人教A版数学必修2 第2章 212 空间中直线与直线之间的位置关系Word格式.docx

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（2）正确．因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：

平行、相交或异面．

（3）错误．过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线．

（4）错误．和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线．

【答案】　

（1）×

（2）√　（3）×

　（4）×

教材整理2　公理4及等角定理

阅读教材P45“探究”以下至P46倒数第7行的内容，完成下列问题．

1．公理4

文字表述：

平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．

符号表述：

⇒a∥c.

2．等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°

，则∠PQR等于（　　）

A．30°

B．30°

或150°

C．150°

D．以上结论都不对

【解析】　因为AB∥PQ，BC∥QR，

所以∠PQR与∠ABC相等或互补．

因为∠ABC＝30°

，所以∠PQR＝30°

.

【答案】　B

教材整理3　异面直线所成的角

阅读教材P46下面的两个自然段至P47“探究”以上的内容，完成下列问题．

1．定义：

已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．

2．异面直线所成的角θ的取值范围：

0°

<

θ_≤90°

3．当θ＝90°

时，a与b互相垂直，记作a⊥b.

如图2111，正方体ABCDA′B′C′D′中异面直线A′B′与BC所成的角为________．异面直线AD′与BC所成的角为________．

图2111

【解析】　∵A′B′∥AB，

∴∠ABC为A′B′与BC所成的角，又∠ABC＝90°

，∴A′B′与BC所成的角为90°

∵BC∥AD，∴∠D′AD为AD′与BC所成的角，因为∠D′AD＝45°

，故AD′与BC所成的角为45°

【答案】　90°

　45°

[小组合作型]

空间两直线位置关系的判定

　如图2112，正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：

图2112

①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；

②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；

③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；

④直线AB与直线B1C的位置关系是________．

【精彩点拨】　判断两直线的位置关系，主要依据定义判断．

【自主解答】　根据题目条件知道直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；

点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以②④都应该填“异面”；

直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．

【答案】　①平行　②异面　③相交　④异面

1．判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．

2．判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面．

[再练一题]

1．

（1）若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则（　　）

A．a∥c　B．a、c是异面直线

C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面

（2）若直线a、b、c满足a∥b，a、c异面，则b与c（　　）

A．一定是异面直线

B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线

D．不可能是相交直线

【解析】　

（1）若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面．

（2）若a∥b，a、c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知a∥c.

【答案】　

（1）D　

（2）C

公理4、等角定理的应用

　如图2113，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．

图2113

（1）求证：

四边形BB1M1M为平行四边形；

（2）求证：

∠BMC＝∠B1M1C1.

【精彩点拨】　

（1）欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；

（2）可结合

（1）利用等角定理证明或利用三角形全等证明．

【自主解答】　

（1）∵ABCDA1B1C1D1为正方体．

∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，

又M、M1分别为棱AD、A1D1的中点，

∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，

∴四边形AMM1A1为平行四边形，

∴M1M＝AA1且M1M∥AA1.

又AA1＝BB1且AA1∥BB1，

∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，

∴四边形BB1M1M为平行四边形．

（2）法一　由

（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，

∴B1M1∥BM.

同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，

∴C1M1∥CM.

由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．

∴∠BMC＝∠B1M1C1.

法二　由

（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，

∴B1M1＝BM.

∴C1M1＝CM.

又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，

1．空间两条直线平行的证明

一是定义法：

即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；

二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；

三是利用公理4：

找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．

2．求证角相等

一是用等角定理；

二是用三角形全等或相似．

2．如图2114，已知在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．

图2114

求证：

（1）四边形MNA1C1是梯形；

（2）∠DNM＝∠D1A1C1.

【证明】　

（1）如图，连接AC，在△ACD中，

∵M，N分别是CD，AD的中点，

∴MN是△ACD的中位线，

∴MN∥AC，MN＝

AC.

由正方体的性质得：

AC∥A1C1，AC＝A1C1.

∴MN∥A1C1，且MN＝

A1C1，

即MN≠A1C1，

∴四边形MNA1C1是梯形．

（2）由

（1）可知MN∥A1C1.

又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．

而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，

∴∠DNM＝∠D1A1C1.

[探究共研型]

求异面直线所成的角

探究1　已知直线a，b是两条异面直线，如图2115，如何作出这两条异面直线所成的角？

图2115

【提示】　如图，在空间中任取一点O，作直线a′∥a，b′∥b，则两条相交直线a′，b′所成的锐角（或直角）角θ即两条异面直线a，b所成的角．

探究2　异面直线a与b所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？

通常点O取在什么位置？

【提示】　异面直线a与b所成角的大小只由a，b的相互位置有关，与点O的位置选择无关，一般情况下为了简便，点O常选取在两条异面直线中的一条上．

　如图2116，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF＝

，求异面直线AD、BC所成角的大小．

图2116

【精彩点拨】　根据求异面直线所成角的方法，将异面直线AD、BC平移到同一平面上解决．

【自主解答】　如图，取BD的中点M，连接EM、FM.

因为E、F分别是AB、CD的中点，

所以EM綊

AD，FM綊

BC，

则∠EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角．

因为AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，

在等腰△MEF中，过点M作MH⊥EF于H，

在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝

EF＝

，

则sin∠EMH＝

，于是∠EMH＝60°

则∠EMF＝2∠EMH＝120°

所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60°

求两异面直线所成的角的三个步骤

1．作：

根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角．

2．证：

证明作出的角就是要求的角．

3．计算：

求角的值，常利用解三角形得出．

可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角θ的取值的范围是0°

θ≤90°

3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，求A1B与B1D1所成的角．

【解】　如图，连接BD、A1D，

∵ABCDA1B1C1D1是正方体，

∴DD1綊BB1，

∴四边形DBB1D1为平行四边形，

∴BD∥B1D1.

∵A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线，

∴A1B＝BD＝A1D，△A1BD是正三角形，

∴∠A1BD＝60°

∵∠A1BD是锐角，

∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角，

∴A1B与B1D1所成的角为60°

1．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（　　）

A．平行　　B．相交

C．垂直D．互为异面直线

【解析】　不论l∥α，l⊂α还是l与α相交，α内都有直线m使得m⊥l.

【答案】　C

2．下列命题中，正确的结论有（　　）

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；

②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等；

③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；

④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．

A．1个B．2个

C．3个D．4个

【解析】　由公理4及等角定理知，只有②④正确．

3．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°

，则β＝________.

【解析】　由等角定理可知β＝135°

【答案】　135°

4．在长方体ABCDA1B1C1D1中，与棱AA1垂直且异面的棱有________.

【解析】　如图，与棱AA1垂直且异面的棱有DC，BC，D1C1，B1C1.

【答案】　DC，BC，D1C1，B1C1

5．如图2117所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．

图2117

【解】　取AC的中点G，连接EG，FG，

则FG∥CD，EG∥AB，

所以∠FEG即为EF与AB所成的角，

且FG＝

CD，EG＝

AB，

所以FG＝EG.

又由AB⊥CD得FG⊥EG，

所以∠FEG＝45°

故EF和AB所成的角为45°