江苏专版版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第七节对数与对数函数学案理Word文档下载推荐.docx

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指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

[小题体验]

1．已知a＞0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga（－x）的图象可能是______（填序号）．

答案：

②

2．函数f（x）＝loga（x＋2）－2（a＞0，且a≠1）的图象必过定点________．

（－1，－2）

3．函数f（x）＝log5（2x＋1）的单调增区间是________．

4．

（1）2log3－log3－31＋log32＝________；

（2）4－（lg2＋lg5）＝________.

（1）－5　

（2）1

1．在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在没有M＞0的条件下应为logaMα＝αloga|M|（α∈N*，且α为偶数）．

2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：

（1）务必先研究函数的定义域；

（2）注意对数底数的取值范围．

[小题纠偏]

1．函数y＝的定义域为______．

2．函数f（x）＝log（x＋1）（2x－1）的单调递增区间是______．

3．已知函数y＝loga（2－ax）（a＞0，且a≠1）在[0,1]上为减函数，则a的取值范围为________．

解析：

因为a＞0，所以g（x）＝2－ax为减函数，即任取x1，x2∈[0,1]，且x1＜x2，有g（x1）＞g（x2），又logag（x1）＞logag（x2），所以a＞1.而又因为g（x）＝2－ax在[0,1]恒大于0，所以2－a＞0，所以a＜2，综上，1＜a＜2.

（1,2）

[题组练透]

1．计算：

（1）4log23＝________.

（2）log225·

log34·

log59＝________.

（1）4log23＝22log23＝2log29＝9

（2）原式＝·

·

＝·

＝8.

（1）9　

（2）8

2．计算÷

100

＝______.

原式＝（lg2－2－lg52）×

＝lg×

10＝lg10－2×

10

＝－2×

10＝－20.

－20

3.lg－lg＋lg＝________.

lg－lg＋lg

＝（5lg2－2lg7）－·

3lg2＋（lg5＋2lg7）

＝（lg2＋lg5）＝.

[谨记通法]

对数运算的一般思路

（1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；

（2）将同底对数的和、差、倍合并；

（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．

[典例引领]

1．（2018·

苏北三市三模）如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y3＝logax（a＞1）的图象上，则实数a的值为________．

设C（x0，logax0），则2logaxB＝logax0，

即x＝x0，解得xB＝，

故xC－xB＝x0－＝2，解得x0＝4，

即B（2,2loga2），A（2,3loga2），

由AB＝2，可得3loga2－2loga2＝2，解得a＝.

2．若不等式logax＞（x－1）2恰有三个整数解，则a的取值范围为________．

由不等式logax＞（x－1）2恰有三个整数解，得a＞1.在同一直角坐标系中画出y＝logax（a＞1）与y＝（x－1）2的图象，可知不等式的整数解集为{2,3,4}，则应满足解得≤a＜.

[，）

[由题悟法]

研究对数型函数图象的思路

（1）研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a＞1或0＜a＜1这两种不同情况．

（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

[即时应用]

（2018·

常州一中模拟）设f（x）＝|lgx|，a，b为实数，且0＜a＜b.

（1）若a，b满足f（a）＝f（b），求证：

ab＝1；

（2）在

（1）的条件下，求证：

由关系式f（b）＝2f所得到的关于b的方程g（b）＝0，存在b0∈（3,4），使g（b0）＝0.

证明：

（1）结合函数图象，由f（a）＝f（b）可判断a∈（0,1），b∈（1，＋∞），

从而－lga＝lgb，即lgab＝0.

故ab＝1.

（2）因为0＜a＜b，

所以＞＝1.

由已知可得b＝2，即4b＝a2＋b2＋2ab，得＋b2＋2－4b＝0，g（b）＝＋b2＋2－4b，因为g（3）＜0，g（4）＞0，根据零点存在性定理可知，函数g（b）在（3,4）内一定存在零点，即存在b0∈（3,4），使g（b0）＝0.

[锁定考向]

高考对对数函数的性质及其应用的考查，多以填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．

常见的命题角度有：

（1）比较对数值的大小；

（2）简单的对数不等式；

（3）对数函数性质的综合问题．　　　　

[题点全练]

角度一：

比较对数值的大小

1．已知a＝log29－log2，b＝1＋log2，c＝＋log2，则a，b，c的大小关系为________（用“＞”表示）．

a＝log29－log2＝log23，

b＝1＋log2＝log22，c＝＋log2＝log2，

因为函数y＝log2x是增函数，且2＞3＞，

所以b＞a＞c.

b＞a＞c

角度二：

简单的对数不等式

2．（2018·

启东联考）已知一元二次不等式f（x）＞0的解集为（－∞，1）∪（2，＋∞），则f（lgx）＜0的解集为________．

因为一元二次不等式f（x）＞0的解集为（－∞，1）∪（2，＋∞），所以一元二次不等式f（x）＜0的解集为（1,2），由f（lgx）＜0可得1＜lgx＜2，从而解得10＜x＜100，所以不等式的解集为（10,100）．

（10,100）

角度三：

对数函数性质的综合问题

3．（2019·

盐城中学第一次检测）已知函数f（x）＝lg（2＋x）＋lg（2－x）．

（1）求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；

（2）记函数g（x）＝10f（x）＋3x，求函数g（x）的值域；

（3）若不等式f（x）＞m有解，求实数m的取值范围．

解：

（1）∵函数f（x）＝lg（2＋x）＋lg（2－x），

∴解得－2＜x＜2.

∴函数f（x）的定义域为（－2,2）．

∵f（－x）＝lg（2－x）＋lg（2＋x）＝f（x），

∴f（x）是偶函数．

（2）∵f（x）＝lg（2＋x）＋lg（2－x）＝lg（4－x2），

∴g（x）＝10f（x）＋3x＝－x2＋3x＋4

＝－2＋（－2＜x＜2），

∴g（x）max＝g＝，g（x）min＝g（－2）＝－6.

∴函数g（x）的值域是.

（3）∵不等式f（x）＞m有解，∴m＜f（x）max，

令t＝4－x2，由于－2＜x＜2，∴0＜t≤4，

∴m＜lg4.

∴实数m的取值范围为（－∞，lg4）．

[通法在握]

1．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤

2．比较对数值大小的方法

（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；

若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．

（2）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．

（3）若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．

[演练冲关]

1．（2019·

苏州模拟）已知函数f（x）＝logax2＋a|x|（a＞0，且a≠1），若f（－3）＜f（4），则不等式f（x2－3x）＜f（4）的解集为________．

易知函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），

∵f（－x）＝logax2＋a|x|＝f（x），∴f（x）在定义域上为偶函数，∴f（－3）＝f（3）．

∵f（－3）＜f（4），∴f（3）＜f（4），∴a＞1，f（x）在（0，＋∞）上单调递增．

故不等式f（x2－3x）＜f（4）满足解得－1＜x＜4，且x≠0，x≠3.

故不等式f（x2－3x）＜f（4）的解集为（－1,0）∪（0,3）∪（3,4）．

（－1,0）∪（0,3）∪（3,4）

2．已知函数f（x）＝log4（ax2＋2x＋3）．

（1）若f

（1）＝1，求f（x）的单调区间；

（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？

若存在，求出a的值；

若不存在，说明理由．

（1）因为f

（1）＝1，所以log4（a＋5）＝1，

因此a＋5＝4，a＝－1，

这时f（x）＝log4（－x2＋2x＋3）．

由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，

函数f（x）的定义域为（－1,3）．

令g（x）＝－x2＋2x＋3，

则g（x）在（－1,1）上递增，在（1,3）上递减．

又y＝log4x在（0，＋∞）上递增，

所以f（x）的单调递增区间是（－1,1），递减区间是（1,3）．

（2）假设存在实数a，使f（x）的最小值为0，

则h（x）＝ax2＋2x＋3应有最小值1，

因此应有解得a＝.

故存在实数a＝，使f（x）的最小值为0.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

淮安调研）函数f（x）＝log2（3x－1）的定义域为________．

由3x－1＞0，解得x＞，所以函数f（x）的定义域为.

2．函数f（x）＝log3（x2－2x＋10）的值域为________．

令t＝x2－2x＋10＝（x－1）2＋9≥9，故函数f（x）可化为y＝log3t，t≥9，此函数是一个增函数，其最小值为log39＝2，故f（x）的值域为[2，＋∞）．

[2，＋∞）

3．计算log23log34＋（）

log34＝________.

log23log34＋（）

＋3

＝2＋3log32＝2＋2＝4.

4

4．（2019·

长沙调研）已知函数y＝loga（x＋3）－1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A也在函数f（x）＝3x＋b的图象上，则f（log32）＝________.

∵函数y＝loga（x＋3）－1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（－2，－1），将x＝－2，y＝－1代入f（x）＝3x＋b，得3－2＋b＝－1，∴b＝－，∴f（x）＝3x－，

则f（log32）＝3log32－＝2－＝.

5．若函数f（x）＝（a＞0，且a≠1）的值域是[4，＋∞），则实数a的取值范围是________．

当x≤2时，y＝－x＋6≥4.

因为f（x）的值域为[4，＋∞），

所以当a＞1时，3＋logax＞3＋loga2≥4，所以loga2≥1，

所以1＜a≤2；

当0＜a＜1时，3＋logax＜3＋loga2，不合题意．故a∈（1,2]．

（1,2]

6．（2018·

镇江期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝1－log2x，则不等式f（x）＜0的解集是________．

当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝log2（－x）－1，f（x）＜0，即log2（－x）－1＜0，解得－2＜x＜0；

当x＞0时，f（x）＝1－log2x，f（x）＜0，即1－log2x＜0，解得x＞2，综上，不等式f（x）＜0的解集是（－2,0）∪（2，＋∞）．

（－2,0）∪（2，＋∞）

二保高考，全练题型做到高考达标

镇江中学调研）函数y＝log2x＋log2（4－x）的值域为________．

由题意知，x＞0且4－x＞0，∴f（x）的定义域是（0,4）．

∵函数f（x）＝log2x＋log2（4－x）＝log2[x（4－x）]，

∴0＜x（4－x）≤2＝4，当且仅当x＝2时等号成立．

∴log2[x（4－x）]≤2，∴函数y＝log2x＋log2（4－x）的值域为（－∞，2]．

（－∞，2]

镇江中学学情调研）已知函数f（x）＝lg的定义域是，则实数a的值为________．

因为函数f（x）＝lg的定义域是，所以当x＞时，1－＞0，即＜1，所以a＜2x，所以x＞log2a.令log2a＝，得a＝2＝，所以实数a的值为.

3．若函数f（x）＝lg（x2－2ax＋1＋a）在区间（－∞，1]上递减，则a的取值范围为________．

令函数g（x）＝x2－2ax＋1＋a＝（x－a）2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在（－∞，1]上递减，则有即解得1≤a＜2，即a∈[1,2）．

[1,2）

连云港模拟）已知函数f（x）＝lg，若f（a）＝，则f（－a）＝________.

因为f（x）＝lg的定义域为－1＜x＜1，

所以f（－x）＝lg＝－lg＝－f（x），

所以f（x）为奇函数，所以f（－a）＝－f（a）＝－.

－

5．函数f（x）＝＋lg的定义域为__________．

由得故函数定义域为（2,3）∪（3,4]．

（2,3）∪（3,4]

苏州调研）若函数f（x）＝（a＞0，且a≠1）的值域为[6，＋∞），则实数a的取值范围是________．

当x≤2时，f（x）∈[6，＋∞），所以当x＞2时，f（x）的取值集合A⊆[6，＋∞）．当0＜a＜1时，A＝，不符合题意；

当a＞1时，A＝（loga2＋5，＋∞），若A⊆[6，＋∞），则有loga2＋5≥6，解得1＜a≤2.

7．函数f（x）＝log2·

log（2x）的最小值为______．

依题意得f（x）＝log2x·

（2＋2log2x）＝（log2x）2＋log2x＝2－≥－，

当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，

因此函数f（x）的最小值为－.

8．设函数f（x）＝

若f（a）＞f（－a），则实数a的取值范围是________________．

由f（a）＞f（－a）得

或

即或

解得a＞1或－1＜a＜0.

（－1,0）∪（1，＋∞）

9．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）＝0，当x＞0时，f（x）＝log

x.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）解不等式f（x2－1）＞－2.

（1）当x＜0时，－x＞0，则f（－x）＝log

（－x）．

因为函数f（x）是偶函数，所以f（－x）＝f（x）．

所以函数f（x）的解析式为

f（x）＝

（2）因为f（4）＝log

4＝－2，f（x）是偶函数，

所以不等式f（x2－1）＞－2可化为f（|x2－1|）＞f（4）．

又因为函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数，

所以|x2－1|＜4，解得－＜x＜，

即不等式的解集为（－，）．

10．（2019·

如东上学期第一次阶段检测）已知函数f（x）＝loga（x＋1）＋loga（3－x）（a＞0且a≠1），且f

（1）＝2.

（1）求a的值及f（x）的定义域；

（2）若不等式f（x）≤c恒成立，求实数c的取值范围．

（1）因为f

（1）＝2，所以2loga2＝2，

故a＝2，

所以f（x）＝log2（1＋x）＋log2（3－x），

要使函数f（x）有意义，需有

解得－1＜x＜3，

所以f（x）的定义域为（－1,3）．

（2）由

（1）知，f（x）＝log2（1＋x）＋log2（3－x）

＝log2[（1＋x）（3－x）]＝log2（－x2＋2x＋3）

＝log2[－（x－1）2＋4]，

故当x＝1时，f（x）有最大值2，

所以c的取值范围是[2，＋∞）．

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

南京五校联考）已知函数f（x）＝x2＋ex－（x＜0）与g（x）＝x2＋ln（x＋a），若函数f（x）图象上存在点P与函数g（x）图象上的点Q关于y轴对称，则a的取值范围是________．

设点P（x0，y0）（x0＜0），则点P关于y轴的对称点Q（－x0，y0）在函数g（x）的图象上，

所以

消去y0，可得x＋ex0－＝（－x0）2＋ln（－x0＋a），

所以ex0－＝ln（－x0＋a）（x0＜0）．

令m（x）＝ex－（x＜0），n（x）＝ln（a－x）（x＜0），问题转化为函数m（x）与函数n（x）的图象在x＜0时有交点．

在平面直角坐标系中分别作出函数m（x）与函数n（x）的图象如图所示．

当n（x）＝ln（a－x）的图象过点时，a＝.

由图可知，当a＜时，函数m（x）与函数n（x）的图象在x＜0时有交点．

故a的取值范围为（－∞，）．

（－∞，）

昆山测试）已知函数f（x）＝lg（k∈R）．

（1）当k＝0时，求函数f（x）的值域；

（2）当k＞0时，求函数f（x）的定义域；

（3）若函数f（x）在区间[10，＋∞）上是单调增函数，求实数k的取值范围．

（1）当k＝0时，f（x）＝lg，定义域为（－∞，1）．

因为函数y＝（x＜1）的值域为（0，＋∞），

所以f（x）＝lg的值域为R.

（2）因为k＞0，所以关于x的不等式＞0⇔（x－1）（kx－1）＞0⇔（x－1）＞0.（*）

①若0＜k＜1，则＞1，不等式（*）的解为x＜1或x＞；

②若k＝1，则不等式（*）即（x－1）2＞0，其解为x≠1；

③若k＞1，则＜1，不等式（*）的解为x＜或x＞1.

综上，当0＜k≤1时，函数f（x）的定义域为（－∞，1）∪；

当k＞1时，函数f（x）的定义域为∪（1，＋∞）．

（3）令g（x）＝，则f（x）＝lgg（x）．

因为函数f（x）在[10，＋∞）上是单调增函数，且对数的底数10＞1，

所以当x∈[10，＋∞）时，g（x）＞0，且函数g（x）在[10，＋∞）上是单调增函数．

而g（x）＝＝＝k＋，

若k－1≥0，则函数g（x）在[10，＋∞）上不是单调增函数；

若k－1＜0，则函数g（x）在[10，＋∞）上是单调增函数．

所以k＜1.①

因为函数g（x）在[10，＋∞）上是单调增函数，

所以要使当x∈[10，＋∞）时，g（x）＞0，必须g（10）＞0，

即＞0，解得k＞.②

综合①②知，实数k的取值范围是.