江西南昌一中南昌十中高三第一次联考数学文word解析版Word格式文档下载.docx

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；

②f（x）=x与

③f（x）=x0与

④f（x）=x2﹣2x﹣1与g（t）=t2﹣2t﹣1．

　A．①②B．①③C．③④D．①④

判断两个函数是否为同一函数．

函数的性质及应用．

确定函数的三要素是：

定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．

①f（x）=

=

与y=

的对应法则和值域不同，故不是同一函数．

②

=|x|与f（x）=x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．

都可化为y=1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．

④f（x）=x2﹣2x﹣1与g（t）=t2﹣2t﹣1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．

由上可知是同一函数的是③④．

本题考查了函数的定义，明确三要素是判断两个函数是否是同一函数的依据．

4．（5分）条件p：

|x|=x，条件q：

x2≥﹣x，则p是q的（　　）

　A．充分不必要条件B．必要不充分条件

　C．充要条件D．既不充分也不必要条件

必要条件、充分条件与充要条件的判断．

通过解方程化简条件p：

为x≥0，通过解不等式化简条件q：

为x≥0或x≤﹣1，判断出{x|x≥0}⊊{x|x≥0或x≤﹣1}，根据小范围成立大范围一定成立，利用充要条件的有关定义得到结论．

条件p：

|x|=x，即为x≥0

条件q：

x2≥﹣x，即为x≥0或x≤﹣1，

因为{x|x≥0}⊊{x|x≥0或x≤﹣1}，

所以p是q充分不必要条件．

故选A．

本题考查判断一个条件是另一个条件的什么条件，应该先化简两个条件，若两个都是数集，常转化为集合间的包含关系，属于基础题．

5．（5分）f（x）是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是（　　）

　A．f（﹣x）+f（x）=0B．f（﹣x）﹣f（x）=﹣2f（x）C．f（x）•f（﹣x）≤0D．

函数奇偶性的性质．

常规题型．

由函数为奇函数，可得到f（﹣x）=﹣f（x）且f（0）=0，通过加减乘除来变形，可得到结论．

∵f（x）是定义在R上的奇函数

∴f（﹣x）=﹣f（x）且f（0）=0

可变形为：

f（﹣x）+f（x）=0

f（﹣x）﹣f（x）=﹣2f（x）

f（x）•f（﹣x）≤0

而由f（0）=0

由知D不正确．

故选D

本题主要考查函数奇偶性模型的各种变形，数学建模，用模，解模的意识要加强，每一个概念，定理，公式都要从模型的意识入手．

6．（5分）如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是（　　）

　A．a≤﹣3B．a≥﹣3C．a≤5D．a≥5

二次函数的性质．

先用配方法将二次函数变形，求出其对称轴，再由“在（﹣∞，4]上是减函数”，知对称轴必须在区间的右侧，求解即可得到结果．

∵f（x）=x2+2（a﹣1）x+2=（x+a﹣1）2+2﹣（a﹣1）2

其对称轴为：

x=1﹣a

∵函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数

∴1﹣a≥4

∴a≤﹣3

故选A

本题主要考查二次函数的单调性，解题时要先明确二次函数的对称轴和开口方向，这是研究二次函数单调性和最值的关键．

7．（5分）（2012•德州一模）若

则（　　）

　A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜c＜a

根式与分数指数幂的互化及其化简运算；

不等关系与不等式．

求出a，b，c的取值或取值范围，即可比较它们的大小．

因为

，

又

所以a＜c＜b．

本题考查对数值的求法，指数的数值的运算，考查不等关系与不等式的应用．

8．（5分）已知a＞b，函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象如图所示，则函数g（x）=loga（x+b）的图象可能为

（　　）

对数函数的图像与性质；

二次函数的图象．

计算题．

由a＞b，函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象可知，a＞1＞b＞0．于是g（x）=loga（x+b）的图象是单调递增的，g

（1）＞0，从而可得答案．

解：

由f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象与a＞b得：

a＞1＞b＞0．

∴g（x）=loga（x+b）的图象是单调递增的，可排除A，D，

又g

（1）=loga（1+b）＞loga1=0，可排除C，

本题考查对数函数的图象与性质，由由a＞b与函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象得到a＞1＞b＞0是关键，属于基础题．

9．（5分）设

，则使得f（x）=xn为奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递减的n的个数是（　　）

　A．1B．2C．3D．4

奇函数．

根据幂函数的指数大于0，则在区间（0，+∞）上单调递增，可排除n=

，1，2，3的可能，然后判定当n=﹣1时，f（x）=

是否满足条件即可．

f（x）=xn，当n＞0时函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，故

，1，2，3都不符合题意

当n=﹣1时，f（x）=

，定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）=﹣

=﹣f（x），在区间（0，+∞）上单调递减，故正确

本题主要考查了幂函数的性质，同时考查了函数奇偶性的判定，属于基础题．

10．（5分）函数y=f（x）是R上的奇函数，满足f（3+x）=f（3﹣x），当x∈（0，3）时f（x）=2x，则当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）=（　　）

　A．2x+6B．﹣2x+6C．2x﹣6D．﹣2x﹣6

函数解析式的求解及常用方法；

奇函数；

函数的周期性．

由已知中定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，且满足f（3+x）=f（3﹣x），我们可以求出函数的对称轴和对称中心，根据函数对称性与周期性之间的关系，我们易求出函数的周期，进而结合当x∈（0，3）时f（x）=2x，即可求出当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）的解析式．

∵f（3+x）=f（3﹣x），

故直线x=3是函数y=f（x）的一条对称轴

又由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，

故原点（0，0）是函数y=f（x）的一个对称中心

则T=12是函数y=f（x）的一个周期

设x∈（﹣6，﹣3）则x+6∈（0，3）时f（x+6）=2x+6=f（﹣x）=﹣f（x）

即f（x）=﹣2x+6

故选B

本题考查的知识点是函数的奇偶性的性质，函数的对称性，函数的同期性，其中根据直线x=a是函数图象的对称轴，（b，0）是函数图象的对称中心，则T=4|a﹣b|是函数的周期是解答本题的关系．

二、填空题：

本大题共5小题；

每小题5分，共25分，把答案填在答题纸的相应横线上．

11．（5分）设

，若f（x）=3，则x=　

　．

函数的值．

根据已知中分段函数的解析式

，我们分x≤﹣1时、﹣1＜x＜2时、x≥2时三种情况，分别构造方程，解出满足条件的x值，即可得到答案．

当x≤﹣1时，即x+2=3，解得x=1（舍去）

当﹣1＜x＜2时，即x2=3，解得x=

，或x=﹣

（舍去）

当x≥2时，即2x=3，解得x=

故当f（x）=3，则x=

故答案为：

本题考查的知识点是函数函数的值，分段函数分段处理，分别在若干个x的不同取值范围内，构造满足条件的方程，并结合x的不同取值范围进行求解是解决这类问题的通法．

12．（5分）已知

，函数f（x）=ax，若实数m，n满足f（m）＜f（n），则m、n的大小关系是　m＞n　．

指数函数的单调性与特殊点．

由题意可得：

函数f（x）=ax在R上是单调减函数，又f（m）＜f（n），可得：

m＞n．

＜1，

所以函数f（x）=ax在R上是单调减函数，

因为f（m）＜f（n），

所以根据减函数的定义可得：

解决此类问题的关键是熟练掌握指数函数的单调性与定义，以及单调函数的定义，此题属于基础题．

13．（5分）已知命题p：

∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0；

命题q：

∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为

　a≤﹣2或a=1　．

命题的真假判断与应用．

根据命题“p且q”是真命题，得到两个命题都是真命题，当两个命题都是真命题时，第一个命题是一个恒成立问题，分离参数，根据x的范围，做出a的范围，第二个命题是一元二次方程有解问题，利用判别式得到结果．

∵“p且q”是真命题，

∴命题p、q均为真命题，

由于∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，

∴a≤1；

又因为∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，

∴△=4a2+4a﹣8≥0，

即（a﹣1）（a+2）≥0，

∴a≤﹣2或a≥1，

综上可知，a≤﹣2或a=1．

a≤﹣2或a=1

本题考查命题真假的判断与应用，是一个综合题，这种题目一般是以解答题目出现，是一个不错的题目，但解起来容易出错．

14．（5分）函数y=

的单调递减区间是　（1，3]　．

对数函数的单调区间．

由﹣x2+6x﹣5＞0，先求函数的定义域（1，5）由复合函数的单调性可知只需求出t（x）=﹣x2+6x﹣5的单调递增区间，最后于定义域取交集可得答案．

由﹣x2+6x﹣5＞0解得，1＜x＜5，即函数的定义域为（1，5）

函数y=

可看作y=

，和t（x）=﹣x2+6x﹣5的复合．

由复合函数的单调性可知只需求t（x）的单调递增区间即可，

而函数t（x）是一个开口向下的抛物线，对称轴为x=

故函数t（x）在（﹣∞，3]上单调递增，由因为函数的定义域为（1，5），

故函数y=

的单调递减区间是（1，3]．

故答案为（1，3]．

本题为复合函数的单调区间的求解，利用复合函数的单调性的法则，注意定义域优先的原则，属基础题．

15．（5分）（2012•菏泽一模）已知定义在R上的偶函数满足：

f（x+4）=f（x）+f

（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：

①f

（2）=0；

②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；

③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；

④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．

上述命题中所有正确命题的序号为　①②④　．

命题的真假判断与应用；

函数单调性的判断与证明；

根据f（x）是定义在R上的偶函数，及在f（x+4）=f（x）+f

（2），中令x=﹣2可得f（﹣2）=f

（2）=0，从而有f（x+4）=f（x），故得函数f（x）是周期为4的周期函数，再结合y=f（x）单调递减、奇偶性画出函数f（x）的简图，最后利用从图中可以得出正确的结论．

∵f（x）是定义在R上的偶函数，

∴f（﹣x）=f（x），

可得f（﹣2）=f

（2），

在f（x+4）=f（x）+f

（2），中令x=﹣2得

f

（2）=f（﹣2）+f

（2），

∴f（﹣2）=f

（2）=0，

∴f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，又当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，结合函数的奇偶性画出函数f（x）的简图，如图所示．

从图中可以得出：

③函数y=f（x）在[8，10]单调递减；

①②④．

本题考查函数奇偶性的性质，函数奇偶性的判断，考查学生的综合分析与转化能力，属于难题．

三、解答题：

本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．

16．（12分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0}，

（1）当m=0时，求A∩B

（2）若p：

x2﹣2x﹣3＜0，q：

（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

必要条件、充分条件与充要条件的判断；

一元二次不等式的解法．

常规题型；

转化思想．

（1）分别求出A，B，再根据集合的交集运算，求出A与B的交集即可；

（2）由于q是p的必要不充分条件，再由判断充要条件的方法，我们可知A

B，再根据集合关系求出m的范围即可．

（1）∵A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，…（2分）

B={x|（x+1）（x﹣1）≥0}={x|x≥1或x≤﹣1}．…（4分）

∴A∩B={x|1≤x＜3}．…（6分）

（2）由于命题p为：

（﹣1，3），…（7分）

而命题q为：

（﹣∞，m﹣1]∪[m+1，+∞），…（9分）

又q是p的必要不充分条件，即p⇒q，…（10分）

所以m+1≤﹣1或m﹣1≥3，解得m≥4或m≤﹣2

即实数m的取值范围为：

（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．…（12分）

本题考查充分条件、必要条件及充要条件的判断，同时考查了一元二次不等式的解法，集合的运算．

由判断充要条件的方法，我们可知命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则A

B．

17．（12分）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f

（2）=1．

（1）求f（8）的值；

（2）求不等式f（x）＞3+f（x﹣2）的解集．

抽象函数及其应用；

计算题；

（1）令x=y=2，可求得f（4），继而可求得f（8）的值；

（2）由

（1）f（8）=3，可求得f（x）＞3+f（x﹣2）⇔f（x）＞f（8x﹣16），利用f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数即可求得答案．

（1）由题意得f（8）=f（4×

2）

=f（4）+f

（2）

=f（2×

2）+f

（2）

=f

（2）+f

（2）+f

（2）

=3f

（2），

又∵f

（2）=1，

∴f（8）=3…（6分）

（2）不等式化为f（x）＞f（x﹣2）+3

∵f（8）=3，

∴f（x）＞f（x﹣2）+f（8）=f（8x﹣16）…（8分）

∵f（x）是（0，+∞）上的增函数

∴解得2＜x＜

．

∴不等式f（x）＞3+f（x﹣2）的解集为{x|2＜x＜

}…（12分）

本题考查抽象函数及其应用，考查赋值法与函数单调性的性质，求得f（8）=3是关键，属于中档题．

18．（12分）（2003•北京）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？

最大月收益是多少？

根据实际问题选择函数类型；

函数的最值及其几何意义．

应用题；

压轴题．

（Ⅰ）严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可；

（Ⅱ）从月租金与月收益之间的关系列出目标函数，再利用二次函数求最值的知识，要注意函数定义域优先的原则．作为应用题要注意下好结论．

（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，

未租出的车辆数为

所以这时租出了88辆车．

（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，

则租赁公司的月收益为

整理得

所以，当x=4050时，f（x）最大，最大值为f（4050）=307050，

即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．

本题以实际背景为出发点，既考查了信息的直接应用，又考查了目标函数法求最值．特别是二次函数的知识得到了充分的考查．在应用问题解答中属于非常常规且非常有代表性的一类问题，非常值得研究．

19．（12分）已知二次函数f（x）的二次项系数为a，满足不等式f（x）＞﹣2x的解集为（1，3），且方程f（x）+6a=0有两个相等实根，求f（x）的解析式．

函数与方程的综合运用．

依据不等式f（x）＞﹣2x的解集为（1，3），可设函数f（x）﹣2x的解析式为（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3），得出f（x）的解析式．再利用f（x）+6a=0有两个相等的实数根，通过△=0求出a的值最后代入f（x）即可得出答案．

∵f（x）与f（x）+2x的二次项系数相等，

∴f（x）+2x的二次项系数为a．

又∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3），

∴设f（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3）（a＜0），

∴f（x）=a（x2﹣4x+3）﹣2x=ax2﹣（4a+2）x+3a．

∵方程f（x）+6a=0有两个相等实根

∴ax2﹣（4a+2）x+9a=0有两个相等实根．

∴[﹣（4a+2）]2﹣36a2=0，解得a=1（舍去），

∴

本题主要考查用待定系数法求函数解析式的问题．属基础题．

20．（13分）集合A是由适合以下性质的函数组成：

对于任意x≥0，f（x）∈[﹣2，4]，且f（x）在（0，+∞）上是增函数．

（1）试判断

及

是否在集合A中，并说明理由；

（2）若定义：

对定义域中的任意一个x都有不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）恒成立，则称这个函数为凸函数．对于

（1）中你认为在集合A中的函数f（x）是凸函数吗？

试证明你的结论．

函数恒成立问题；

偶函数．

（1）依据集合A的定义逐一判断即可．

（2）验证

（1）中属于集合A的函数是否满足凸函数的定义即可．

（1）当x=49时，

，所以f1（x）∉A；

当x≥0时，

，4﹣6

∈[﹣2，4），所以f2（x）∈[﹣2，4]，

又当x＞0时，

单调递减，∴

单调递增，

故f2（x）∈A．

（2）因为f2（x）+f2（x+2）﹣2f2（x+1）=[4﹣6

]+[4﹣6

]﹣2[4﹣6

]

=12

﹣6

，所以，f2（x）+f2（x+2）＜2f2（x+1）．

即f2（x）对任意x都有不等式f2（x）+f2（x+2）＜2f2（x+1）成立．

故f2（x）是凸函数．

本题考查了函数恒成立问题，利用所学知识解决新问题的能力．

21．（14分）已知函数

是奇函数，f（x）=lg（10x+1）+mx是偶函数．

（1）求m+n的值；

（2）设

，若g（x）＞h[lg（2a+1）]对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围．

函数奇偶性的性质；

其他不等式的解法．

（1）函数g（x）是奇函数，且在x=0处有意义，得g（0）=0，解得m，f（x）是偶函数利用f（﹣x）=f（x）解得n，从而得m+n的值．

（2）g（x）＞h[lg（2a+1）]对任意x≥1恒成立即lg（2a+2）小于2x﹣2﹣x的最小值，利用单调性的定义探讨该函数的单调性即可的其最小值，将恒成立问题转化为函数的最值问题，解不等式组即可的a的范围．

（1）∵g（x）为奇函数，且定义域为R∴g（0）=

=0，解得n=1

∵f（x）=lg（10x+1）+mx是偶函数．

∴f（﹣x）=lg（10﹣x+1）﹣mx=

﹣mx=lg（10x+1）﹣x﹣mx=lg（10x+1）﹣（m+1）x

=f（x）=lg（10x+1）+mx∴m=﹣（m+1），∴m=﹣

∴m+n=

（2）∵

=lg（10x+1）

∴h[lg（2a+1）]=lg[10lg（2a+1）+1]=lg（2a+2）

∵

=2x﹣2﹣x

∴g（x）＞h[lg（2a+1）]对任意x≥1恒成立即lg（2a+2）＜2x﹣2﹣x对任意x≥1恒成立

取x1＞x2≥1，则g（x1）﹣g（x2）=（

）

＞0

即当x≥1时，g（x）是增函数，∴g（x）min=f

（1）=

由题意得2a+2＜

，2a+1＞0，2a+2＞0，

解得﹣

＜a＜5

﹣1

即a的取值范围是{a|﹣

﹣1}

本题考查了函数奇偶性的性质，单调性的判断和证明，在探讨不等式恒成立时注意条件的转化，考虑定义域．是中档题．