小学数学图形与几何文档格式.docx

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在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：

合情推理用于探索思路，发现结论；

演绎推理用于证明结论。

通过对一线教师的访谈，查阅资料，把老师们的困惑集中起来，归结为四个大话题。

讨论话题：

1．如何在观察、操作中“认识图形”抽象出图形特征，发展空间观念？

2．如何以“图形的测量”为载体，渗透度量意识，体会测量的意义，认识度量单位及其实际意义，了解掌握测量的基本方法，并在具体问题中进行恰当的估测？

从而发展学生的空间观念与推理能力？

3．如何通过“图形的运动”探索发现，体会研究图形性质的不同方法，发展学生几何直观能力和空间观念，提高学生研究图形性质的兴趣？

4．如何通过学习“确定图形位置”的方法，发展学生的空间观念和推理能力？

话题一、图形的认识——抽象图形特征，发展空间观念

问题一、新的课程标准在图形的认识方面有哪些变化？

有哪些新的要求呢？

这次新课标修订后图形的认识部分都包括哪些内容？

有什么新的变化？

课标修订前后立体图形的认识部分内容的对比：

修订前修订后

1.能通过实物和模型辨认长方体、正通过实物和模型辨认长方体、1）（第一

正方体、圆柱和球等立体图形。

方体、圆柱和球等几何体。

学段

（2）辨认从正面、侧面、上面观照片或直观图辨2.能根据具体事物、［参见例察到的简单物体的形状。

认从不同角度观察到的简单物体（参1］见例11）。

）辨认长方形、正方形、三角（3

形、平行四边形、圆等简单图形。

能辨认长方形、正方形、三角形、3.能用自己）通过观察、操作，4（

平行四边形、圆等简单图形。

长方形、正方形的特征。

的语言描述）会用长方形、正方形、三角5（

长方4.通过观察、操作，初步认识形、平行四边形或圆拼图。

形、正方形的特征。

）结合生活情境认识角，会辨6（

认直角、锐角和钝角。

会用长方形、正方形、三角形、平5.）能对简单几何体和图形进行7（

行四边形或圆拼图。

分类。

结合生活情境认识角，了解直角、6.

锐角和钝角。

能对简单几何体和图形进行分类7.

）。

（参见例20

1．结合实例了解线段、射线和直线。

了解两点确定一条直线和两（第二1）

条相交直线确定一个点。

2．体会两点间所有连线中线段最短，学段）能区分直线、线段和射线。

（2

知道两点间的距离。

）体会两点间所有连线中线段3（

最短，知道两点间的距离。

知道平角与周角，了解周角、平角、3．）知道周角、平角的概念及周（4

钝角、直角、锐角之间的大小关系。

角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。

4．结合生活情境了解平面上两条直线）结合生活情境了解平面上两5（

的平行和相交（包括垂直）关系。

条直线的平行和相交（包括垂直）关．

5．通过观察、操作，认识平行四边形、系。

（6）通过观察、操作，认识平行梯形和圆，知道扇形，会用圆规画四边形、梯形和圆，会用圆规画圆。

圆。

（7）认识三角形，通过观察、操6．认识三角形，通过观察、操作，了作，了解三角形两边之和大于第三解三角形两边之和大于第三边、三角边、三角形内角和是180°

。

形内角和是180°

）认识等腰三角形、等边三角8（

形、直角三角形、锐角三角形、钝角直．认识等腰三角形、等边三角形、7三角形。

钝角三角形。

锐角三角形、角三角形、）通过观察、操作，认识长方9（

体、正方体、圆柱和圆锥，认识长方侧面、．8能辨认从不同方向（前面、展开图。

体、正方体和圆柱的

（参见例上面）看到的物体的形状图从不同方位看到的（10）能辨认）。

32［参见例物体的形状和相对位置。

］1．通过观察、操作，认识长方体、正9方体、圆柱和圆锥，认识长方体、正方体和圆柱的展开图。

从这个表中可以看到，课表修订前后在图形的认识部分只有一些细小的变化，图形与几何这一模块原称空间与图形，变“空间与图形”为“图形与几何”；

重提几何直观、推理能力、运算能力、逻辑思维能力，用词更加规范，体现了课标的严肃。

<

标准>

的”图形与几何”第一、二学段仍分为四部分，具体表示有所变动，

（1）图形的认识，

（2）测量，（3）图形的运动（修改稿：

图形与变换），（4）图形与位置。

图形的运动”强调了图形的运动是研究图形性质的一种有效方法。

运动也是一种基本的数学思想。

第二学段的内容标准删除“两点确定一条直线”和“两条直线确定一个点”。

“图形与几何”领域，将几何学习的视野拓宽到学生生活的空间，强调空间和图形知识的现实背景，从第一学段开始使学生接触丰富的几何世界。

新《标准》突出用观察、描述、制作、从不同的角度观察物体、认识方向、制作模型等活动，发展学生的空间观念和图形设计与推理（合情推理与演绎推理）的能力。

新《标准》在第二学段还增加了知道扇形这一内容。

扇形的认识，《大纲》（修订版）教材作为选学内容，《数学课程标准》中没有认识扇形的要求。

认识扇形在《课标修改稿》中确实没有做要求，但在“统计与概率”部分却明确提出了通过实例认识扇形统计图的内容标准，考虑到知识的系统性、逻辑性和连贯性，以及学生认识扇形统计图的需要，《课标修订稿》在认识圆的基础上，增加了初步认识扇形。

简单说对图形认识的要求主要包括两个方面：

一是对图形自身特征的认识。

二是对图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识。

．

初“到“辨认”在三个学段中，认识同一个或同一类图形的要求有明显的层次性：

从。

例如，对于长方体、正方体、圆柱探索并证明””到“步认识”，再从“认识

；

第三学段要求了”；

第二学段要求“认识和球等几何体，第一学段要求“辨认”解其中一些几何体的侧面展开图。

第三学”“认识又如，对于平行四边形，第一学段要求“辨认”；

第二学段要求。

探索并证明平行四边形的性质定理、判定定理“”段要求

再如，三角形内角和的例子：

能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察“，第一学段要求”关于“视图

能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体“；

第二学段要求到的简单物体”球的主视图、左视图、俯视图，圆锥、“会画直棱柱、圆柱、”；

第三学段要求的形状图。

”能判断简单物体的视图，会根据视图描述简单的几何体逐渐深入、也符合学生的认知特点，这种要求的层次性，既体现了从整体到局部的认识过程；

循序渐进。

形状之间关系位置、对图形的各元素之间、图形与图形之间的关系的认识，主要包括大小、体会两点间所有连线“”；

第二学段的的认识。

第一学段的“了解直角、锐角和钝角了解“了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系“”；

中线段最短”

能比较角，“会比较线段的长短；

第三学段的于第三边”“”三角形两边之和大的大小”等，都是对图形大小关系的研究。

点与直线的位置关系、直线与直线的位置关系、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系等，是义务教育阶段几种主要的图形位置关系；

轴对称、中心对称、平移也反映了图形与图形之间的位置关系。

图形的全等、相似都是研究研究图形之间关系的课程内容，全等研究的是图形的形状、大小关系；

图形的相似研究的是图形的形状之间的关系；

而图形的位似则还涉及到了图形的位置关系。

在儿童的不同学段上，形象思维的发展是有层次的，荷兰范.希尔夫妇对学生几何思维水平的研究说明了从直观辨认到探索特征是儿童的对图形的形象思维规律。

他们将学生的图形认知水平主要分为五级：

水平1：

直观化；

水平2：

描述/分析；

水平3：

抽象/关联；

水平4：

演绎/形式化推理；

水平5：

严密/元数学。

一二三水平在小学体现，四五水平是在中学体现的。

这和我们课标的要求也是一致。

图形认识的教学先明确两点：

一是这部分内容属于图形认识的哪个水平，前后继知识各是什么；

二是多数学生现在的形象思维处于一个什么阶段，要通过你的教学达到什么阶段。

问题二、小学阶段对于“图形的认识”这一内容，教材是遵循怎样一个编排体系的？

第一，现在的教材，在图形的认识当中，是先讲立体，再讲平面，再回到立体。

从历史发展过程上看，实际上我们中国小学的传统教材，最初是按点、线、面、体的逻辑关系讲的。

到了上个世纪90年代以后，义务大纲出现就发生变化了，先讲立体以后再讲平面，然后又回到立体。

为什么当时要改？

因为当时很多老师都反映，高年级孩子，对几何立体图形，本身的识图的能力比较低，认识起来比较困难。

这部分是个难点，分阶段安排可以分散难点。

第二，实际上一个人是生活在三维空间当中，一个婴儿从出生落地，他所有接触的东西，看到的东西，实际上都是体，他的奶瓶，他玩的积木都是体，住的大大楼里，所有东西都是体，在这个过程中儿童积累了很多立体的物体，因此所有的几何体，都具有直观的实物的模型的。

那在这种情况之下，低年级孩子，刚开始初步的认识立体图形是有可能的。

所以一是有必要，二是有可能，再加上儿童的空间观念的形成，必然是有一个长期的反复的积累的过程，不能一次到位。

所以当时的义务大纲就打破了传统的一步到位，先讲立体图形，要求直观认识，然后中间一段是平面图形，最后再讲立体图形。

现在教材也一样，先讲立体，后讲平面，再回到立体，但这两次讲立体层次不同，第一次要求辨认，到第二学段要求是认识。

也就是现在教材是“体－形－体”的混合螺旋编排结构

问题三、怎样通过图形的认识教学，培养学生的空间观念？

第一、通过对实物的观察与操作认识图形

第一学段要求“能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体”、“通过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征”；

第二学段要求“结合实例了解线段、射线和直线”、“结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系”

等，这些要求的共同特点是通过观察与操作认识图形，直观地、整体地认识立体图形和平面既符合学生认识事物的规律，从对实物的观察与操作过程中来认识图形的特征和性质，图形。

也符合数学课程的目标要求。

这样的过程有助于学生发展能力，初步体会数学的思想方法，发展积极的情感与态度。

人们生活在三维的空间中，常见的楼房、积木、各种包装盒、皮球…都给我们以长方体、正方体、圆柱体、球体等直观形象。

基于这样的生活经验，学生可以从认识立体图形开始，

“通过实物和模型等辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体”。

“辨认”是认识的低级阶段，但与以往的经验有所不同，它要经历从实物到几何图形的抽象过程。

从不同的角度观察长方体、正方体、圆柱体、球的表面，抽象出长方形、正方形、圆等平面图形。

像这样从具体到抽象，从实物到图形，从整体到局部的安排，揭示了立体图形与平面图形的关系，也符合学生的认知特点。

第二学段要求“结合实例了解线段、射线和直线”、“结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系”。

射线和直线涉及到了无限的概念，与长方体、正方体、长方形、正方形等相比，在现实中没有“直线”的实物原型，这就需要学生进行抽象与想象。

认识线段要容易一些，因为现实生活中有“线段”的实物原型。

类似的，学生理解两条直线平行的位置关系也比较困难，可以利用两根铁轨作为实物原型来描述，两根铁轨不相交以及它们之间的距离处处相等的事实，都揭示了平行线的本质，但铁轨无法总是笔直的延伸，所以在从实物到几何图形的抽象过程中还需要想象，这有助于学生发展抽象能力和空间观念。

第二、基于图形的想象和图形之间的转换，发展空间观念

等内容。

”视图和投影、展开与折叠“新教材内容编排上增加了．

视图和投影，过去小学没有，现在小学数学几何和图形当中，增加了观察物体，这部分在课标上有两个要求。

第一个学段的要求是根据具体事物照片或直观图，辨认从不同角度观察到的简单物体的形状，这是辨认。

很多教材里面是这样，有的是拿个实物，有的是拿熊猫玩具等，让孩子们从各种角度去看，看的时候，孩子们就发现，不同角度看到的熊猫不一样。

第二个学段的要求能辨认从不同方向，方向是从前面、侧面或者上面来观察，从不同方向看到物体的形状图，这个形状图实际上就是一个平面图，就是从水平方向对物体所做的一个投影，也就是拍照。

例如

拍照的结果，虽然不是真正意义上的视图，但是它的确实现了，把三维空间向二维空间的一个转化的过程，这是过去小学没有的，现在有了，这两个阶段的目标要达到，就为第三学段的正式的视图和投影打下比较好的基础。

“折叠”和“展开”，过去教材也有，长方体、正方体、圆柱体的展开图。

但是这个做法现在要加强，而且在进行折叠和展开当中，操作过程，必须要通过儿童的想象，这个过程本有什么实际意义呢？

这是让孩子们认识到，立体图形的结构和展开图之间的这种对应关系。

怎么让他来认识这个对应关系呢？

例如，“正方体展开图”课例。

通过课例可以看到，孩子可以折一折，通过操作找到结果；

也可以不折，先想一想，我们提倡先想象，再动手验证，这样有利于发展学生的空间想象力，促进空间观念的形成。

让学生操作的时候，它不是一个简单的操作，首先得想象一下，可能会是什么样子，然后再通过操作，去验证自己的想法，而这个过程，学生参与这个想象，包括动手操作，包括把这个过程表现出来，是非常重要的。

让学生的这种想象也好，操作也好，实际上进一步理解，我们讲三维和两维之间的这样一种关系，就是你讲的对应关系，是经历了下面过程。

“认识长方体、正方体和圆柱的展开图”，体现了三维图形与二维图形之间相互转换的具体要求，目标是在图形转换中引导学生观察、抽象、想象，发展空间观念。

教学中应注重展开与折叠的操作过程，通过想象实现图形之间的转换，让学生记忆展开图的数量或类型的做法是不可取的。

认识图形过程中大量的操作性活动，有利于学生积累数学活动经验，发展学生空间观念教学中应当予以充分的重视。

话题二、图形的测量——渗透度量意识，掌握测量方法

吴正宪（北京教育科学研究院）

王彦伟（北京东城区教师研修中心）

张杰（北京东城区教育研修学院）

一、如何以“图形的测量”为载体，体会测量的意义，认识度量单位及其实际意义，渗透度量意识。

（一）使学生体会建立统一度量单位的重要性

在教学长度单位的认识时，经常有老师问为什么要讲统一单位？

原来的教学中学生就是直接认识长度单位，学习度量单位有什么价值？

下面以人教版教材为例谈一谈：

二年级学生第一次学习长度单位，教材呈现的例1，并没有上来就认识厘米，而是创设了一个活动的情境：

让学生测量数学书封面，有的学生用两个硬币或者两个三角形，两个曲别针进行测量。

这个活动使学生感受用不同的测量工具，测量出不同的物体长度。

然后例2是开始学习厘米的认识。

《标准》在第一学段要求“结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程，体会建立统一度量单位的重要性。

”这种要求对面积、体积的单位也同样适用。

度量单位是度量的核心，度量单位的统一是使度量从个别的、特殊的测量活动成为一般化的、可以在更大范围内应用和交流的前提。

因此，在课程的实施过程中，应该为学生提供必要的机会，鼓励学生选择不同的方法进行测量，并在相互交流的过程中发现发现不同的方法，不同单位的选择对测量结果的影响，进而体会建立统一度量单位的重要性。

例如，海淀区中关村三小鲍海影老师执教的《厘米的认识》一课，学生在活动中充分体会了统一度量单位的重要性。

鲍老师创设了一个情境，先鼓励学生采用不同的办法去测量相同的长度，有的学生用手量，有的用自己的铅笔量，还有可能用自己桌上的橡皮去量，由于采用了不同的测量工具，所得的结论，当然是不同的了。

比如说，有的同学测量的是三扎长，有的同学可能测量的是五根铅笔这么长，还有的同学测量的是15块橡皮那么长。

学生通过交流发现，当同学们你说你的结果，我说我的结果，彼此间就无法交流。

通过这个活动让学生深刻地体会到度量单位需要统一，否则它会给生活带来不便。

这时，学生有一个共同的心里需求，即要使测量结果让大家都接受，就必须要有一个公认的标准单位。

学生产生了这种需求，然后再来学习长度单位。

建立标准度量单位，有助于学生从知识本身的逻辑体系出发，对建立标准单位的意义有客观地认识。

教材这样编排，不仅突出了统一单位的重要性，也体现了一种数学的文化内涵，揭示了度量单位是怎么发生发展，又是怎么推动社会的前进的。

《2011版数学课程标准》特别强调，要结合生活实际，经历用不同方式，测量物体长度的过程，让学生去体会建立统一度量单位的重要性。

所以教师在教学实践中，应该坚持把让学生体会了统一度量单位的重要性这个环节设计好，让学生经历完整“度量单位”的从形成到产生的过程。

由此看来，关于让学生体会建立统一的度量单位的重要性，不仅要在长度的测量中给予关注，在面积和体积的测量中，仍要让学生去感受。

（二）使学生理解与把握度量单位的实际意义，对测量结果有很好的感悟

《标准》在第一学段要求“在实践活动中，体会并认识长度单位千米、米、厘米，知道分米、毫米，能进行简单的单位换算，能恰当地选择长度单位”。

进行单位之间的换算，不能靠机械地记忆换算公式和反复操练，而是要能够体会单位之间的实际关系，这就涉及到了对单位的理解。

长度（类似的，面积、体积）

单位不仅仅是一个抽象的概念，对它的体会和认识应当通过实践活动，体验它的

实际意义。

例如，生活中哪些物体的长度大约为1米，1厘米的长度可以用什么熟悉的

物体来估计，哪些物体的重量大约是1千克，哪些物体的体积大约是1立方米等。

对单位的实际意义的理解，还体现在对测量结果、对量的大小或关系的感悟。

关于对度量单位的认识，要结合实际例子体会度量单位的大小，比如，一个成人的身高为175（），应当选择cm而不是mm作为单位，这是对认识长度单位地深化理解。

再如“北京到南京的铁路长约1000（）”，引导学生学会选择合适的度量单位；

要用实物感知度量单位的大小，如“一米约相当于（）根铅笔长”，强化学生对度量单位地感知；

还应关注不同维度度量单位之间的联系，例如，理解1平方分米=100平方厘米，可以借助图形（10×

10的方格，每个方格为1平方厘米），也可以借助等式1平方分米

=1分米×

1分米=10厘米×

10厘米=100平方厘米，避免学生死记硬背单位之间的换算关系。

总之，在具体的问题情境中恰当地选择度量单位、工具和方法进行测量测量是从人类的生产、生活实际需要中产生的，学习测量的目的是为了实际的应用。

在明确实际测量的对象后，选择恰当的度量单位、测量工具及方法关系到测量能否方便、可操作地进行、影响着测量结果的准确程度。

比如，用直尺测量黑板的长度是不错的选择，用它测量一栋大楼的长度就不是上策了…学生只有在亲身实践中才能积累选择度量单位、测量工具和具体方法的经验。

二、如何帮助学生在图形测量过程中感悟数学思想，了解掌握测量的基本方法，积累数。

培养学生的空间观念学活动经验，

关于规则图形的度量公式，《标准》要求探索并掌握长方形、正方形的周长公式；

探索并掌握长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆的面积公式，并能解决简单的实际问题；

探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积和表面积以及圆锥体积的计算方法，并能解决简单的实际问题。

《标准》还要求探索不规则图形的周长、面积、体积。

例如，测量简单图形的周长、会用方格纸估计不规则图形的面积、体验某些实物（如土豆等）体积的测量方法等，通过这样的测量，学生不仅能进一步加深对度量意义的理解，而且能在运用所学知识解决问题的过程中，体会学科之间的联系，感悟数学思想（如微积分的思想）。

同时，课程内容要反映数学的特点，要符合学生的认知规律。

它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。

数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是基础知识的灵魂，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。

那么，在教学图形测量这部分内容时，如何渗透数学思想呢？

下面结合一些具体案例来阐述。

1.以图形测量公式推导为载体，让学生在操作、实践中感悟“转化”、“极限”、“函数”和“积分”的数学思想。

在直边图形公式的推导过程中，教师经常让学生利用学具进行操作活动，将新图形转化成学过的已知图形，从而找到新旧两个图形之间的对应关系，推导出计算公式，在这个过程中巧妙地渗透了转化的数学思想方法。

圆是第一、二学段学习的平面图形中唯一的一个曲线图形，是学生第一次了解π这个无理数,

是学生第一次正式接触并运用极限的数学思想来解决曲线的长度和圆形的面积等问题，因此对圆的周长以及面积的探索具有一定的挑战性，这个过程的学习有助于学生提高分析问题、解决问题的能力，获得基本的数学活动经验，体会”转化”、“极限”和“函数”的思想。

：

圆的周长公式的推导1案例

化曲为直--------转化思想

我们只需得到圆的周长和直径有什么关系就可以了，那么我们又该怎样研究周长与直径的关系呢？

老师给每组同学准备了不同的实物：

有圆纸片、纸杯或硬币。

拿出来，就你们小组的实验材料，谁来说说怎样得到我们所需要的数据（尤其是周长的数据）？

（讨论）为什么要绕线？

为什么要滚动？

（化曲为直）

活动二：

在圆的周长教学中，向学生介绍“割圆术”，让学生经历