学年高中数学人教A版选修41创新应用教学案第一讲一平行线等分线段定理含答案Word格式文档下载.docx
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[例1] 已知如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，l，l′分别交l1，l2，l3，l4于A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，AB＝BC＝CD.
求证：
A1B1＝B1C1＝C1D1.
[思路点拨] 直接利用平行线等分线段定理即可．
[证明] ∵直线l1∥l2∥l3，且AB＝BC，
∴A1B1＝B1C1.
∵直线l2∥l3∥l4且BC＝CD，
∴B1C1＝C1D1，
∴A1B1＝B1C1＝C1D1.
平行线等分线段定理的应用非常广泛，在运用的过程中要注意其所截线段的确定与对应，分析存在相等关系的线段，并会运用相等线段来进行相关的计算与证明．
1．已知：
如图，l1∥l2∥l3，那么下列结论中错误的是（ ）
A．由AB＝BC可得FG＝GH
B．由AB＝BC可得OB＝OG
C．由CE＝2CD可得CA＝2BC
D．由GH＝
FH可得CD＝DE
解析：
OB、OG不是一条直线被平行线组截得的线段．
答案：
B
2．如图，已知线段AB，求作线段AB的五等分点．
作法：
如图，
（1）作射线AC；
（2）在射线AC上依任意长顺次截取AD＝DE＝EF＝FG＝GH；
（3）连接HB；
（4）过点G，F，E，D分别作HB的平行线GA1，FA2，EA3，DA4，分别交AB于点A1，A2，A3，A4.
则A1，A2，A3，A4就是所求的五等分点．
证明：
过点A作MN∥HB，
则MN∥DA4∥EA3∥FA2∥GA1∥HB.
又AD＝DE＝EF＝FG＝GH，
∴AA4＝A4A3＝A3A2＝A2A1＝A1B（平行线等分线段定理）．
平行线等分线段定理推论1的运用
[例2] 如图，在△ABC中，AD，BF为中线，AD，BF交于G，CE∥FB交AD的延长线于E.
AG＝2DE.
[思路点拨]
→
[证明] 在△AEC中，
∵AF＝FC，GF∥EC，
∴AG＝GE.
∵CE∥FB，
∴∠GBD＝∠ECD，∠BGD＝∠E.
又BD＝DC，
∴△BDG≌△CDE.
故DG＝DE，即GE＝2DE，
因此AG＝2DE.
此类问题往往涉及平行线等分线段定理的推论1的运用，寻找便于证明三角形中线段相等或平行的条件，再结合三角形全等或相似的知识，达到求解的结果．
3.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，OE平行于AB交BC于E，AD＝6，求BE的长．
解：
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA＝OC，BC＝AD.
又因为AB∥DC，OE∥AB，
所以DC∥OE∥AB.
又因为AD＝6，
所以BE＝EC＝
BC＝
AD＝3.
4．已知：
AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F.
AF＝
AC.
如图，过D作DG∥BF交AC于G.
在△BCF中，D是BC的中点，
DG∥BF，
∴G为CF的中点．即CG＝GF.
在△ADG中，E是AD的中点，EF∥DG，
∴F是AG的中点．即AF＝FG.
∴AF＝
平行线等分线段定理推论2的运用
[例3] 已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°
，M是CD的中点，求证：
AM＝BM.
[思路点拨] 解答本题应先通过作辅助线构造推论2的应用条件．
[证明] 过点M作ME∥BC交AB于点E，
∵AD∥BC，
∴AD∥EM∥BC.
又∵M是CD的中点，
∴E是AB的中点．
∵∠ABC＝90°
，
∴ME垂直平分AB.
∴AM＝BM.
有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理的推论2的基本图形，进而进行几何证明或计算．
5．若将本例中“M是CD的中点”与“AM＝BM”互换，那么结论是否成立？
若成立，请给予证明．
结论成立．证明如下：
过点M作ME⊥AB于点E，
∵AD∥BC，∠ABC＝90°
∴AD⊥AB，BC⊥AB.
∵ME⊥AB，∴ME∥BC∥AD.
∵AM＝BM，且ME⊥AB，
∴E为AB的中点，∴M为CD的中点．
6．已知：
如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点A，B，C，D，O分别作直线a的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，D′，O′；
A′D′＝B′C′.
∵▱ABCD的对角线AC，BD交于O点，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AA′⊥a，OO′⊥a，CC′⊥a，
∴AA′∥OO′∥CC′.∴O′A′＝O′C′.
同理：
O′D′＝O′B′.∴A′D′＝B′C′.
[对应学生用书P3]
一、选择题
1．梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AD，BC的中点，且EF＝2cm，则AB＋CD等于（ ）
A．1cm B．2cm
C．3cmD．4cm
由梯形中位线定理知EF＝
（AB＋CD），
∴AB＋CD＝4cm.
D
2．如图，AD是△ABC的高，E为AB的中点，EF⊥BC于F，如果DC＝
BD，那么FC是BF的（ ）
A.
倍B.
倍
C.
倍D.
∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD.
又E为AB的中点，由推论1知F为BD的中点，
即BF＝FD.
又DC＝
BD，∴DC＝
BF.
∴FC＝FD＋DC＝BF＋DC＝
A
3．梯形的中位线长为15cm，一条对角线把中位线分成3∶2两段，那么梯形的两底长分别为（ ）
A．12cm 18cmB．20cm 10cm
C．14cm 16cmD．6cm 9cm
如图，设MP∶PN＝2∶3，则MP＝6cm，PN＝9cm.
∵MN为梯形ABCD的中位线，在△BAD中，MP为其中位线，
∴AD＝2MP＝12cm.
同理可得BC＝2PN＝18cm.
4．梯形的一腰长10cm，该腰和底边所形成的角为30°
，中位线长为12cm，则此梯形的面积为（ ）
A．30cm2B．40cm2
C．50cm2D．60cm2
如图，过A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，AE＝ABsin30°
＝5cm.又已知梯形的中位线长为12cm，
∴AD＋BC＝2×
12＝24（cm）．
∴梯形的面积S＝
（AD＋BC）·
AE
＝
×
5×
24＝60（cm2）．
二、填空题
5．如图所示，已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c交于点A、B、C和A′、B′、C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝
，则B′C′＝________.
直接利用平行线等分线段定理．
6.如图，在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BD，EG∥AC交BD于G，CD＝
AD，若EG＝2cm，则AC＝______；
若BD＝10cm，则EF＝________.
由E是AB的中点，EF∥BD，
得EG＝
AD＝FD＝2cm，
结合CD＝
AD，
可以得到F、D是AC的三等分点，
则AC＝3EG＝6（cm）．
由EF∥BD，得EF＝
BD＝5（cm）．
6cm 5cm
7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB的中点，EF∥BC，G是BC边上任一点，如果S△GEF＝2
cm2，那么梯形ABCD的面积是________cm2.
因为E为AB的中点，EF∥BC，
所以EF为梯形ABCD的中位线，
所以EF＝
（AD＋BC），
且△EGF的高是梯形ABCD高的一半，
所以S梯形ABCD＝4S△EGF＝4×
＝8
（cm2）．
8
三、解答题
8．已知△ABC中，D是AB的中点，E是BC的三等分点（BE>
CE），AE、CD交于点F.
F是CD的中点．
如图，过D作DG∥AE交BC于G，
在△ABE中，∵AD＝BD，DG∥AE，
∴BG＝GE.
∵E是BC的三等分点，
∴BG＝GE＝EC.
在△CDG中，∵GE＝CE，DG∥EF，
∴DF＝CF.
即F是CD的中点．
9．如图，先把矩形纸片ABCD对折后展开，并设折痕为MN；
再把点B叠在折痕线上，得到Rt△AB1E.沿着EB1线折叠，得到△EAF.求证：
△EAF是等边三角形．
因为AD∥MN∥BC，AM＝BM，
所以B1E＝B1F.
又因为∠AB1E＝∠B＝90°
所以AE＝AF，所以∠B1AE＝∠B1AF.
根据折叠，得∠BAE＝∠B1AE，
所以∠BAE＝∠B1AE＝∠B1AF＝30°
所以∠EAF＝60°
，所以△EAF是等边三角形．
10.已知：
梯形ABCD中，AD∥BC，四边形ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F.
EF＝FC.
法一：
如图，连接BE交AF于O，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BO＝OE.
又∵AF∥BC，
∴EF＝FC.
法二：
如图，延长ED交BC于点H，
∴AB∥ED，AB∥DH，
AB＝ED.
∴四边形ABHD是平行四边形．
∴AB＝DH.
∴ED＝DH.
法三：
如图，延长EA交CB的延长线于M，
∴BD∥EA，AE＝BD.
又AD∥BC.
∴四边形AMBD是平行四边形．
∴AM＝BD.
∴AM＝AE.
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