∴圆Q与BC订交．
【总结】本题主要考察函数背景下的平行四边形的存在性问题，此外考察了直线与圆的地点
关系，注意利用相应的数目关系去判断．
【例3】如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b分别与x轴负半轴交于点A，与y轴
正半轴交于点B，经过点A，点B（圆心P在x轴负半轴上），已知AB=10，AP=．
（1）求点P到直线AB的距离；
（2）求直线y=kx+b的分析式；
（3）在上能否存在点Q，使以A、P、B、Q为极点的四边形是菱形？
若存在，恳求出点Q的坐标；若不存在，请说明原因．
【答案】看法析．
【分析】
（1）过点P作，垂足为D，
由垂径定理，得AD=DB=5；
在中，由AD=5，AP=，
得PD=；
（2）由，，得：
∽，
∴OA=8，OB=6，
∴A（，0），B（0，6）
易得直线分析式为：
；
（3）在上不存在点Q，使以A、P、B、Q为极点的四边形是菱形．∵PA=PB，，
∴以A、P、B、Q为极点的是菱形的极点Q只好在PD的延伸线上．
延伸PD至点Q，使PD=DQ，AD=DB，且得菱形APBQ，
但PQ=2PD=大于半径PA，
∴点Q在外，
即在上不存在点Q，使以A、P、B、Q为极点的四边形是菱形．
【总结】本题主要考察函数背景下与圆相联合的问题，注意利用圆的有关定理解决相应问题，第（3）问中注意利用菱形性质去判断．
1、知识内容：
在此类问题中，常常是已知一条边，而它的对边为动边，需要利用这组对边平行且
相等列出方程，从而解出有关数值．更复杂的有，一组对边的两条边长均为变量，需要
分别表示后才可列出方程进行求解．
2、解题思路：
（1）找到或设出必定平行的两条边（一组对边）；
（2）分别求出这组对边的值或函数表达式；
（3）列出方程并求解；
（4）返回题面，考证求得结果．
【例4】如图，抛物线与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点
B作BC⊥x轴，垂足为
C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交
直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．
①当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的
代数式表示线段PM的长度；
②联络CM、BN，当m为什么值时，四边形BCMN为平行四边形？
【答案】看法析．
【分析】
（1）将A、B代入抛物线，可解得抛物线的分析式为．
（2）由题目中条件，易得直线AB的分析式为．
①∵P点坐标为（m，0），M点坐标为（m，），
∴；
②∵BC//MN，∴只要要MN=BC即能使MNBC为平行四边形．
当点P在线段OC上时，
又∵，，
∴，解得：
或；
当点P在线段OC的延伸线上时，
，即，
解得：
（不合题意，舍去），，
综上所述，当m的值为1或2或时，四边形BCMN为平行四边形．
【总结】本题主要考察了二次函数的综合，在解题时要注意分析式确实定，
论的数学思想．
而且注意分类讨
【例5】如图，已知抛物线经过A（0,1）、B（4,3）两点．
（1）求抛物线的分析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左边且平行于y轴的直线交线段
于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．
【答案】看法析．
AB
【分析】解：
（1）将A、B两点代入抛物线，
可得抛物线分析式为；
（2）过A作AH⊥BO于H，
可得．
又∵，
∴．
又∵，
∴．
∴；
（3）∵BC//y轴，MN//y轴，
∴BC//MN．
要使MNCB为平行四边形，只要要BC=MN即可．
直线AB的分析式为．
设N点为（n,），则M点为（n，），又∵BC=3，
∴．
解得：
或（与M在对称轴左边矛盾，舍）．
∴M点坐标为（1，）．
【总结】本题主要考察了二次函数的综合，注意锐角三角比的运用及平行四边形的存在性的
议论．
【例6】如图，在中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以
每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长
度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联络PQ．点P、Q分别从点A、C
同时出发，当此中一点抵达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：
QB=_______，PD=_______；
（2）能否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？
若存在，求出t的值；若不存在，说明原因，并研究怎样改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时辰为菱形，求点Q的速度．
【答案】看法析．
【分析】
（1），．
（2）不存在．
要使PDBQ为菱形，第一它应当是平行四边形，
∴PD=BQ，即．解得：
．
此时，而．
∴此时不为菱形，不存在t使得PDBQ为菱形．
设Q的速度为v时，存在t使得PDBQ为菱形，∴，，．
∴，即，解得：
，
∴，即，解得：
．
即当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形．
【总结】本题主要考察几何图形背景下的动点问题，一方面要注意动点的运动轨迹，
面要注意对动点的存在性进行议论．
另一方
【习题1】已知平面直角坐标系xOy（如图），一次函数的图像与y轴交于点A，点M在正
比率函数的图像上，且MO=MA．二次函数的图像经过点A、M．
（1）求线段AM的长；
（2）求这个二次函数的分析式；
（3）假如点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在
一次函数的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．
【答案】看法析．
【分析】
（1）M点应在OA的垂直均分线上，
A点坐标为（0，3），∴M在直线上，
又点M在正比率函数的图像上，∴M点为，∴AM的长为；
（2）将A、M分别代入二次函数分析式，解得分析式为：
；
（3）依据四边形ABCD四个极点的次序可知，D点在A点右上方，C在右下方，
且CD//AB（即平行于y轴），∴设D点为，则C点为．
∵ABCD为菱形，∴CD=AD．
∴，解得：
（舍）或．
∴C点坐标为（2，2）．
【总结】本题主要考察二次函数的图像与性质以及菱形的存在性，注意利用性质确立点的坐
标．
【习题
2】
在平面直角坐标系
xOy
中，经过点
A（，0）的抛物线与
y轴交于点
C，点
B
与点
A、点
D
与点
C分别对于该抛物线的对称轴对称
.
（1）求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；
（2）假如点E是抛物线上的一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F，且F
在E的右侧，过点
E作
EG⊥AD
于点
G，设
E的横坐标为
m，的周长为
l，试用
m表示
l；
（3）点
M是该抛物线的极点，点
P是
y轴上一点，
Q是坐标平面内一点，假如以
A、
M、P、Q为极点的四边形是矩形，求该矩形的极点
Q的坐标．
【答案】看法析．
【分析】
（1）由，
∴，对称轴直线x=1；
∴C（0，3），D（2，3），A（，0），
∴直线AD分析式为：
y=x+1，与x轴正方向的夹角为
（2）∵E（m，），F（，），
∴EF=
45°；
∵为等腰直角三角形，，
∴．
（3）A（，0），M（1，4），设AM的中点为N，则N（0，2）
○1当AM为对角线时，
∵，∴，
∴，Q在y轴上，∴（0，），（0，）；
○2当AM为边时，
，，
∴，（0，）
∴≌，∴（，）
同理（2，）
【总结】本题综合性较强，解题时要运用几何图形的有关性质，而且注意对方法的概括总结．
【作业1】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在线段AB上，且．
（1）求点C的坐标（用含有m的代数式表示）；
（2）将沿x轴翻折，当点C的对应点C′恰巧落在抛物线上时，求该抛物线的表达式；
（3）设点M为
（2）中所求抛物线上一点，当以A、O、C、M为极点的四边形为平行
四边形时，请直接写出全部知足条件的点M的坐标．
【答案】看法析．
【分析】解：
（1）将x=0代入直线分析式，可得B点为（0,-4m）．
将y=0代入后，可得A点为（6,0）．
过C作CD⊥OB于D，作CE⊥OA于E．∵，∴BC=AC．
易证，．
∴，．
∴C点坐标为（3，-2m）；
（2）由题意，C'点为（3,2m）．∴将C'点代入，解得：
．∴抛物线的分析式为：
．
（3）由题意，使得A、O、C、M组成平行四边形的M点可能为：
，，，分别代入抛物线分析式，可知这三个点均为知足条件的点．
【总结】本题主要考察了二次函数的综合，在解题时要注意分析式确实定，而且注意分类讨
论的数学思想．
【作业2】如图，直线与反比率函数（）的图像交于点A、B，与x轴、y轴分别交于D、
C，，．
（1）求反比率函数分析式；
（2）联络BO，求的正切值；
（3）点M在直线上，点N在反比率函数图像上，假如以点A、B、M、N为极点的四
边形是平行四边形，求点N的坐标．
【答案】看法析．
【分析】
（1）过点作，垂足是．
易得；∴；
由题意，得，∴；
在中，，，
∴；∴，；∴；
∴，得；
∴反比率函数分析式为：
．
（2）过点作，垂足是．
由题意，得；∴直线的表达式是；
又点是直线与双曲线的交点，∴，；
在中，可解得：
，；∴；
在中，，．
（3）以分别为对角线和边两种状况议论．
当是对角线时，由题意，可知直线与双曲线的交点就是点，
∴；
当是边时，将向右平移2个单位，点落在直线上，∴；
当是边时，将向左平移2个单位，点落在直线上，∴；
综上，点N的坐标为：
或或．
【总结】本题主要考察一次函数与反比率函数的综合，第
（1）小问比较基础，计算坐标时
注意方法的选择，第
（2）小问也可利用等面积法求出相应线段长，第（3）小问注意利用平
移求出相应的点的坐标．
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