因式分解的常用方法方法最全最.docx

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因式分解的常用方法方法最全最

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因式分解的常用方法第一部分：

方法介绍

因式分解：

因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主

要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等

因式分解的一般步骤是：

（1）往常采纳一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。

即第一看有无公因式可提，其次看可否直接利用乘法公式；如前两个步骤

都不可以实行，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或

可利用公式法持续分解；

（2）若上述方法都行不通，能够试试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。

注意：

将一个多项式进行因式分解应分解到不可以再分解为止。

一、提公因式法.：

ma+mb+mc=m（a+b+c）

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，比如：

（1）

（a+b）（a

-b）=a

2

2

-----------a

2

2

=（a+b）（a

-b）；

-b

-b

（2）

（a

±b）2=a2±2ab+b2---------a

2±2ab+b2=（a±b）2；

（3）

（a+b）（a

2

2

）=a

3

3

3

3

2

2

-ab+b

+b---------a

+b=（a+b）（a

-ab+b）；

（4）

（a

-b）（a

2

2

）=a

3

3

--------a

3

3

2

2

+ab+b

-b

-b

=（a-b）（a

+ab+b）．

下边再增补两个常用的公式：

（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；

（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a

2+b2+c2-ab-bc-ca）；

例.已知a，b，c是

ABC的三边，且a2

b2

c2

abbc

ca，

则

ABC的形状是（

）

A.直角三角形

B等腰三角形

C等边三角形

D等腰直角三角形

解：

a2

b2

c2

ab

bc

ca

2a2

2b2

2c2

2ab

2bc2ca

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：

amanbmbn

剖析：

从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不可以运用

公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，所以能够考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，而后再考

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虑两组之间的联系。

解：

原式=（aman）（bmbn）

=a（mn）b（mn）每组之间还有公因式！

=（mn）（ab）

例2、分解因式：

2ax10ay5bybx

解法一：

第一、二项为一组；

解法二：

第一、四项为一组；

第三、四项为一组。

第二、三项为一组。

解：

原式=（2ax

10ay）（5by

bx）

原式=（2ax

bx）

（

10ay

5by）

=2a（x

5y）

b（x

5y）

=x（2a

b）

5y（2ab）

=（x5y）（2a

b）

=（2a

b）（x

5y）

练习：

分解因式

1、a2

ab

ac

bc

2、xy

x

y

1

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：

x2

y2

ax

ay

剖析：

若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，固然能够提公因

式，但提完后就能持续分解，所以只好此外分组。

解：

原式=（x2

y2）

（ax

ay）

=（x

y）（x

y）

a（x

y）

=（x

y）（x

y

a）

例4、分解因式：

a2

2ab

b2

c2

解：

原式=（a2

2ab

b2）

c2

=（a

b）2

c2

=（abc）（abc）

练习：

分解因式

3、x2

x

9y2

3y

4、x2

y2

z2

2yz

综合练习：

（1）x3

x2yxy2

y3

（2）ax2

bx2

bx

ax

ab

（3）x2

6xy

9y2

16a2

8a

1

（4）a2

6ab

12b

9b2

4a

（5）a4

2a3

a2

9

（6）4a2x4a2yb2xb2y

（7）x2

2xy

xz

yzy2

（8）a2

2ab2

2b

2ab1

（9）y（y

2）

（m1）（m

1）

（10）（a

c）（a

c）

b（b

2a）

（11）a2（bc）

b2（ac）

c2（ab）2abc（12）a3

b3

c3

3abc

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为

1的二次三项式

直接利用公式——

x2

（pq）x

pq

（xp）（x

q）进行分解。

特色：

（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思虑：

十字相乘有什么基本规律？

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例.已知0＜a≤5，且a为整数，若2x2

3xa能用十字相乘法分解因

式，求切合条件的a.

解析：

凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求

b2

4ac

>0并且是一个完整平方数。

于是

98a为完整平方数，a1

例5、分解因式：

x2

5x

6

剖析：

将6分红两个数相乘，且这两个数的和要等于

5。

因为6=2×3=（-2）×（-3）=1×6=（-1）×（-6），从中能够发现只有2×3

的分解合适，即

2+3=5。

1

2

解：

x2

5x

6=x2

（23）x23

1

3

=（x

2）（x3）

1×2+1×3=5

用此方法进行分解的重点：

将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：

x2

7x

6

解：

原式=x2

[

（1）

（6）]x

（1）（6）

=（x

1）（x

6）

1-1

1-6

（-1）+（-6）=-7

练习5、分解因式

（1）x2

14x

24

（2）a2

15a

36

（3）x2

4x

5

练习6、分解因式

（1）x2

x2

（2）y2

2y15

（3）x2

10x

24

（二）二次项系数不为

1的二次三项式——

ax2

bx

c

条件：

（1）a

a1a2

a1

c1

（2）cc1c2

a2

c2

（3）ba1c2

a2c1

ba1c2

a2c1

分解结果：

ax2

bx

c=（a1x

c1）（a2x

c2）

例7、分解因式：

3x211x10

剖析：

1

-2

3-5

（-6）+（-5）=-11

解：

3x2

11x10=（x

2）（3x

5）

练习7、分解因式：

（1）5x2

7x6

（2）3x2

7x2

（3）10x2

17x3

（4）6y2

11y10

（三）二次项系数为

1的齐次多项式

例8、分解因式：

a28ab128b2

剖析：

将b当作常数，把原多项式当作对于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

18b

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1-16b8b+（-16b）=-8b

解：

a28ab128b2=a2[8b（16b）]a8b（16b）

=（a

8b）（a16b）

练习8、分解因式

（1）x2

3xy

2y2

（2）m2

6mn

8n2

（3）a2

ab6b2

（四）二次项系数不为

1的齐次多项式

例9、2x2

7xy6y2

例10、x2y2

3xy2

1

-2y

把xy看作一个整体

1

-1

2

-3y

1

-2

（-3y）+（-4y）=-7y

（-1）+（-2）=-3

解：

原式=（x2y）（2x

3y）

解：

原式=（xy

1）（xy

2）

练习9、分解因式：

（1）15x2

7xy

4y2

（2）a2x2

6ax

8

综合练习10、

（1）8x6

7x3

1

（2）12x2

11xy

15y2

（3）（xy）2

3（xy）10

（4）（ab）2

4a4b3

（5）x2y2

5x2y

6x2

（6）m2

4mn

4n2

3m

6n

2

（7）x2

4xy

4y2

2x

4y

3（8）5（a

b）2

23（a2

b2）

10（a

b）2

（9）4x2

4xy

6x

3y

y2

10（10）12（xy）2

11（x2

y2）

2（x

y）2

思虑：

分解因式：

abcx2

（a2b2

c2）xabc

五、换元法。

（1）、换单项式

例1

分解因式x6+14x3y+49y2.

剖析：

注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3=m，则x6=m2，

原式变形为

m2+14my+49y2=（m+7y）2=（x3+7y）2.

（2）、换多项式

例2分解因式（x2+4x+6）+（x2+6x+6）+x2.

剖析：

本题前面的两个多项式有同样的部分，我们能够只把同样部分

换元，设x2+6=m，则x2+4x+6=m+4x，x2+6x+6=m+6x，原式变形为

（m+4x）（m+6x）+x2=m2+10mx+24x2+x2=m2+10mx+25x2

=（m+5x）2=（x2+6+5x）2

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=[（x+2）（x+3）]2=（x+2）2（x+3）2.

以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”.

自然，我们还能够把前两个多项式中的任何一个所有换元，就成了“整体

换元法”.比方，设x2+4x+6=m，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为

m（m+2x）+x2=m2+2mx+x2=（m+x）2=（x2+4x+6+x）2=（x2+5x+6）2

=[（x+2）（x+3）]

2=（x+2）

2（x+3）2.

此外，还能够取前两个多项式的均匀数进行换元，

这种换元的方法被

称为“均值换元法”，能够借用平方差公式简化运算

.

对于本例，设

m=

1

2

[（x2+4x+6）+（x2+6x+6）]=x2+5x+6，则x2+4x+6=m-x，x2+6x+6=m+x，

（m+x）（m-x）+x2=m2-x2+x2=m2=（x2+5x+6）2=[（x+2）（x+3）]2

=（x+2）2（x+3）2.

例3分解因式（x-1）（x+2）（x-3）（x+4）+24.

剖析：

这道题的前面是四个多项式的乘积，能够把它们分红两组相乘，

使之转变为为两个多项式的乘积.不论怎样分组，最高项都是x2，常数项

不相等，所以只好想法使一次项同样

.

所以，把

（x-1）（x+2）（x-3）（x+4）

分组

为[（x-1）（x+2）][（x-3）（x+4）]=（x

2+x-2）（x

2+x-12），进而转变为例

2形式加以

解决.

1

我们采纳“均值换元法”，设m=2[（x2+x-2）+（x2+x-12）]=x2+x-7，则

x2+x-2=m+5，x2+x-2=m-5，原式变形为

（m+5）（m-5）+24=m2-25+24=m2-1=（m+1）（m-1）=（x

2+x-7+1）（x2+x-7-1）

=（x2+x-6）（x2+x-8）=（x-2）（x+3）（x

2+x-8）.

（3）、换常数

例1分解因式x2（x+1）-2003×2004x.

剖析：

本题若依据一般思路解答，很难见效.注意到2003、2004两

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个数字之间的关系，把此中一个常数换元.比方，设m=2003，则2004=m+1.

于是，原式变形为

x2（x+1）–m（m+1）x=x[x（x+1）-m（m+1）]=x（x2+x-m2-m）

=x[（x2-m2）+（x-m）]=x[（x+m）（x-m）+（x-m）]

=x（x-m）（x+m+1）=x（x-2003）（x+2003+1）=x（x-2003）（x+2004）.

例13、分解因式

（1）2005x2

（20052

1）x

2005

（2）（x1）（x

2）（x

3）（x

6）

x2

解：

（1）设2005=a，则原式=ax2

（a2

1）x

a

=（ax

1）（x

a）

=（2005x

1）（x

2005）

（2）型如abcde的多项式，分解因式时能够把四个因式两两分组相乘。

原式=（x2

7x6）（x2

5x6）x2

设x2

5x

6A，则x2

7x6A2x

∴原式=（A

2x）Ax2

=A2

2Axx2

=（A

x）2=（x2

6x6）2

练习13、分解因式

（1）（x

（2）（x

（3）（a

2

xy

y2）2

4xy（x2

y2）

2

3x

2）（4x2

8x

3）90

2

1）2

（a2

5）2

4（a2

3）2

例14、分解因式（

1）

2

x4

x3

6

x2

x2

察看：

此多项式的特色——是对于

x的降幂摆列，每一项的次数挨次少

1，

并且系数成“轴对称”。

这种多项式属于“等距离多项式”

。

方法：

提中间项的字母和它的次数，保存系数，而后再用换元法。

解：

原式=x2（2x2

x

6

1

1

）=x2

2（x2

1

）（x

1）

6

x

x2

x2

x

设x

1

t，则x2

1

t2

2

2

x

2

x2

2

2

∴原式=

x

2

2）

t

6

=x

2t

t10

（t

=x22t5t2=x22x

2

5x

1

2

x

x

=x·2x

2

5·x·x

1

2=2x2

5x2x2

2x1

x

x

=（x

1）

2（2x

1）（x

2）

（2）x4

4x3

x2

4x1

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解：

原式=x2（x2

4x

1

设x

1

y，则x2

x

∴原式=x2

（y2

4y

3）

=x2

（x

1

1）（x

x

4

1

=x

2

x

2

1

4x

1

x

2）

x2

1

x

x

1

y2

2

x2

=x2（y

1）（y

3）

1

3）=x2

x1x2

3x1

x

练习14、

（1）6x4

7x3

36x2

7x

6

（2）x4

2x3

x2

12（xx2）

六、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式

（1）x3

3x2

4

解法1——拆项。

解法2——添项。

原式=x3

13x2

3

原式=x3

3x2

4x4x4

=（x

1）（x2

x

1）

3（x

1）（x

1）

=x（x2

3x

4）

（4x

4）

=（x

1）（x2

x

1

3x

3）

=x（x1）（x

4）

4（x

1）

=（x1）（x2

4x4）

=（x1）（x2

4x4）

=（x1）（x2）2

=（x1）（x2）2

（2）x9

x6

x3

3

解：

原式=（x9

1）

（x6

1）

（x3

1）

=（x3

1）（x6

x3

1）（x3

1）（x3

1）（x3

1）

=（x3

1）（x6

x3

1x3

11）

=（x

1）（x2

x1）（x6

2x3

3）

练习15、分解因式

（1）x3

9x

8

（2）（x1）4

（x2

1）2

（x1）4

（3）

x

4

7

x

2

1

（）

x

4

x

2

2ax

1

a

2

4

（5）4

4

4

（6