解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章docx.docx
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第三章平面与空间直线
§平面的方程
1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：
（1）通过点M1（3,1,1）和点M2（1,1,0）且平行于矢量{1,0,2}的平面
（2）通过点M1（1,5,1）和
M2（3,2,2）且垂直于xoy坐标面的平面；
（3）已知四点A（5,1,3），B（1,6,2），C（5,0,4）D（4,0,6）。
求通过直线AB且平行于直线CD的平面，
并求通过直线AB且与ABC平面垂直的平面。
解：
（1）
M1M2
{2,
2,1}，又矢量{
1,0,2}平行于所求平面，
故所求的平面方程为：
一般方程为：
4x
3y2z7
0
（2）由于平面垂直于
xoy面，所以它平行于
z轴，即{0,0,1}与所求的平面平行，又
M1M2{2,7,
3}
，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：
一般方程为：
7（x
1）
2（y5）
0，即7x
2y17
0。
（3）（ⅰ）设平面
通过直线AB，且平行于直线CD：
AB
{
4,5,1}，CD
{
1,0,2}
从而
的参数方程为：
一般方程为：
10x
9y
5z74
0。
（ⅱ）设平面
通过直线AB，且垂直于
ABC所在的平面
AB
{
4,5,1}，AB
AC
{4,5,1}
{0,1,1}{4,4,4}4{1,1,1}
均与
平行，所以
的参数式方程为：
一般方程为：
2x
y
3z2
0.
2.化一般方程为截距式与参数式：
:
x
2y
z4
0
.
解：
与三个坐标轴的交点为：
（
4,0,0）,（0
2,0）,（0,0,4），
x
y
z
1.
所以，它的截距式方程为：
2
4
4
又与所给平面方程平行的矢量为：
{4,2,0},{4,0,4}，
所求平面的参数式方程为：
3.证明矢量v
{X,Y,Z}平行与平面
AxByCzD
0的充要条件为：
AXBYCZ0.
证明：
不妨设A
0，
则平面Ax
By
Cz
D
0
的参数式方程为：
故其方位矢量为：
{
B,1,0},{
C,0,1}，
A
A
从而v平行于平面
Ax
By
CzD
0的充要条件为：
v，{
B
C
0,1}
共面
1,0},{
A
A
AX
BY
CZ
0.
4.已知连接两点A（3,10,
5）,B（0,12,z）的线段平行于平面
7x4yz1
0，求B点的z坐标.
解：
AB
{
3,2,5
z}
而AB平行于7x
4y
z
1
0
由题3知：
（
3）
7
2
4
（z5）
0
从而z
18.
5.求下列平面的一般方程.
⑴通过点
1
2,
1,1和
2
3,
2,1
且分别平行于三坐标轴的三个平面
;
⑵过点
3,2,
4且在x轴和y轴上截距分别为
2和3的平面;
⑶与平面
5xy2z30垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面
;
⑷已知两点
1
3,1,2,
2
4,
2,
1,求通过
1且垂直于
1,
2的平面;
⑸原点
在所求平面上的正射影为
2,9,6;
⑹求过点
1
3,
5,1和
2
4,1,2且垂直于平面
x
8y3z
1
0的平面.
解:
平行于x轴的平面方程为
x
2
y1z
1
1
1
0
0.即z
1
0.
1
0
0
同理可知平行于
y轴,z轴的平面的方程分别为
z1
0,x
y
10.
x
y
z
1,把点
3,2,
4
24
⑵设该平面的截距式方程为
3
c
代入得c
2
19
故一般方程为12x
8y
19z24
0.
⑶若所求平面经过
x轴，则
0,0,0为平面内一个点,
5,1,2和1,0,0
为所求平面的方位矢量
x0y0z0
∴点法式方程为
5
1
2
0
1
0
0
∴一般方程为2y
z
0.
同理经过y轴,z轴的平面的一般方程分别为2x5z0,x5y0.
⑷12
1,1,
3.
1
2垂直于平面
∴该平面的法向量
n
1,1,
3,
平面
通过点
13,
1,2,
因此平面
的点位式方程为
x3
y
13z
2
0.
化简得x
y3z
2
0.
（5）op2,9,6.
∴cos
2,cos
9,cos
6.
11
11
11
则该平面的法式方程为:
2x
9y
6z110.
11
11
11
既2x
9y6z121
0.
（6）平面x8y
3z
1
0的法向量为
n
1,
8,3，M1M2
1,6,1，点从4,1,2
x
4
y
1
z
2
8
3
1
8
3
写出平面的点位式方程为
0，则A
26,
1
6
1
6
1
3
1
1
3
14,D
26
4
2
28
74，
B
2,C
1
1
1
1
则一般方程Ax
By
Cz
D
0,即：
13x
y
7z
370.
6．将下列平面的一般方程化为法式方程。
解：
D3.
将已知的一般方程乘上
1
.得法式方程
x
2y
5z
3
0.
30
30
30
30
30
2
D
1.
1
.
将已知的一般方程乘上
1
.得法式方程
2
2
1
x
1
y
1
0.
2
2
2
3.
D
2.
1.
将已知的一般方程乘上
1.
得法式方程
x2
0.
4.
D
0.
1.即
1
或
1
9
9
9
将已知的一般方程乘上
1
或
1.得法式方程为
4x
4y
7z
0或
4
4
7
9
9
9
9
9
y
0.
x
9
z
9
9
7．求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦。
解：
1.D
35.
1.化为法式方程为
2x
3
y
6z
5
0原点指向平面
的单位法矢量为
7
7
7
7
u
2
3
6
它的方向余弦为cos
2
3
cos
6
的距离为
7
cos
7
.原点o到平面
7
7
7
7
P
D
5.
2.D
21.
1.化为法式方程为-
1x
2y
2z
7
0原点指向平面
的单位法矢量为
3
3
3
3
n0
1,2,2
它的方向余弦为cos
1,cos
2,cos
2.原点o到平面
的距离
3
3
3
3
3
3
pD7.
第20页
8．已知三角形顶点
A0,7,0,B2,
1,1,C
2,2,2
.求平行于VABC所在的平面且与她相距为2
各单位的平面方程。
uuur
ruuur
r
r
2,6,1
r
解：
设AB
a,AC
b.点A0,7,0
.则a
b2,9,2写出平面的点位式方程
xy7z
2610
292
设一般方程AxByCzD0.A3.B2,C6,D140.
1
.p
D
2.
则
7
相距为2个单位。
则当
p
4时D
28.当p
0时D
0.
所求平面为
3x
2y
6z
280.
和3x
2y
6z
0.
9．求与原点距离为
6个单位，且在三坐标轴
ox,oy与oz上的截距之比为
a:
b:
c1:
3:
2的平面。
解：
设a
x,b
3x,c2x.Qabc
0.
设平面的截距方程为
x
y
z
1.
a
b
c
即bcx
acy
abz
abc.
又Q原点到此平面的距离
d
6.
abc
6.
b2c2
a2c2
a2b2x12
所求方程为
x
y
z
7.
3
2
10．平面
x
y
z
1
分别与三个坐标轴交于点
A,B,C.求VABC的面积。
a
b
c
uuur
uuur
a,0,c
解A（a,0,0）,
B（0,b,0）
C（0,0,c）AB
a,b,0,AC
.
uuur
uuur
uuur
uuur
b2c2
c2a2
a2b2.
AB
AC
bc,ca,ab;AB
AC
∴
SVABC=
1
b2c2
c2a2
a2b2
2
11．设从坐标原点到平面的距离为。
求证
1
1
1
1
1
证明：
由题知：
1
1
p.
a
2
b
2
c
2.
1
p
a2
b2
c2
从而有1
1
1
1
p2
a2
b2
c2.
§平面与点的相关位置
1.计算下列点和平面间的离差和距离：
（1）M
（2,4,3），
:
2x
y
2z
3
0；
（2）M
（1,2,3），
:
5x
3y
z
4
0.
解：
将
的方程法式化，得：
2x
1y
2z
1
0，
3
3
3
故离差为：
2
1
4
2
1
（M）（
）
（2）
31
，
3
3
3
3
M到
的距离d
1
（M）.
3
（2）类似
（1），可求得
5
6
3
4
（M）
35
35
0，
35
35
M到的距离d
（M）
0.
2.求下列各点的坐标：
（1）在y轴上且到平面
2
2y2z2
0的距离等于
4个单位的点；
（2）在z轴上且到点M（1,
2,0）与到平面3x
2y6z
9
0距离相等的点；
（3）在x轴上且到平面12x
16y15z
1
0和2x
2y
z10距离相等的点。
解：
（1）设要求的点为
M（0,y0,0）则由题意
y01
6
y0
5或7.
即所求的点为（
0，-5，0）及（0，7，0）。
（2）设所求的点为
（0,0,z0）则由题意知：
由此，z0
2或-82/13。
82
故，要求的点为（0,0,2）及（0,0,）。
（3）设所求的点为（x0,0,0），由题意知：
由此解得：
x0
2或11/43。
所求点即（2，0，0）及（11/43，0，0）。
3.已知四面体的四个顶点为
S（0,6,4）,A（3,5,3）,B（
2,11,5）,C（1,1,4），计算从顶点
S向底面ABC所
引的高。
解：
地面ABC的方程为：
所以，高h
6
2
4
5
3
3。
4.求中心在C（3,
5,2）且与平面2x
y
3z
11
0相切的球面方程。
解：
球面的半径为
C到平面
：
2x
y
3z
11
0的距离，它为：
2
3
5
6
11
28
214，
R
14
14
所以，要求的球面的方程为：
（x3）2
（y5）2
（z2）2
56.
即：
x2
y2
z2
6x
10y
4z180.
5．求通过x轴其与点M5,4,13相距8个单位的平面方程。
解：
设通过
x轴的平面为By
Cz
0.它与点
M
5,4,13相距8个单位，从而
4B
13C
8.
48B2
104BC
105C2
0.因此12B
35C
4B
3C
0.
B2
C2
从而得
12B
35C
0
或4B
3C
0.于是有B:
C
35:
12
或B:
C
3:
4.
所求平面为35y
12z
0
或3y
4z
0.
6.求与下列各对平面距离相等的点的轨迹.
⑴3x6y2z70和4x3y50;
⑵9xy2z140和9xy
2z60.
解:
⑴
1:
13
6
y
2
z
7
0
x
7
令13x6y2z7
14x
3y
5
7
5
化简整理可得:
13x
51y
10z
0与43x
9y
10z70
0.
⑵对应项系数相同
可求
D
'
D1
D2
14
6
4,从而直接写出所求的方
2
2
程:
9x
y
2z
4
0.
9判别点M（2
-1
1）和N（12-3
）在由下列相交平面所构成的同一个二面角内，还是在相邻二
面角内，或是在对顶的二面角内？
（1）1:
3xy2z
30与2:
x2yz40
（2）1:
2xy5z1
0与
2:
3x2y6z10
解：
（1）将M（2-11
），N（12
-3
）代入
1，得：
6
1
2
30
3
2
6
30
则M，N在1的异侧
221470
再代入2，得：
143440
MN在2的同侧
MN在相邻二面角内
415190
（2）将M（2-11）N（12-3）代入1，得：
2215180
则MN在1的异侧。
再代入2，得：
6621130
34181200
则MN在2的异侧
MN在对顶的二面角内
10试求由平面
1：
2x
y2z
30与
2：
3x
2y6z
10所成的二面角的角平分方程，在
此二面角内有点（
1，
2，
-3）
解：
设p（x
y
z）为二面角的角平分面上的点，点
p到
12的距离相等
2x
y2z
33x
2y6z1化简得
5x
3y
32z
19
0
（1）
22
12
22
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