品和/或提供最大程度的分工；它们的产品范围决定于这一条件：
多生产一种产品所增加的成本（由于失去了规模经济）等于所所增加的收入（由于市场范围的扩大）（Vassilakis, 1989, pp.824）。
张伯伦（Chamberlin, 1933）发展出自己的垄断竞争理论，大量相互竞争的厂商在自由进入的条件生产相互差异的产品。
垄断竞争均衡不同于完全竞争的均衡，如果存在规模经济的话，由于产品的差异性，每个厂商的产量将小于最低规模产量，从而存在潜在的资源浪费。
张伯伦均衡引起了争论，一种观点认为，产品差异化从而企业向市场提供多样化产品不是资源的浪费，而是不可分割的多余资源和生产能力的充分利用（Penrose, 1959）；另一种观点则批驳张伯伦模型中的产品间对称性假设，卡尔多（Kaldor, 1935）认为，差异性产品间的替代性是不对称的，从而竞争不是一般化的（generalization），而是区位化的（location），随后许多学者从产业的地理区位角度来研究竞争。
斯彭塞（Spence, 1976）和迪克希特、斯蒂格利茨（Dixit & Stiglitz, 1977）用代表性顾客概念发展了垄断竞争理论，并讨论规模经济与最优产品品种数量间的关系。
本文主要研究企业如何根据市场需求方面和企业供给方面的影响因素决定向市场提供同类商品的产品品种最优数量。
首先，沿袭区位思路，本文假定市场中顾客偏好在区间[0,1]上均匀分布，某一品种产品正好满足区间上某一顾客的偏好，从而用该点顾客偏好与其他点顾客偏好的距离的平方和定义了该类产品的顾客不满意水平指数。
并用顾客不满意水平加上1后的倒数定义了该类产品的顾客满意指数。
其次，构造企业生产函数与区位思路和非区位思路不同，本文承袭杨格（Young, 1928）、斯蒂格勒（Stigler, 1951）、理查德森（Richardson, 1972）和波特（Porter, 1985）关于产业和企业的思想， 定义产业是一个顾客价值创造系统，企业是顾客价值创造系统的子系统。
把企业的价值活动分成两类：
基础性活动和差异性活动。
对同类产品的不同品种来说，基础性活动是共同的，差异性活动是不同的。
同一差异性活动进一步分解成子活动，不同差异性活动的子活动可以自由组合，形成同类产品的不同品种。
其组合数决定了企业向市场提供的同类产品的品种数量。
每一活动需要固定学习费用、活动间的转换成本，并具有不同经济性。
构造企业生产函数的技巧得益于杨小凯等（杨小凯、黄有光, 1993）。
第三，在市场出清的假设下，本文把企业生产函数特称为顾客价值创造函数。
与一般观点所不同的是，本文区分了未经顾客满意指数修正的顾客价值和经顾客满意指数修正的顾客价值。
市场竞争的本质是向顾客提供满意的价值，企业生存有且只有一个理由：
为顾客创造价值，并使经顾客满意指数修正的顾客价值最大化。
基于这种思想，本文构造了企业决策的一般模型。
本文从需求和供给两方面构造了实际中企业所面临的两难选择问题，即若向市场提供单一产品，企业将获得各活动中的规模经济和降低转换成本，但顾客满意度极低；若向市场提供多样化产品，顾客满意度提高，但差异性活动的规模经济可能丧失并且承受转换成本。
第四，本文分析得出了具有微观和中观实用价值的“企业产品最优品种数量确定定理”：
当产品品种数量的变化所引起的顾客满意指数的变化率（即顾客满意指数-产品品种数弹性）与其所引起的顾客价值（未经顾客满意指数修正）变化率（即顾客价值-产品品种数弹性）相等时，企业所创造的顾客满意价值（修正后的）最大。
并由此得出了一些推论。
第五，本文最后以汽车产业发展为例，考察了企业生产方式的演进历史，从而历史地证明了本文研究的结论。
技术进步和社会进步产生需求多样化、个性化的张力，同时提高企业生产多样化、定制化产品的能力。
技术和社会进步一方面使市场需求从单一化而日益多样化、个性化，另一方面使企业生产方式从福特的大规模生产方式、斯隆大规模生产方式向丰田的精益生产方式、大规模定制方式演进。
企业生产方式演进的核心是：
向市场提供越来越多样化、个性化产品。
技术进步和社会进步使需求和供给两张力间不断失衡，又不断地平衡，也正是供给（生产）和需求（市场）两方面力量的共同作用决定了企业产品品种的最优数量。
二、一般模型：
顾客满意指数与顾客价值创造函数
（一） 顾客不满意水平与顾客满意指数
假设市场上存在n个顾客，其对某种基本使用价值的偏好在区间 上均匀分布。
这表明相邻两顾客间的偏好距离为 。
假设市场上提供某类基本使用价值的产品为k种，这k种产品将n个顾客按偏好次序分为k类，每种产品满足相应类的顾客，每类顾客数为 （ ），且 。
假设第j种产品正好满足第j类顾客中的第 位顾客的偏好，我们定义：
定义1 顾客不满意水平。
第j种产品对于第j类顾客的不满意水平为该种产品的价值与顾客偏好之间距离的平方和。
用 表示第j类顾客对第j种产品的不满意水平，则
（1）
则市场上所提供的基本使用价值相同的一类商品的顾客不满意水平为：
（2）
有以下两个命题（命题证明见贾良定，2001）：
命题1 若 为奇数，则当且仅当第j种产品正好满足第j类顾客中的第 位顾客的偏好，第j种产品对于第j类顾客的不满意水平最低；若 为偶数，则当且仅当第j种产品定位于第j类顾客中的第 位与第 位顾客的偏好中间，则第j种产品对于第j类顾客的不满意水平最低。
这两种情况下，顾客最低不满意水平均为：
（3）
命题2 若 的余数为 ，即 。
一定存在整数 、 和 同时满足 和 。
则当且仅当把 种产品分为产品种数为 和 两类，种数为 的每一产品各自满足的顾客数均为 ，种类为 的每一产品各自满足的顾客数为 时，该类商品的顾客不满意水平最低。
此时该类商品的顾客最低不满意水平为：
（4）
由命题2推论，若 为整数，即 ，则当且仅当第j种产品满足第j类顾客数 （即 ），该类商品的顾客不满意水平最低。
此时该类商品的顾客最低不满意水平为 。
由（4）式，容易证明 和当 时， （当n分别等于2k-1和2k时，有 ）。
这说明：
（1）商品的顾客不满意水平随该类商品的产品种类增加而降低，并且当产品种类数等于顾客数时，顾客不满意水平为零，即 时， 。
（2）在某类商品的产品品种数一定情况下，商品的顾客不满意水平随顾客数增加而增加。
根据上文的分析，我们可以把顾客不满意水平转换成在 内顾客满意指数。
我们定义：
定义2 顾客满意指数。
某类商品对顾客的满意指数为其不满意水平指数加上1的倒数。
即：
（5）
定义3 顾客满意指数-产品品种数弹性。
在顾客数量不变的条件下，顾客满意指数对产品品种数变化的敏感程度，即当产品品种数变化1%，顾客满意指数变化的百分点数。
即 或 （假设把k看成连续数）。
顾客的满意指数与同类产品品种数量呈同向变化，即产品品种数量增多，顾客满意指数提高，因此有 。
（二） 企业的顾客价值创造函数
假设某一企业生产某种基本使用价值的商品 ，其可以根据不同顾客的需求对该商品的生产进行调整。
假设完成基本使用价值的创造及其调整的所有活动为 个。
这 个活动分成2类，一类为基础性活动，它们对同类商品中不同产品是相同的；另一类为差异性活动，同类商品中的不同产品的生产对此需求是不同的。
差异性活动，比如售后服务，可能不同顾客需要不同的售后服务，我们把售后服务分解成若干个子活动。
图1表示某企业向市场提供T×…×V种同类基本使用价值的产品。
其基本性活动P个，差异性活动Q个，活动总数为P+Q。
字母a表示活动，其下标第1个数字1表示基本性活动，数字2表示差异性活动；下标第2个数字表示该活动序号；下标第3个数字表示差异性活动被分解后的子活动序号。
举例：
表示第p个基本性活动， 表示第q个差异性活动被差异分解后的第V个子活动。
差异性活动被分解后的子活动可以自由地组合，形成能满足不同顾客需求的产品，其产品个数为T×…×V。
假如企业仅向市场提供1种产品，如福特的T型车，则T=…=V=1。
但是，对差异性活动被分解后的子活动的自由地组合，从而生产能满足不同顾客需求的产品，这需要转换成本。
有时候这种转换成本如此高昂，以至于企业无法进行自由转换。
假设各活动投入资源为 ，下标 ， 且 ； 。
假设差异性活动的转换成本是被分解后的子活动个数的增函数且边际递增，不妨设为 ，且 ， ， 。
其中 与q有关，当q=1时，g=T，当q=Q时，g=V， 。
如果 ，则不需要任何转换成本；如果 ，则由于转换成本太高以至于转换性生产无法进行。
假设各活动的生产函数为：
。
表示投入活动的资源量； 表示活动所需的固定学习费用，不妨令 ，如果 ，则不需要任何固定学习费用；如果 ，则由于固定学习费用太高以至于该项活动无法进行。
所以，为了使生产有意义，必须 。
由上分析，我们有，基础性活动的生产函数为：
；差异性活动的生产函数为：
。
假设 为扣除固定学习费用及转换成本的净投入资源，即 ， 。
是第ef活动的产出弹性，其度量的是产出的增长速度与资源的增加速度之比，可以看作第ef活动的规模经济程度。
如果 表示产出的增长速度慢于资源的增加速度，即该活动具有规模不经济性； 表示产出的增加速度等于资源的增加速度，即该活动规模经济不变； 表示产出增长速度快于资源的增加速度，即该活动具有规模经济。
企业的资源约束条件为：
。
是企业所拥有的资源总量。
企业的顾客价值创造函数为：
。
这个C-D函数反映了各活动间的互补性，若某一种活动无法进行，则顾客价值为0。
反映该活动在顾客价值创造中的重要性，即活动产出-顾客价值弹性，其含义是顾客价值创造对该活动产出变动的敏感程度。
定义4 顾客价值-产品品种数弹性。
在生产的其他条件不变的情况下，企业所创造的顾客价值对产品品种数变化的敏感程度，即当产品品种数变化1%，顾客价值变化的百分点数。
即 或 （假设把k看成连续数）。
定义5 差异性活动产出-产品品种数弹性。
在生产的其他条件不变的情况下，企业差异性活动的产出对产品品种数变化的敏感程度，即当产品品种数变化1%，差异性活动产出变化的百分点数。
即 或 （假设把k看成连续数）。
我们有：
（6）
（6）式表明，企业所创造的顾客价值（未经过顾客满意指数修正）与企业向市场所提供的产品品种数量呈反向变化。
企业向市场提供的产品品种数量越多，一方面企业在差异性活动中所花费的转换成本越大，另一方面差异性活动的规模经济性降低，因而企业所创造的顾客价值也减少。
（三） 企业决策的一般模型
企业根据市场上顾客的需求状况，面临两难选择：
若向市场提供单一产品，企业将获得各活动中的规模经济和减少转换成本，但顾客满意度极低；若向市场提供多样化产品，顾客满意度提高，但差异性活动的规模经济可能丧失并且承受较高的转换成本。
企业理性的选择是，选择恰当的品种数量，以使顾客满意价值（经顾客满意指数修正过的）最大。
企业的决策问题是：
（顾客满意的价值创造函数）
s. t. （基础性活动的生产函数）
（差异性活动的生产函数）
（某种商品的产品品种数量）
（企业的资源约束条件）
（顾客满意水平）
其中 的下标s（satisfied）表示顾客满意， 意为经顾客满意水平指数修正后的顾客满意的价值净值。
三、企业产品最优品种数量确定
（一） 顾客满意指数-产品品种数弹性（ ）的性质
由（4）、（5）式和定义 ，我们有：
且有：
（7）
对于任意n，当k=1时，都有a=0。
于是 ，并且当 时，恒有 。
当n=4时， （事实上， ，有 ）；当n→∞时， 。
所以当 ，有 。
对于任意n，当k=n时，都有a=0。
于是 ，并且当 时，恒有 。
当n=2时， ；当n→∞时， 。
所以当 ，有 。
令 ， ，于是，
且有
（8）
（7）式表明在市场中顾客数量n给定的条件下， 是同类商品的产品品种数量的减函数，即顾客满意指数-产品品种数量弹性 随着产品品种的增加而变弱；（8）式表明对于相同的k，在不同的n时，顾客数量越多 越大。
具有上界和下界，且随着n的增大， 曲线向右上方移动。
（二） 顾客价值-产品品种数弹性（ ）的性质
定义 ，由题设 ， ， ，以及生产有意义条件 ，所以
（9）
（10）
（11）
（12）
假设 可分离成 ，且 和 ，有：
（13）
的表达式说明，顾客价值-产品品种种数弹性仅与差异性活动有关，而与基础性活动无关。
（9）表明 是关于产品品种数量k的增函数，即如图2所示。
（10）表明其他差异性活动在价值创造中的重要性一定时，某一差异性活动的重要性 提高将使 增大。
（11）表明其他差异性活动的规模经济水平一定时，某一差异性活动的规模经济水平 提高将使 增大。
（12）表明其他差异性活动的固定学习费用一定时，某一差异性活动的固定学习费用 提高将使 增大。
（13）表明其他差异性活动的生产多品种产品的转换成本一定时，某一差异性活动生产多品种产品的转换成本 提高将使 增大。
因此，差异性活动的重要性 、规模经济水平 、固定学习费用 及其生产多品种产品的转换成本 的提高，将使 曲线向左上方移动。
（三） 企业产品最优品种数量确定定理
将“企业决策的一般模型”中的各约束条件代入顾客价值创造函数，我们有企业决策的一阶条件：
=0 （14）
一方面，顾客的满意指数与同类产品品种数量呈同向变化，即 。
另一方面，企业所创造的顾客价值（未经过顾客满意指数修正）与企业向市场所提供的产品品种数量呈反向变化，即 。
企业决策的一阶条件表明，由于顾客满意度与生产转换成本、规模经济性之间的矛盾，企业必须根据市场的具体情况，在两者之间寻求均衡。
当且仅当产品品种数量的变化所引起的顾客满意指数的变化率与其所引起的未修正的顾客价值变化率相等时，企业所创造的顾客满意价值最大。
我们把（14）式的经济含义总结为“企业产品最优品种数量确定定理”。
定理 企业产品最优品种数量确定定理。
当且仅当产品品种数量的变化所引起的顾客满意指数的变化率与其所引起的顾客价值（未修正的）变化率相等时，企业所创造的顾客满意价值（修正的）最大，即当且仅当 时， 最大。
，即 。
由 、 的性质，我们用图2来描述定理的经济含义。
给定市场中顾客数量n，以及企业关于顾客价值的创造函数的诸多参数（差异性活动的重要性 、规模经济水平 、固定学习费用 及其生产多品种产品的转换成本 ）给定的条件下， 曲线和 曲线相交决定了企业向市场提供具有相同使用价值的一类商品的产品品种最优数量 。
但当这些参数变化时， 曲线和 曲线也将变动，两曲线所决定的产品品种最优数量 将改变。
我们把参数变化的一些结论用推论1-5表达：
推论1 企业生产函数的各技术参数给定条件下，市场中顾客数量n增加将导致企业向市场提供的产品品种最优数量增加。
反之，市场中顾客数量n减少将导致企业向市场提供的产品品种最优数量减少。
推论2 市场中顾客数量n以及企业生产函数的其他技术参数不变的条件下，差异性活动的固定学习费用的增加将导致企业向市场提供的产品品种最优数量减少；反之，差异性活动的固定学习费用的减少将导致企业向市场提供的产品品种最优数量增加。
推论3 市场中顾客数量n以及企业生产函数的其他技术参数不变的条件下，差异性活动中有关各品种产品生产间的生产转换成本的提高将导致企业向市场提供的产品品种最优数量减少；反之，差异性活动中有关各品种产品生产间的生产转换成本的降低将导致企业向市场提供的产品品种最优数量增加。
推论4 市场中顾客数量n以及企业生产函数的其他技术参数不变的条件下，差异性活动的产出-顾客价值弹性 的提高将导致企业向市场提供的产品品种最优数量减少；反之，差异性活动的产出-顾客价值弹性 的降低将导致企业向市场提供的产品品种最优数量增加。
推论5 市场中顾客数量n以及企业生产函数的其他技术参数不变的条件下，差异性活动的规模经济水平 的提高将导致企业向市场提供的产品品种最优数量减少；反之，差异性活动的规模经济水平 的降低将导致企业向市场提供的产品品种最优数量增加。
四、企业生产方式的历史考察
技术和社会进步一方面使市场需求从单一化而日益多样化、个性化，另一方面使企业生产方式从福特的大规模生产方式、斯隆大规模生产方式向丰田的精益生产方式、大规模定制方式演进，如图3所示。
下文以汽车工业发展为例，考察企业生产方式的演进历史。
（一） 福特的大规模生产方式与规模经济
在1900年代前期和初期，汽车生产主要以手工单件生产为主。
汽车是富贵者的奢侈品，顾客到工厂定制自己所需的汽车，工厂根据顾客的偏好生产汽车。
19世纪末20世纪初，美国企业实践中出现一个潮流：
一大批工程师们致力于管理问题研究（Urwick, 1956, pp.30）。
在此时代涌现出一批工程师出身的杰出管理学家，代表人物有：
弗雷德里克•泰罗 （Frederick W. Taylor）、弗兰克•吉尔布雷斯（Frank Gilbreth）夫妇以及亨利•甘特（Henry L. Gantt）等。
在“劳动分工”这一基本原则基础上，科学管理理论发展出“作业方法和作业环境标准化”等原则，这些原则在1913年亨利•福特（Henry Ford）的T型车装配线上得到淋漓尽致地体现。
1913年10月，福特的T型车装配线上生产一辆汽车所用的劳动时间从728分钟缩短到155分钟，6个月后，每天可以有1000辆T型车走下装配线，平均每辆车所用的劳动时间缩短为93分钟（Chandler, 1977, pp.324）。
产品成本下降，价格也随之降低，从而购买力增加，产品销量随之增长，这又反过来促进产量提高，成本下降，如此增加反馈。
1908年福特公司所有车型汽车生产总量刚刚超过1万辆，而在1916年，当价格从1908年有每辆850美元降至360美元时，仅T型车的生产量就超过了50万辆，到1923年，生产总量增至200万辆（Pine, 1992, pp.17）。
在大规模生产（mass production）中，规模经济登峰造极。
（二） 斯隆的大规模生产与范围经济
信奉单一品种原则的福特在其底特律的鲁奇厂将大量生产方式发挥到极至。
然而福特公司缺乏与大量生产方式相适应的包括工厂、工程部门和销售系统在内的组织和管理体制。
艾尔福雷德•斯隆（Alfred Sloan）在20世纪20年代初找到了问题的解决方案——事业部制——使福特创造的大量生产方式趋于完善。
为了满足日益多样化的市场需求，斯隆把通用汽车公司的产品按照售价，从低到高分为由雪佛莱到凯迪莱克等五个车型系列，并据此成立拥有相对独立的产品-市场、以利润为中心的事业部：
5个轿车事业部和制造零部件的事业部。
斯隆和他的高层决策部门主要进行战略决策，要求每个事业部经常而定期地对销售、市场占有率、库存及盈亏等情况作出详细地报告，而不干涉事业部的日常经营管理（Womack, Jones & Roos, 1990, pp.44-48）。
斯隆的创造性思想将规模经济与范围经济融合起来，解决了为降低制造成本要求产品标准化和千差万别的用户要求车型多样化之间的矛盾。
他将许多机械部件（如
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